2.6 Derivatan av exponentialfunktioner
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner
Innehåll
Derivatan av exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) med basen e
Det kan vara bra att friska upp sina kunskaper om exponentialfunktionen med basen e som kommer att användas i detta avsnitt. Vi behöver nämligen att härleda derivatan av exponentialfunktionen med basen e för att sedan kunna ställa upp en deriveringsregel för den allmänna exponentialfunktionen med godtycklig bas.
Du kommer väl ihåg från Matte 2c-kursen att uttrycken nedan kallas polynom:
I detta avsnitt kommer vi att ställa upp deriveringsregeln för exponentialfunktionen med basen \( e = 2,718281828\cdots \) (Eulers tal), den s.k. naturliga exponentialfunktionen, dvs \( y = e\,^x \).
För att kunna göra det gör vi först ett försök med derivatans definition att ställa upp en deriveringsregel för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \). Försöket kommer att misslyckas, men det kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som leder till problemets lösning. Frågeställningen lyder:
- Kan basen i den allmänna exponentialfunktionen väljas så att derivatan av \( y = a\,^x \) blir så enkel som möjligt, nämligen \( y\,' = a\,^x \)?
Man vänder alltså på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel och frågar efter en bas samt beräknar basen så att den uppfyller deriveringsregeln.
Det kommer att visa sig att svaret på frågan oven är: Ja, denna bas kan bestämmas till Eulers tal \( e\, \).
I matematikens historia har frågeställningen motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( e\, \). På 1700-talet bevisade han att den efterfrågade basen var just \( e\, \), varför talet kallats efter honom. Vi försöker i detta avsnitt att följa hans bevis.
Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen
Från att ha ställt upp deriveringsregeln för den naturliga exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):
Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för den naturliga exponentialfunktionen.
Uppdaterad tabell över deriveringsregler
I följande tabell är \( c,\,k,\,m,\,n,\,a \) konstanter, medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler, \( x\, \) den oberoende och \( y\, \) den beroende variabeln\[ y = f(x)\, \].
\( y\, \) \( y\,' \) \( c\, \) \( 0\, \) \( x\, \) \( 1\, \) \( a\; x \) \( a\, \) \( k\; x \, + \, m \) \( k\, \) \( x^2\, \) \( 2\,x \) \( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \) \( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \) \( a\,x\,^n \) \( n\cdot a\,x\,^{n-1} \) \( {1 \over x} \) \( - {1 \over x^2} \) \( \sqrt{x} \) \( {1 \over 2\, \sqrt{x}} \) \( e\,^x \) \( e\,^x \) \( e\,^{k\,x} \) \( k\cdot e\,^{k\,x} \) \( c\cdot e\,^{k\,x} \) \( c\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \) \( a\,^x \) \( a\,^x \cdot \ln a \) \( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \) \( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler och fler generella satser.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
