Repetition: Logaritmlagarna

För enkelhetens skull formulerar vi logaritmlagarna med basen \( \, 10 \, \). Men de gäller även för alla andra baser.

Första logaritmlagen: \( \qquad\qquad\; \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad\qquad \)

Andra logaritmlagen: \( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad\qquad \)

Tredje logaritmlagen: \( \qquad\qquad\quad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad\qquad \)

\( \; A \, \) och \( \, B \, \) ska vara positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.

Logaritmlagarna är potenslagar i logaritmform. Man får dem genom att logaritmera potenslagarna.

Detta kommer att visas i logaritmlagarnas bevis.

Bevis av logaritmlagarna

Lagarna ovan gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst.

Därför formulerar och bevisar vi dem här mera generellt med \( \log_a \) där \( a > 0 , \; \neq 1 \).

Påstående:

Första logaritmlagen \( \quad \log_a\,(A \cdot B) \; = \; \log_a\,A \; + \; \log_a\,B \)

Bevis:

Vi skriver upp första potenslagen:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( \, a \):

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \]

\[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]

Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:

\[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]

Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst.

Därav följer påståendet.

Påstående:

Andra logaritmlagen \( \quad \displaystyle \log_a\,\left({A \over B}\right) \; = \; \log_a\,A \; - \; \log_a\,B \)

Bevis:

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av första logaritmlagen.

Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):

\[\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \\ \log_a {a^x \over a^y} \; & = \; \log_a a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \log_a a^x \, - \, \log_a a^y \end{align} \]

Nya beteckningar \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) ger:

\[ \log_a {A \over B} \; = \; \log_a A \, - \, \log_a B \]

Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) gäller likheten ovan för alla baser \( a\, \).

Därmed följer påståendet.

Påstående:

Tredje logaritmlagen \( \quad \displaystyle {\log_a\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \log_a A \)

Bevis:

Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):

\[\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \\ \log_a (a^x)^y \; & = \; \log_a a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \log_a a^x \cdot y \end{align}\]

Beteckningen \( A = a^x\, \) ger:

\[ \log_a A^y \; = \; \log_a A \cdot y \; = \; y \cdot \log_a A \]

Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) följer påståendet.