Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"

År	Folkmängd i tusental
\( 1900\, \)	\( 5\,130 \)
\( 1910\, \)	\( 5\,406 \)
\( 1920\, \)	\( 5\,832 \)
\( 1930\, \)	\( 6\,298 \)
\( 1940\, \)	\( 6\,645 \)
\( 1950\, \)	\( 7\,016 \)
\( 1960\, \)	\( 7\,495 \)
\( 1970\, \)	\( 8\,126 \)
\( 1980\, \)	\( 8\,217 \)
\( 1990\, \)	\( 8\,654 \)
\( 2000\, \)	\( 8\,983 \)

Tabellen ovan definierar en funktion \( y \, = \, f(x) \; \) där:

\[ x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \]

\[ y =\, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;tusental} \]

Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år

a) \( 1900\, \)

b) \( 1950\, \)

c) \( 2000\, \)

Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet.

d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga

tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren \( 1900-2000 \) (hela tabellen).

Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen \( f(x)\, \)?

Svar 4a

Lösning 4a

Svar 4b

Lösning 4b

Svar 4c

Lösning 4c

Svar 4d

C-övningar: 5-6

Övning 5

Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen

\[ N(t) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-t}} \]

där

\[ t \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \]

\[ N \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} \]

a) Kan \( N(t)\, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?

b) Ange bakteriernas tillväxthastighet efter \( \, 7 \, \) minuter.

Svar 5a

Lösning 5a

Svar 5b

Lösning 5b

Övning 6

Fibonaccis funktion är given i följande tabell:

Antal månader \( \, n \, \)	Antal kaninpar \( \, F(n) \, \)
\( 1 \)	\( 1\, \)
\( 2 \)	\( 1\, \)
\( 3 \)	\( 2\, \)
\( 4 \)	\( 3\, \)
\( 5 \)	\( 5\, \)
\( 6 \)	\( 8\, \)
\( 7 \)	\( 13\, \)
\( 8 \)	\( 21\, \)
\( 9 \)	\( 34\, \)
\( 10 \)	\( 55\, \)
\( 11 \)	\( 89\, \)
\( 12 \)	\( 144\, \)

Välj lämplig numerisk deriveringsformel för att så noggrant som möjligt beräkna:

a) \( \, F\,'(8) \, \)

b) \( \, F\,'(12) \, \)

Motivera ditt val av deriveringsformel.

Svar 6a

Lösning 6a

Svar 6b

Lösning 6b

A-övningar: 7

Övning 7

Fibonaccis funktion är definierad genom följande explicit formel:

\[ F(n) \, = \, {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]

a) Kan \( \, F(n) \, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?

Om svaret är ja, ange \( \, F\,'(n) \). Om svaret är nej, förklara varför?

b) Beräkna \( \, F\,'(12) \, \) så noggrant som möjligt.

c) Jämför resultatet från b) med svaret i övning 6 b) där också \( \, F\,'(12) \, \) beräknades.

Förklara den stora skillnaden. Vilket resultat kan man lita mer på och varför?

Svar 7a

2.6 Svar 7a

Lösning 7a

2.6 Lösning 7a

Svar 7b

2.6 Svar 7b

Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"

