Skillnad mellan versioner av "1.2 Fördjupning till Faktorisering av Polynom"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | __TOC__ | |
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
Versionen från 3 februari 2022 kl. 13.06
Innehåll
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt >> |
Faktorisering av 2:a gradspolynom (icke-normalform)
Alla hittills i genomgången behandlade polynom var i normalform.
Ett polynom är i normalform om den ledande koefficienten \(-\) dvs den högsta potensens koefficient \(-\) är \( \, 1 \,\).
Det behöver inte alltid vara så. Hur faktoriserar vi då?
Exempel 1
Faktorisera följande polynom (med ledande koefficienten \( \,3\,\)):
- \[ 3\,x^2 - 6\,x - 9 \]
Bryta ut den ledande koefficienten för att återföra problemet till den kända typen i normalform:
- \[ 3\,x^2 - 6\,x - 9\,=\,3 \cdot {\color{Red} {(x^2 - 2\,x - 3)}}\,=\,3 \cdot {\color{Red} {(x-x_1) \cdot (x-x_2)}} \]
Faktorisera först polynomet \( \; {\color{Red} {x^2 - 2\,x - 3}} \; \) i normalform genom att bestämma dess nollställen:
\( \begin{array}{rrlcr} & \quad\; {\color{Red} {x^2 - 2\,x - 3}} & = \;\;\; 0 \\ {\rm Vieta:} & \quad\; x_1 + x_2 & = -(-2) = 2 \\ & \quad\; x_1 \cdot x_2 & = -3 \end{array}\)
- \( \Downarrow \)
\( x_1 = 3\,\) och \( x_2 = -1\,\) eftersom \( 3 + (-1) = 2\,\) och \( 3 \cdot (-1) = -3 \)
- \( \Downarrow \)
- \[ x^2 - 2\,x - 3 = (x - 3) \cdot (x + 1) \]
Går vi tillbaka och sätter in denna lösning i det ursprungliga polynomet får vi faktoriseringen:
- \[ 3\,x^2 - 6\,x - 9 = 3\,(x^2 - 2\,x - 3) = 3\,(x-3) \cdot (x+1) \]
Vad gör man om den ledande koefficienten "inte går att bryta ut" eftersom polynomets andra koefficienter inte går att dela jämnt med den ledande koefficienten?
Exempel 2
Faktorisera följande polynom vars koefficienter \( \, 5 \, \) och \( \, 2 \, \) inte går att dela jämnt med den ledande koefficient \( \, 7 \):
- \[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 \]
Vi bryter ut 7 genom att gå över till tal i bråkform:
- \[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 = 7\,(x^2 - {5 \over 7}\,x - {2 \over 7}) = 7\,(x-x_1) \cdot (x-x_2) \]
För att få fram \( x_1\,\) och \( x_2\,\) använder vi Vietas formler:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = {5 \over 7} \\ x_1 \cdot x_2 & = - {2 \over 7} \end{align}\]
Man hittar lösningarna \( \, x_1 = 1 \, \) och \( \displaystyle \, x_2 = -{2 \over 7} \, \) eftersom \( \displaystyle \, 1 - {2 \over 7} = {5 \over 7} \, \) och \( \displaystyle \, 1 \cdot (-{2 \over 7}) = -{2 \over 7} \).
Så får vi det nya polynomets faktorisering:
- \[ x^2 - {5 \over 7}\,x - {2 \over 7} = (x - 1) \cdot (x + {2 \over 7}) \]
Går vi tillbaka och sätter in detta i det ursprungliga problemets ansats får vi det ursprungliga polynomets faktorisering:
- \[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 = 7\,(x^2 - {5 \over 7}\,x - {2 \over 7}) = 7\,(x - 1) \cdot (x + {2 \over 7}) \]
Vill man i slutet bli av med bråktal kan man multiplicera in 7 i den andra parentesen och skriva faktoriseringen så här:
- \[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 = (x - 1) \cdot (7\,x + 2) \]
Faktorisering av 2:a gradspolynom är alltid möjlig för oss eftersom vi kan lösa 2:a gradsekvationer och beräkna nollställena.
