Skillnad mellan versioner av "2.3 Övningar till Gränsvärde"

Bestäm

a) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 0}\, {(x - 8)} \)

b) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3}\, {(2\,x)} \)

c) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 7}\,\, {5 \over x} \)

d) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to -3}\, {(4\,x - 10)} \)

e) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 0}\, {(x^2 - 4\,x + 12)} \)

Beräkna

a) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 2}\, {x\,+\,3 \over x\,+\,2} \)

b) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 2}\,\, {2\,(x^2 + 1) \over x} \)

c) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 0}\,\, {x^2 - 9\,x \over x} \)

d) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\, {-7 \over x} \)

e) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\, {3\,x\,+\,4 \over x} \)

En termos fylls med hett kaffe i ett rum inomhus. Kaffets temperatur minskar enligt följande modell:

\[ y = f(x) = 21\,+\,74\cdot 0,86\,^x \]

där \( \, y \) är temperaturen i grader Celsius och \( \, x \) är tiden i timmar efter att kaffet hälldes i termosen.

a)    Ange kaffets temperatur när det hälldes i termosen.

b)    Rita grafen till funktionen \( y_1 = 0,86\,^x \). Använd grafen för att bestämma \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(0,86\,^x\right) \) .

c)    Använd resultatet från b) för att beräkna \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(21\,+\,74\cdot 0,86\,^x\right) \) .

d)    Hur borde resultatet från c) tolkas?

Betrakta funktionen \( \displaystyle {\color{White} x} y = f(x) = {12 \over x - 3} {\color{White} x} \).

a)    Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \).

b)    Existerar gränsvärdet \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\,\, f(x) {\color{White} x} \)?    Om ja beräkna det.

c)    Existerar gränsvärdet \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3}\,\, f(x) {\color{White} x} \)?    Om ja beräkna det.

d)    Ange \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3^{+}} f(x) {\color{White} x} \) och \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3^{-}} f(x) {\color{White} x} \).

Betrakta funktionen \( \displaystyle {\color{White} x} y = f(x) = {x^2\,-\,16 \over x\,-\,4} {\color{White} x} \).

a)    Existerar gränsvärdet \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 4}\,\, f(x) {\color{White} x} \)?    Om ja beräkna det.

b)    Beräkna \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 4^{+}}\, f(x) {\color{White} x} \) och \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 4^{-}}\, f(x) {\color{White} x} \).

c)    Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \).

a)    Bestäm \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 2}\,\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x\,-\,10} \)

b)    Beräkna \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 2}\,\, {x^2\,-\,5\,x\,+\,6 \over x\,-\,2} \)

c)    Bestäm \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\,\, {x^2\,-\,2\,x\,+\,3 \over 2\,x^2\,+\,5\,x\,-\,3} \)

d)    Sätt in i följande gränsvärde \( \displaystyle x = {1 \over h} \) och låt \( h \to 0 \):

\[ \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\,\, {x\,+\,1 \over x^2\,+\,1} \]

Bestäm de följande gränsvärdena:

a) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\,\, {5\,x\,+\,3 \over 2\,x\,-\,7} \)

b) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3}\,\, {x^2 - 7\,x + 12 \over x - 3} \)

c) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\,\, {2\,x^2\,+\,4\,x\,-\,3 \over 5\,x^2\,-\,6\,x\,+\,1} \)

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = x^3 \]

a)    Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) \) och förenkla.

b)    Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) - f(x) \) och förenkla.

c)    Bilda uttrycket \( \displaystyle {f(x+h) - f(x) \over h} \) och förenkla.

d)    Bestäm   \( \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \)   .

 Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.

Ange ett exempel på en funktion \( f(x) \) som inte är definierad för \( x = -2 \, \) och som har egenskapen:

\[ \lim_{x \to 0}\,\,f(x) = 5 \]

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = {1 \over x} \]

Bestäm

\[ \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \]

Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.

Beräkna gränsvärdet

\[ \lim_{x \to 1}\,\,{x^3\,-\,1 \over x^2\,+\,2\,x\,-\,3} \]

Ledning: Faktorisera täljaren och nämnare i uttrycket i limes och förenkla.

Beräkna gränsvärdet

\[ \lim_{x \to \infty}\,\,{(\sqrt{x^2\,-\,x}} \,-\, x)\]

Ledning: Förläng uttrycket i limes med konjugaten.