Nuvarande version från 29 november 2018 kl. 13.15

Övning 1

Övning 2

Övning 3

Övning 4

Övning 5

Övning 6

Övning 7

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 3c

Sök

@@ Rad 2: / Rad 2: @@
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<-- Förra avsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 {{Not selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Genomgång]]}}
 {{Selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
@@ Rad 11: / Rad 11: @@
-<Big><Big><Big><span style="color:blue">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>
+<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>
-== Övning 1 ==
+== <b>Övning 1</b> ==
-<div class="ovning">
+<div class="ovnE">
 Följande funktion <math> f(x)\, </math> är definierad i tabellform:
 ::{| class="wikitable"
@@ Rad 30: / Rad 30: @@
 Beräkna <math> f\,'(0,6) </math> dvs funktionens derivata i <math> x = 0,6\, </math> med:
-a) &nbsp;&nbsp; framåtdifferenskvoten
+a) &nbsp;&nbsp; [[2.7_Numerisk_derivering#Fram.C3.A5tdifferenskvoten_.3D_derivatans_definition_utan_limes|<strong><span style="color:blue">framåtdifferenskvoten</span></strong>]]
-b) &nbsp;&nbsp; bakåtdifferenskvoten
+b) &nbsp;&nbsp; [[2.7_Numerisk_derivering#Bak.C3.A5tdifferenskvoten|<strong><span style="color:blue">bakåtdifferenskvoten</span></strong>]]
-c) &nbsp;&nbsp; centrala differenskvoten
+c) &nbsp;&nbsp; [[2.7_Numerisk_derivering#Centrala_differenskvoten|<strong><span style="color:blue">den centrala differenskvoten</span></strong>]]
 Ange svaren avrundade till 4 decimaler.
+{{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.6 Svar 1a|Lösning 1a|2.6 Lösning 1a|Svar 1b|2.6 Svar 1b|Lösning 1b|2.6 Lösning 1b|Svar 1c|2.6 Svar 1c|Lösning 1c|2.6 Lösning 1c}}</div>
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.6 Svar 1a|Lösning 1a|2.6 Lösning 1a|Svar 1b|2.6 Svar 1b|Lösning 1b|2.6 Lösning 1b|Svar 1c|2.6 Svar 1c|Lösning 1c|2.6 Lösning 1c}}
-<!-- Alternativt:
-:<small><small>[[2.6 Svar 1a|Svar 1a]] | [[2.6 Lösning 1a|Lösning 1a]] | [[2.6 Svar 1b|Svar 1b]] | [[2.6 Lösning 1b|Lösning 1b]] | [[2.6 Svar 1c|Svar 1c]] | [[2.6 Lösning 1c|Lösning 1c]]</small></small> -->
-== Övning 2 ==
+== <b>Övning 2</b> ==
-<div class="ovning">
+<div class="ovnE">
 Funktionen <math> f(x) = \ln x\, </math> är given.
-Beräkna med 6 decimalers noggrannhet <math> f\,'(1,8) </math> med framåtdifferenskvoten och steglängden
+Beräkna med 6 decimalers noggrannhet <math> f\,'(1,8) </math> med
-a) <math> {\color{White} x} h = 0,1\, </math>
+framåtdifferenskvoten och steglängden
-b) <math> {\color{White} x} h = 0,01\, </math>
+a) &nbsp; <math> h = 0,1\, </math>
-c) <math> {\color{White} x} h = 0,001\, </math>
+b) &nbsp; <math> h = 0,01\, </math>
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.6 Svar 2a|Lösning 2a|2.6 Lösning 2a|Svar 2b|2.6 Svar 2b|Lösning 2b|2.6 Lösning 2b|Svar 2c|2.6 Svar 2c|Lösning 2c|2.6 Lösning 2c}}
+c) &nbsp; <math> h = 0,001\, </math>
-<!-- Alternativt:
+{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.6 Svar 2a|Lösning 2a|2.6 Lösning 2a|Svar 2b|2.6 Svar 2b|Lösning 2b|2.6 Lösning 2b|Svar 2c|2.6 Svar 2c|Lösning 2c|2.6 Lösning 2c}}</div>
-:<small><small>[[2.6 Svar 2a|Svar 2a]] | [[2.6 Lösning 2a|Lösning 2a]] | [[2.6 Svar 2b|Svar 2b]] | [[2.6 Lösning 2b|Lösning 2b]] | [[2.6 Svar 2c|Svar 2c]] | [[2.6 Lösning 2c|Lösning 2c]]</small></small> -->
-== Övning 3 ==
-<div class="ovning">
+== <b>Övning 3</b> ==
+<div class="ovnE">
 I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen <math> f(x) = \ln x\, </math> i <math> x = 1,8\, </math> med framåtdifferenskvoten.
 Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är <math> f\,'(1,8) = 0,555\,556 </math>.
-Använd definitionen till närmevärdets fel i [[2.7_Numerisk_derivering#Exempel_f.C3.B6r_bak.C3.A5tdifferenskvoten|<strong><span style="color:blue">Exempel för bakåtdifferenskvoten</span></strong>]] för att genomföra följande uppgifter:
