Skillnad mellan versioner av "2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet"

Marie startar kl 10:30 med sin bil från Stockholm mot Göteborg. Hon kommer fram där kl 15:15.

Avståndet mellan Stockholm och Göteborg är 478 km.

Vad är hennes genomsnittliga hastighet?

Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen:

a) \( y = 5\,x + 23 \) i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 3 \)

b) \( y = -3\,x^2 + 2\,x - 12 \) i intervallet \( -2 \leq x \,\leq\, 2 \)

c) \( y = e\,^x \) i intervallet \( -1 \leq x \,\leq\, 1 \)

Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen

\[ y \, = \, 5,1\;x^2 \]

där

\[ y =\, \] Sträckan som äpplet faller i meter

\[ x =\, \] Tiden i sekunder

Beräkna äpplets genomsnittliga hastighet i tidsintervallet mellan 0,2 och 0,3 sekunder.

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen

\[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]

där

\[ y =\, \] Sveriges befolkning i miljoner

\[ x =\, \] Tiden i antal år efter 1900

a) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under hela seklet.

b) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets första decennium.

c) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets sista decennium.

d) Är följande påstående sant eller falskt?

Resultaten i a)-c) är samma därför att modellen som beskriver Sveriges befolkningsutveckling är en linjär funktion.

Motivera ditt svar.

a) Lös följande ekvation exakt:

\[ \ln\,x \; = \; 1 + \ln\,(x-1) \]

b) Lös följande ekvation med 4 decimalers noggrannhet:

\[ e\,^{x+1} \; = \; 4 \cdot e\,^{2\,x} \]

c) Lös följande ekvation exakt:

\[ \ln\,(x+1) + \ln\,(x-1) = \ln 3 - \ln 4 \]

Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen

\[ B \; = \; 50\cdot e\,^t \]

där B är antalet bakterier vid tiden och t är tiden i timmar.

Använd modellen för att besvara följande frågor:

a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?

b) Hur många bakterier finns det i mjölken efter 8 timmar?

c) Efter hur många timmar har antalet bakterier nått 2000 då den anses blivit sur?

Temperaturen T i en glassmet sjunker enligt modellen

\[ T \; = \; 50\cdot e\,^{-0,034 \,t} - 35 \]

där t är tiden i minuter efter att smeten ställs i frysen.

a) Vilken temperatur hade smeten när den ställdes i frysen?

b) Hur lång tid tar det tills smeten frusit och blivit glass.

Värdet av en företagsbil minskar enligt följande modell:

\[ y \; = \; 225\,000\;e\,^{-k\,x} \]

där y är värdet i kr, x bilens ålder i år och k en konstant.

a) Bestäm k med 6 decimalers noggrannhet så att värdet är 100 000 kr efter 5 år.

Använd resultatet från a) för att besvara följande frågor:

b) Hur länge tar det tills bilens värde har sjunkit till 10% av nyvärdet då den anses kunna avskrivas.

c) Hur länge tar det tills bilens värde är 0?