2.3a Lösning 10a
Faktorisera täljaren \( {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} \):
- \[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & 0 \\ x^3 & = & 1 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ x & = & 1 \end{array}\]
Således: \[ \begin{array}{rcl} x^3\,-\,1 & = & (x-1) \; \cdot \; {\rm 2:a\;gradspolynom } & \\ & = & (x-1) \; \cdot \; (\; a\,x^2 \; + \; b\,x \; + \; c\; ) & = \\ & = & a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ 1\cdot x^3 + 0\cdot x^2 + 0\cdot x - 1 & = & a\,x^3 + (b-a)\,x^2 + (c-b)\,x - c & \end{array}\]
Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:
\[ \begin{array}{rcl} a & = & 1 \\ b-a & = & 0 \\ c-b & = & 0 \\ c & = & 1 \end{array}\]
Genom insättning av \( a = 1\, \) i den 2:a ekvationen får vi:
\[ \begin{array}{rcl} b-1 & = & 0 \\ b & = & 1 \end{array}\]
Den 3:e ekvationen bekräftar resultaten.
Därmed blir faktoriseringen av \( {\color{White} x} x^3\,-\,1 {\color{White} x} \):
\[ x^3\,-\,1 \, = \, (x-1) \cdot (x^2 \, + \, x \, + \, 1)\]
Faktorisera nämnaren \( {\color{White} x} x^2\,+\,2\,x\,-\,3 {\color{White} x} \):
