2.5 Lösning 4

Tangentens lutning i punkten \( x = 0\, \) är lika med kurvans lutning i denna punkt.

Och detta är lika med funktionen \( f(x) = 2^x\, \):s derivata i punkten \( x = 0\, \). Därför bildar vi derivatan:

\[ f(x) = 2\,^x \]

\[ f\,'(x) = 2\,^x \cdot \ln 2 \]

Vi sätter in \( 0\, \) för \( x\, \) i derivatan:

\[ f\,'(0) = 2\,^0 \cdot \ln 2 = 1 \cdot \ln 2 = \ln 2 \]

\( \ln 2\, \) är funktionens derivata i punkten \( x = 0\, \) och därmed tangentens lutning. Därför är tangentens ekvation:

\[ y = k\cdot x + m \]

\[ y = (\ln 2)\cdot x + m\, \]

+++ För att bestämma \( m\, \) sätter vi i denna ekvation \( 0\, \) för \( x\, \) och \( 1\, \) för \( y\, \) eftersom tangenten går igenom punkten \( (0, 1)\, \):

\[ 1 = 1\cdot 0 + m\, \]

\[ 1 = m\, \]

Därför är tangentens ekvation:

\[ y = x + 1\, \]