I de fall man lyckas återföra 3:e eller högre gradsekvationer till 2:a gradsekvationer är det även möjligt att faktorisera polynom av högre grad än 2.
Faktorisering av 3:e och högre gradspolynom
Exempel
|
Faktorisera polynomet \( \qquad P(x) \; = \; x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 \)
Grafen visar att polynomet har tre nollställen av vilka ett kan avläsas till \( \, x_1 = -1 \). För att avgöra om detta nollställe är exakt gör vi en kon- troll genom att sätta in \( \, x_1 = -1 \, \) i polynomet: | \( \quad \) |  |
\( P(-1) = (-1)^3 - 6\,\cdot\,(-1)^2 + 5\,\cdot\,(-1) + 12 = -1 - 6\,\cdot\,1 - 5 + 12 = -12 +12 = 0 \)
Kontrollen visar att \( x_1 = -1\, \) är ett exakt nollställe till \( P(x) \). Slutsats: Faktorn \( \, (x + 1) \, \) kan brytas ut:
- \[ P(x) \; = \; x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 \; = \; Q(x) \cdot (x+1) \; = \; 0 \]
där \( \, Q(x) \, \) är ett 2:a gradspolynom som vi inte känner till än, se algebrans fundamentalsats.
\( P(x)\, \):s två andra nollställen måste vara det 2:a gradspolynomet \( \, Q(x)\, \):s nollställen.
Vi bestämmer \( \, Q(x)\, \) genom att sätta den till den allmänna formen för 2:a gradspolynom:
- \[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]
där \( \, a, b, c \, \) är koefficienter som vi måste bestämma. Sätter vi in denna form i ansasten ovan får vi:
- \[ x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = (a\,x^2 + b\,x + c) \cdot (x+1) \]
Vi bestämmer \( \, a, b, c \, \) genom lösa upp parentesen och jämföra koefficienterna:
- \[ x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = a\,x^3 + (b+a)\,x^2 + (c+b)\,x + c \]
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:
- \[ \begin{align} a & = 1 \\ b + a & = -6 \\ c + b & = 5 \\ c & = 12 \end{align}\]
Genom insättning av \( \, a = 1 \, \) i den andra och \( \, c = 12 \, \) i den tredje ekvationen får vi i båda fall \( \, b = -7 \, \).
Därmed har vi bestämt polynomet \( \, Q(x) \, \):
- \[ Q(x) = x^2 - 7\,x + 12 \]
I Faktorisering av 2:a gradspolynom hade vi faktoriserat \( \, Q(x) \, \) så här:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]
där \( \, x_2 = 3 \, \) och \( \, x_3 = 4 \, \) är \( \, Q(x)\, \):s nollställen.
Inför vi nu detta resultat i vår ansats i början får vi den fullständiga faktoriseringen för \( \, P(x) \):
\( P(x) = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = Q(x) \cdot (x+1) = (x^2 - 7\,x + 12) \cdot (x+1) = \underline{(x-3)\,\cdot\,(x-4)\,\cdot\,(x+1)} \)
Den ovan beskrivna metoden kan i princip även användas för faktorisering av polynom av högre grad än 3.
Till grund för alla dessa faktoriseringar ligger algebrans fundamentalsats som vi redan nämnde tidigare och som lite förenklad lyder så här:
Algebrans fundamentalsats
Ett polynom av grad \( n\, \) har exakt \( n\, \) komplexa nollställen \( \; x_1, \, x_2, \,\ldots\, , x_n \; \) och kan faktoriseras så här:
\( a_n \, x^n \,+\, a_{n-1} \, x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \, x \,+\, a_0 \quad = \quad {\color{Red} {a_n \cdot\, (x-x_1) \,\cdot\, (x-x_2) \,\cdot\quad\ldots\quad \cdot\, (x-x_n)}} \)
Se bevis, historia & annat gott.
Anmärkningar:
- Fundamentalsatsens egentliga utsaga är: Ett polynom av grad \( n\, \) har exakt \( n\, \) komplexa nollställen. Den ska tolkas så här:
- Antalet \( n\, \) borde räknas med multiplicitet, dvs dubbla rötter är räknade två gånger, tredubbla tre gånger osv.
