Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 129: Rad 129:
  
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5</span></Big></Big></Big>
+
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
  
  
Rad 148: Rad 148:
 
b) &nbsp;&nbsp; Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.
 
b) &nbsp;&nbsp; Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.
 
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.6 Svar 5a|Lösning 5a|2.6 Lösning 5a|Svar 5b|2.6 Svar 5b|Lösning 5b|2.6 Lösning 5b}}</div>  
 
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.6 Svar 5a|Lösning 5a|2.6 Lösning 5a|Svar 5b|2.6 Svar 5b|Lösning 5b|2.6 Lösning 5b}}</div>  
 +
 +
 +
<div class="ovnC">
 +
== <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> ==
 +
 +
Fibonaccis funktion är given i tabellen nedan  med:
 +
 +
::<math> n \, = \, {\rm Antalet\;månader} </math>
 +
 +
::<math> F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n </math>
 +
 +
:{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! Antal månader || Antal kaninpar
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} 1}\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} 2}\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} 3}\, </math> ||align=center| <math> 2\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} 4}\, </math> ||align=center| <math> 3\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} 5}\, </math> ||align=center| <math> 5\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} 6}\, </math> ||align=center| <math> 8\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} 7}\, </math> ||align=center| <math> 13\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} 8}\, </math> ||align=center| <math> 21\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} 9}\, </math> ||align=center| <math> 34\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} {10}}\, </math> ||align=center| <math> 55\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} {11}}\, </math> ||align=center| <math> 89\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> {\color{Red} {12}}\, </math> ||align=center| <math> 144\, </math>
 +
|}
 +
 +
Beräkna så noggrant som möjligt:
 +
 +
a) &nbsp;&nbsp; <math> \, F\,'(8) \, </math>
 +
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \, F\,'(12) \, </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.6 Svar 6a|Lösning 6a|2.6 Lösning 6a|Svar 6b|2.6 Svar 6b|Lösning 6b|2.6 Lösning 6b}}</div>
 +
  
  

Versionen från 1 december 2015 kl. 23.10

       <-- Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Diagnosprov kap 2 Derivata          Lösningar till diagnosprov kap 2      


E-övningar: 1-4


Övning 1

Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:

\( x\, \) \( f(x)\, \)
\( 0,5\, \) \( 1,79744\, \)
\( 0,6\, \) \( 2,04424\, \)
\( 0,7\, \) \( 2,32751\, \)

Beräkna \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:

a)    framåtdifferenskvoten

b)    bakåtdifferenskvoten

c)    centrala differenskvoten

Ange svaren avrundade till 4 decimaler.

Svar 1a
2.6 Svar 1a
Lösning 1a
2.6 Lösning 1a
Svar 1b
2.6 Svar 1b
Lösning 1b
2.6 Lösning 1b
Svar 1c
2.6 Svar 1c
Lösning 1c
2.6 Lösning 1c


Övning 2

Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.

Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) med framåtdifferenskvoten och steglängden

a)   \( h = 0,1\, \)

b)   \( h = 0,01\, \)

c)   \( h = 0,001\, \)

Svar 2a
2.6 Svar 2a
Lösning 2a
2.6 Lösning 2a
Svar 2b
2.6 Svar 2b
Lösning 2b
2.6 Lösning 2b
Svar 2c
2.6 Svar 2c
Lösning 2c
2.6 Lösning 2c


Övning 3

I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.

Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).

Använd definitionen till närmevärdets fel i exemplet på bakåtdifferenskvoten för att genomföra följande uppgifter:

a)    Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).

  Approximera \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och

b)    bakåtdifferenskvoten samt ange felet,

c)    centrala differenskvoten samt ange felet.

d)    Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot approximerar \( f\,'(1,8) \) bäst?

Svar 3a
2.6 Svar 3a
Lösning 3a
2.6 Lösning 3a
Svar 3b
2.6 Svar 3b
Lösning 3b
2.6 Lösning 3b
Svar 3c
2.6 Svar 3c
Lösning 3c
2.6 Lösning 3c
Svar 3d
2.6 Svar 3d


Övning 4

Sveriges befolkning växte mellan åren \( 1900 \) och \( 2000 \) enligt följande tabell:

År Folkmängd i tusental
\( 1900\, \) \( 5\,130 \)
\( 1910\, \) \( 5\,406 \)
\( 1920\, \) \( 5\,832 \)
\( 1930\, \) \( 6\,298 \)
\( 1940\, \) \( 6\,645 \)
\( 1950\, \) \( 7\,016 \)
\( 1960\, \) \( 7\,495 \)
\( 1970\, \) \( 8\,126 \)
\( 1980\, \) \( 8\,217 \)
\( 1990\, \) \( 8\,654 \)
\( 2000\, \) \( 8\,983 \)

Tabellen ovan definierar en funktion   \( y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) där:

\[ x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \]
\[ y =\, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;tusental} \]

Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år

a)   \( 1900\, \)

b)   \( 1950\, \)

c)   \( 2000\, \)

Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet.

d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren \( 1900-2000 \) (hela tabellen).

Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen \( f(x)\, \)?

Svar 4a
2.6 Svar 4a
Lösning 4a
2.6 Lösning 4a
Svar 4b
2.6 Svar 4b
Lösning 4b
2.6 Lösning 4b
Svar 4c
2.6 Svar 4c
Lösning 4c
2.6 Lösning 4c
Svar 4d
2.6 Svar 4d



C-övningar: 5-6


Övning 5

Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen

\[ N(t) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-t}} \]

där

\[ t \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \]
\[ N \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} \]

a)    Kan \( N(t)\, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?

b)    Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.

Svar 5a
2.6 Svar 5a
Lösning 5a
2.6 Lösning 5a
Svar 5b
2.6 Svar 5b
Lösning 5b
2.6 Lösning 5b


Övning 6

Fibonaccis funktion är given i tabellen nedan med:

\[ n \, = \, {\rm Antalet\;månader} \]
\[ F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n \]
Antal månader Antal kaninpar
\( {\color{Red} 1}\, \) \( 1\, \)
\( {\color{Red} 2}\, \) \( 1\, \)
\( {\color{Red} 3}\, \) \( 2\, \)
\( {\color{Red} 4}\, \) \( 3\, \)
\( {\color{Red} 5}\, \) \( 5\, \)
\( {\color{Red} 6}\, \) \( 8\, \)
\( {\color{Red} 7}\, \) \( 13\, \)
\( {\color{Red} 8}\, \) \( 21\, \)
\( {\color{Red} 9}\, \) \( 34\, \)
\( {\color{Red} {10}}\, \) \( 55\, \)
\( {\color{Red} {11}}\, \) \( 89\, \)
\( {\color{Red} {12}}\, \) \( 144\, \)

Beräkna så noggrant som möjligt:

a)    \( \, F\,'(8) \, \)

b)    \( \, F\,'(12) \, \)

Svar 6a
2.6 Svar 6a
Lösning 6a
2.6 Lösning 6a
Svar 6b
2.6 Svar 6b
Lösning 6b
2.6 Lösning 6b




Copyright © 2011-2015 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.7_Övningar_till_Numerisk_derivering&oldid=26400"