1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

<< Förra avsnitt

Repetition: Exp. fkt. & logaritmer

Genomgång

Övningar

Nästa avsnitt >>

<< Förra avsnitt

Repetition: Logaritmlagarna

Genomgång

Övningar

Nästa avsnitt >>

Lektion 9 Talet \(\,e\) och den naturliga logaritmen

Talet \( e \,\)

Experiment 1

Ta fram din miniräknare, leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen):

\( \boxed{e^{\,x}} \)

Tryck på den, mata in \( 1 \, \) och stäng parentesen.

När det står \( \; {\bf e} \) ^ \((1) \; \) i räknarens display, tryck på ENTER. Så får du: \( \qquad 2,718281828\ldots \)

Du har beräknat \( \; e{\,^1} \; \) eller talet \(\,{\color{blue}e}\,\), en av matematikens mest kända konstanter, Eulers tal.

Talet \(\,{\color{blue} e}\,\) är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern Leonard Euler som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att \( \, e \, \) inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se Olika typer av tal.

Talet \( \, e \, \) är ett irrationellt tal, precis som talen \( \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, \).

Irrationella tal är decimaltal som har en icke-periodisk decimalutveckling dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Irrationella tal kan inte skrivas i bråkform (kvot mellan två heltal), vilket man kan göra med alla rationella tal, se Olika typer av tal.

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet \(\;{\color{blue} e}\,\). Leta gärna efter ett upprepande mönster!

OBS! \( \quad e \; \) är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet \( \, 2,718281828\ldots \, \).

Talet \( \, e \, \) förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet \( 1\, \), de irrationella talen \( e,\;\pi \) och det komplexa talet \( \, i = \sqrt{-1} \), där även \( \pi \) och \( \, i \, \) är namngivna konstanter:

\( e^{\,2\,\pi\,i} \) \( = 1 \)

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna komplexa formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet \(\;{\color{blue} e}\,\).

Hur kom(mer) talet \( e \,\) till?

Följande Eulers formel som kommer att bevisas senare, kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet \( e \,\):

\[ \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to e \quad {\rm när} \quad n \to \infty \]

Dvs: Uttrycket ovan går mot \( e \,\) när \( n\, \) går mot oändligheten (\( \infty \)) eller: Uttrycket närmar sig allt mer \( \, e \,\) ju större \( \, n\, \) blir. Tabellen tar några steg i denna process:

\( \left(1 + {1 \over n}\right)^n \)	\( {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots \)	\( {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots \)	\( {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots \)	\( {\color{Red} {2,718281828\ldots}} \)	\( \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad \)
\( n \)	\( 1\,000 \)	\( 1000\,000 \)	\( 1000\,000\,000 \)	\( 10\,000\,000\,000 \)	\( \to \infty \)

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde du fick fram i räknaren när du slog in \( e^{\,1} \, \). Så i fortsättningen när vi räknar med talet \( e \,\) nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

\( e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} \)

Exponentialfunktionen med basen \( e \,\)

Tar man talet \( {\color{Red} e} \) som bas och bildar potensen \( {\color{Red} {e{\,^x}}} \) får man den s.k. exponentialfunktionen \( {\color{Red} {y = e{\,^x}}} \) med basen \( {\color{Red} e} \, \) som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

\( y \; = \; e\,^x \)

med grafen:

Exponentialfunktionen med basen \( \; {\color{Red} e} \)

Egenskaper

Exponentialfunktionen är alltid positiv: \( \, e\,^x \, > \, 0 \, \) för alla \( \, x \). Den blir aldrig \( 0\, \) eller negativ. Definitionsmängden: alla \( x \).
\( e\,^0 = 1 \) vilket följer av potenslagen om nollte potens.
För negativa \( \, x \, \) är \( \, e\,^x < 1 \). För positiva \( \, x \, \) är \( \, e\,^x > 1 \) och växer allt starkare ju större \( \, x \, \) blir.
Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ \( \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, \) med \( \, k \, {\color{Red} >} \, 0 \).

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ \( \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, \) med \( \, k \, {\color{Red} <} \, 0 \).

Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktioner \( \, y = x^2 \, \) (kvadratisk) eller \( \, y = x^3 \, \) (kubisk) osv. Testa gärna genom att rita graferna till potensfunktionerna \( \, y = x^n \, \) för \( \, n = 1, 2, 3, \ldots \, \) och exponentialfunktionen \( \, y = e\,^x \, \) i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen Exponentialfunktioner och logaritmer hade vi pratat om exponentialfunktioner (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. \( y = 2\,^x \) eller \( y = 3\,^x,\;\cdots \).

När man däremot pratar om den exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen \( \, e\,\) \(-\) som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.

Den naturliga logaritmen

Exponentialfunktionen ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen \( \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, \) eller logaritmen till basen \( \, e \, \).

Definition:

\( \ln\,a \, = \; {\rm {\color{Red} {exponenten}}\;} {\color{Red} x} \; {\rm som\;basen\;} e \; {\rm måste\;upphöjas\;till\;för\;att\;ge\;} a {\rm :} \quad \) \( e^{\color{Red} x} = a \quad \Leftrightarrow \quad {\color{Red} x} = \ln\,a \)

Exempel

\( \ln 3 \, \) är det tal (den exponent) som \( \, e \, \) måste upphöjas till för att ge \( \, 3 \). Om vi kallar detta tal för \( \, x \, \) kan vi skriva:

\[ e\,^x \, = \, 3 \]

Enligt definitionen ovan är detta tal samtidigt lösningen till denna ekvation:

\[ x \, = \, \ln 3 \, = \, \, \boxed{\rm{LN}}(3) \, = \, 1,098612289 \ldots \]

En kontroll visar: \( \quad e\,^{1,098612289 \ldots} \, = \, 3 \).

I räknaren står knappen \( \boxed{\rm{LN}} \) för Logaritmus Naturalis, medan \( \boxed{\rm{LOG}} \) står för \( \, 10\)-logaritmen.

Så här ser den naturliga logaritmen ut:

\( y \; = \; \ln\, x \)

med grafen:

Den naturliga logaritmfunktionen

Egenskaper

Logaritmen är definierad endast för positiva \( \, x\, \). Definitionsmängden: \( \, x > 0 \).
\( \ln\,1 = 0 \, \) vilket är logaritmformen till \( \, e\,^0 = 1 \), se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
För \( x < 1\, \) är logaritmen negativ och för \( x > 1\, \) är den positiv.
Logaritmen växer allt svagare ju större \( \, x\, \) är.

OBS! Logaritmen är för \( \, x=0 \, \) och för \( \, x<0 \, \) inte definierad.

Inversegenskapen

Experiment 2

Ta fram din miniräknare och tryck på funktionsknappen \( \, \boxed{e^{\,x}} \). Mata in:

\( 2 \)

och stäng parentesen. När det står \( \; {\bf e} \) ^ \((2) \; \) i displayen, tryck på ENTER.

Låt resultatet \( \, e^{\,2} \, \) (något decimaltal) stå i displayen. Tryck på funktionsknappen:

\[ \boxed{\rm{LN}} \]

Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall \( \, e^{\,2} \).

Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka \( \, 2 \, \) som du hade matat in i början.

Du har beräknat \( \, \ln\,(e^{\,2}) \) som ger \( \, 2 \, \):

\( \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 \)

Experiment 2 visar ett exempel på att \( \, \boxed{\rm{LN}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \boxed{e\,^x} \, \). Generellt gäller:

Den naturliga logaritmen \( \, y \, = \, \ln\,x \, \) är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, e\,^x \, \):

\[ \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} \]

Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( e^{\,x} \) och sedan \( \ln\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \).

Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( e^{\,x} \) och \( \ln\,x \) direkt efter varandra.

Både \( \ln\,(e^{\,x}) \) och \( e^{\,\ln\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: Experiment 2 var ett exempel på detta. För att få \( \, \ln\,(e^{\,2}) \, \), beräknades först \( \, e^{\,2} \) och sedan \( \, \ln\,(e^{\,2}) \).

Exponentialekvationen \( e\,^x \, = \, b \)

Precis som exponentialekvationen \( \, 10\,^x \, = \, b \; \) löstes med den inversa operationen till \( \, 10\,^x \), nämligen \( \, 10\)-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till \( \, e\,^x \), nämligen den naturliga logaritmen.

Exempel

\(\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\ \ln\,(e^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\ x & = & \ln\,68 & \\ x & = & 4,219507705\ldots & \\ {\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 & \end{array}\)