- Den fullständiga faktoriseringen i linjära faktorer \( (x-x_i)\, \) där \( x_i\, \) = polynomets nollställen, är endast möjlig i mängden av komplexa tal.
- Räknar man endast med reella tal kommer vissa polynom att faktoriseras till linjära och kvadratiska faktorer, där de kvadratiska faktorerna har komplexa rötter.
Exempel 1
Faktorisera följande polynom fullständigt:
\( P(x) = x^4 - 29\;x^2 + 100 \)
I övning 6 till repetitionsavsnittet Ekvationer hade vi löst 4:e gradsekvationen
\( x^4 - 29\;x^2 = -100 \)
och fått lösningarna
\( x_1 = 5, \qquad x_2 = -5, \qquad x_3 = 2 \quad {\rm och} \quad x_4 = -2 \)
Vi kan skriva ekvationen som en polynomekvation
\( P(x) = x^4 - 29\;x^2 + 100 = 0 \)
Pga kännedomen om ekvationens lösningar som är identiska med polynomets nollställen, kan vi enligt algebrans fundamentalsats faktorisera 4:e gradspolynomet \( P(x)\, \) så här\[ P(x) = x^4 - 29\;x^2 + 100 = (x-5) \cdot (x+5) \cdot (x-2) \cdot (x+2) \]
Exempel 2
Faktorisera polynomet \( P(x)\, \) fullständigt när följande delfaktorisering redan existerar:
- \[ P(x) = x^5 - 5\,x^4 + 17\,x^3 - 13\,x^2 = x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x^2 - 4\,x + 13) \]
Delfaktoriseringen visar en dubbelrot \( x = 0\, \) och en enkel rot \( x = 1\, \). Man kan få fram den med de metoder vi lärt oss i detta avsnitt: Den dubbla roten \( x = 0\, \) får man genom att bryta ut \( x^2 \). Den enkla roten \( x = 1\, \) kan man få via grafen samt en prövning. Den sista faktorn kan beräknas med hjälp av jämförelse av koefficienter. Denna delfaktorisering stannar inom ramen av de reella talen.
Enligt algebrans fundamentalsats måste 5:e gradspolynomet \( P(x)\, \) ha två rötter till som ger upphov till den kvadratiska faktorn \( x^2 - 4\,x + 13 \) som står sist.
Vill man gå vidare och få fram den fullständiga faktoriseringen i linjära faktorer måste även den kvadratiska faktorn faktoriseras. Detta innebär att vi måste beräkna dess rötter som visar sig vara komplexa:
- \[\begin{array}{rcl} x^2 - 4\,x + 13 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 2 \pm \sqrt{4 - 13} \\ x_{1,2} & = & 2 \pm \sqrt{-9} \\ x_{1,2} & = & 2 \pm \sqrt{9 \cdot (-1)} \\ x_{1,2} & = & 2 \pm \sqrt{9}\cdot \sqrt{-1} \\ x_1 & = & 2 + 3\,i \\ x_2 & = & 2 - 3\,i \\ \end{array}\]
Vi får alltså följande faktorisering av den kvadratiska faktorn:
- \[ x^2 - 4\,x + 13 = (x - (2+3\,i)) \cdot (x - (2-3\,i)) = (x - 2-3\,i) \cdot (x - 2+3\,i)\]
Därmed blir den fullständiga faktoriseringen av polynomet \( P(x)\, \) i linjära faktorer\[ P(x) = x^5 - 5\,x^4 + 17\,x^3 - 13\,x^2 = x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x - 2-3\,i) \cdot (x - 2+3\,i) \]
Dvs \( P(x)\, \) har förutom dubbelroten \( x = 0\, \) och den enkla roten \( x = 1\, \) även de två komplexa rötterna \( x = 2 + 3\,i \) och \( x = 2 - 3\,i \). Sammanlagt har 5:e gradspolynomet \( P(x)\, \) exakt 5 rötter, om man räknar rötterna med multiplicitet, dvs den dubbla rotter dubbelt och beräknar även de komplexa rötterna - i enlighet med algebrans fundamentalsats.
Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.