+Använd definitionen till närmevärdets fel i [[2.7_Numerisk_derivering#Exempel_3|<strong><span style="color:blue">exemplet på bakåtdifferenskvoten</span></strong>]] för att genomföra följande uppgifter:
 a) &nbsp;&nbsp; Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden <math> h = 0,01\, </math>.
-: &nbsp; Approximera <math> f\,'(1,8) </math> med steglängden <math> h = 0,01\, </math> och
+: &nbsp;Beräkna ett närmevärde till <math> f\,'(1,8) </math> med steglängden <math> h = 0,01\, </math> och
 b) &nbsp;&nbsp; bakåtdifferenskvoten samt ange felet,
@@ Rad 74: / Rad 72: @@
 c) &nbsp;&nbsp; centrala differenskvoten samt ange felet.
-d) &nbsp;&nbsp; Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot approximerar <math> f\,'(1,8) </math> bäst?
+d) &nbsp;&nbsp; Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot beräknar närmevärdet till  <math> f\,'(1,8) </math> bäst?
+{{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.6 Svar 3a|Lösning 3a|2.6 Lösning 3a|Svar 3b|2.6 Svar 3b|Lösning 3b|2.6 Lösning 3b|Svar 3c|2.6 Svar 3c|Lösning 3c|2.6 Lösning 3c|Svar 3d|2.6 Svar 3d}}</div>
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.6 Svar 3a|Lösning 3a|2.6 Lösning 3a|Svar 3b|2.6 Svar 3b|Lösning 3b|2.6 Lösning 3b|Svar 3c|2.6 Svar 3c|Lösning 3c|2.6 Lösning 3c|Svar 3d|2.6 Svar 3d}}
-<!-- Alternativt:
-:<small><small>[[2.6 Svar 3a|Svar 3a]] | [[2.6 Lösning 3a|Lösning 3a]] | [[2.6 Svar 3b|Svar 3b]] | [[2.6 Lösning 3b|Lösning 3b]] | [[2.6 Svar 3c|Svar 3c]] | [[2.6 Lösning 3c|Lösning 3c]] | [[2.6 Svar 3d|Svar 3d]]</small></small> -->
-== Övning 4 ==
+== <b>Övning 4</b> ==
-<div class="ovning">
+<div class="ovnE">
 Sveriges befolkning växte mellan åren <math> 1900 </math> och <math> 2000 </math> enligt följande tabell:
 :::{| class="wikitable"
 |-
-! <big> År </big> || <big> Folkmängd i tusental </big>
+! År || Folkmängd i tusental
 |-
 | align=center| <math> 1900\, </math> ||align=center| <math> 5\,130 </math>
@@ Rad 111: / Rad 107: @@
 |}
-Tabellen ovan definierar en funktion <math> {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} </math> där:
+Tabellen ovan definierar en funktion &nbsp; <math> y \, = \, f(x) \; </math> där:
 ::<math> x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} </math>
@@ Rad 119: / Rad 115: @@
 Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år
-a) <math> {\color{White} x} 1900\, </math>
+a) &nbsp; <math> 1900\, </math>
-b) <math> {\color{White} x} 1950\, </math>
+b) &nbsp; <math> 1950\, </math>
-c) <math> {\color{White} x} 2000\, </math>
+c) &nbsp; <math> 2000\, </math>
 Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet.
-d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren <math> 1900-2000 </math> (hela tabellen).
+d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga
+&nbsp;&nbsp;&nbsp; tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren <math> 1900-2000 </math> (hela tabellen).
 Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen <math> f(x)\, </math>?
+{{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.6 Svar 4a|Lösning 4a|2.6 Lösning 4a|Svar 4b|2.6 Svar 4b|Lösning 4b|2.6 Lösning 4b|Svar 4c|2.6 Svar 4c|Lösning 4c|2.6 Lösning 4c|Svar 4d|2.6 Svar 4d}}</div>
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.6 Svar 4a|Lösning 4a|2.6 Lösning 4a|Svar 4b|2.6 Svar 4b|Lösning 4b|2.6 Lösning 4b|Svar 4c|2.6 Svar 4c|Lösning 4c|2.6 Lösning 4c|Svar 4d|2.6 Svar 4d}}
-<!-- Alternativt:
-:<small><small>[[2.6 Svar 4a|Svar 4a]] | [[2.6 Lösning 4a|Lösning 4a]] | [[2.6 Svar 4b|Svar 4b]] | [[2.6 Lösning 4b|Lösning 4b]] | [[2.6 Svar 4c|Svar 4c]] | [[2.6 Lösning 4c|Lösning 4c]] | [[2.6 Svar 4d|Svar 4d]] </small></small> -->
-<Big><Big><Big><span style="color:blue">C-övning: 5</span></Big></Big></Big>
-== Övning 5 ==
+<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
-<div class="ovning">
+== <b>Övning 5</b> ==
+<div class="ovnC">
 Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen
@@ Rad 152: / Rad 150: @@
 a) &nbsp;&nbsp; Kan <math> N(t)\, </math> deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
-b) &nbsp;&nbsp; Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.
+b) &nbsp;&nbsp; Ange bakteriernas tillväxthastighet efter <math> \, 7 \, </math> minuter.
+{{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.6 Svar 5a|Lösning 5a|2.6 Lösning 5a|Svar 5b|2.6 Svar 5b|Lösning 5b|2.6 Lösning 5b}}</div>
+== <b>Övning 6</b> ==
+<div class="ovnC">
+Fibonaccis funktion är given i följande tabell:
+::::{| class="wikitable"
+|-
+! Antal månader <math> \, n \, </math> || Antal kaninpar <math> \, F(n) \, </math>
+|-
+| align=center| <math> 1 </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 2 </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 3 </math> ||align=center| <math> 2\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 4 </math> ||align=center| <math> 3\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 5 </math> ||align=center| <math> 5\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 6 </math> ||align=center| <math> 8\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 7 </math> ||align=center| <math> 13\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 8 </math> ||align=center| <math> 21\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 9 </math> ||align=center| <math> 34\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 10 </math> ||align=center| <math> 55\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 11 </math> ||align=center| <math> 89\, </math>
+|-
+| align=center| <math> 12 </math> ||align=center| <math> 144\, </math>
+|}
+Välj lämplig numerisk deriveringsformel för att så noggrant som möjligt beräkna:
+a) &nbsp;&nbsp; <math> \, F\,'(8) \, </math>
+b) &nbsp;&nbsp; <math> \, F\,'(12) \, </math>
+Motivera ditt val av deriveringsformel.
+{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.6 Svar 6a|Lösning 6a|2.6 Lösning 6a|Svar 6b|2.6 Svar 6b|Lösning 6b|2.6 Lösning 6b}}</div>
+<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7</span></Big></Big></Big>
+== <b>Övning 7</b> ==
+<div class="ovnA">
+Fibonaccis funktion är definierad genom följande explicit formel:
+::<math> F(n) \, = \, {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1  </math>
+a) &nbsp; Kan <math> \, F(n) \, </math> deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
+:Om svaret är ja, ange <math> \, F\,'(n) </math>. Om svaret är nej, förklara varför?
+b) &nbsp; Beräkna <math> \, F\,'(12) \, </math> så noggrant som möjligt.
+c) &nbsp; Jämför resultatet från b) med svaret i övning 6 b) där också <math> \, F\,'(12) \, </math> beräknades.
-</div> {{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.6 Svar 5a|Lösning 5a|2.6 Lösning 5a|Svar 5b|2.6 Svar 5b|Lösning 5b|2.6 Lösning 5b}}
+:Förklara den stora skillnaden. Vilket resultat kan man lita mer på och varför?
-<!-- Alternativt:
+{{#NAVCONTENT:Svar 7a|2.6 Svar 7a|Lösning 7a|2.6 Lösning 7a|Svar 7b|2.6 Svar 7b}}</div>
-:<small><small>[[2.6 Svar 5a|Svar 5a]] | [[2.6 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[2.6 Svar 5b|Svar 5b]] | [[2.6 Lösning 5b|Lösning 5b]]</small></small> -->
@@ Rad 188: / Rad 249: @@
 | align=center| <math> 24\,601-24\,800 </math> ||align=center| <math> 5\,870 </math>
 |}
-där <math> {\color{White} x} \quad \!\! x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
+där &nbsp; <math> \quad \!\! x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
 :::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>
@@ Rad 276: / Rad 337: @@
 == 3d ==
-Det är den centrala differenskvoten som approximerar <math> f\,'(1,8) </math> bäst.
+Det är den centrala differenskvoten som beräknar närmevärdet till <math> f\,'(1,8) </math> bäst.
 == 4a ==
@@ Rad 300: / Rad 361: @@
-[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.