2.3a Lösning 10a

Faktorisera \( {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} \):

\[\begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & 0 \\ x^3 & = & 1 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ x & = & 1 \end{array}\]

Således:

\[ x^3\,-\,1 \,=\, (x-1) \; \cdot \; {\rm 2:a\;gradspolynom } \; P_2(x) \]

Att polynomet \( P(x)\,\) har två nollställen \( a\, \) och \( -a\, \) innebär följande delfaktorisering av \( P(x)\, \):

\[ \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ & = (x^2-a^2) \cdot Q(x) \end{align} \]

där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma:

\[ Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d \]

Dessutom måste vi bestämma \( a\, \). Då kan vi skriva \( P(x)\,\):s delfaktorisering så här:

\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) \]

Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:

\[ \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d \end{align}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

\[ \begin{align} b & = 1 \\ c & = 3 \\ d + a^2\,b & = -7 \\ - a^2\,c & = -27 \\ - a^2\,d & = -18 \end{align}\]

Genom insättning av \( c = 3\, \) i den 4:e ekvationen får vi:

\[ \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27 \\ a^2 & = {27 \over 3} \\ a^2 & = 9 \\ a & = 3 \end{align}\]

Faktorisera \( x^2\,+\,2\,x\,-\,3 \):