Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 1)
m
 
(151 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[2.6 Numerisk derivering|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[2.6 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Genomgång]]}}
 +
{{Selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 Derivata]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov i Matte 3 kap 2 Derivata|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
__NOTOC__
 
−
== G-övningar: 1-4 ==
 
  
−
== Övning 1 ==
+
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>
−
<div class="ovning">
+
 
 +
 
 +
== <b>Övning 1</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 
Följande funktion <math> f(x)\, </math> är definierad i tabellform:
 
Följande funktion <math> f(x)\, </math> är definierad i tabellform:
 
::{| class="wikitable"
 
::{| class="wikitable"
Rad 23: Rad 28:
 
|}
 
|}
  
−
Beräkna funktionens derivata i <math> x = 0,6\, </math> dvs <math> f\,'(0,6) </math> med:
+
Beräkna <math> f\,'(0,6) </math> dvs funktionens derivata i <math> x = 0,6\, </math> med:
  
−
a) framåtdifferenskvoten
+
a) &nbsp;&nbsp; [[2.7_Numerisk_derivering#Fram.C3.A5tdifferenskvoten_.3D_derivatans_definition_utan_limes|<strong><span style="color:blue">framåtdifferenskvoten</span></strong>]]
  
−
b) bakåtdifferenskvoten
+
b) &nbsp;&nbsp; [[2.7_Numerisk_derivering#Bak.C3.A5tdifferenskvoten|<strong><span style="color:blue">bakåtdifferenskvoten</span></strong>]]
  
−
c) centrala differenskvoten
+
c) &nbsp;&nbsp; [[2.7_Numerisk_derivering#Centrala_differenskvoten|<strong><span style="color:blue">den centrala differenskvoten</span></strong>]]
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.6 Svar 1a|Lösning 1a|2.6 Lösning 1a|Svar 1b|2.6 Svar 1b|Lösning 1b|2.6 Lösning 1b|Svar 1c|2.6 Svar 1c|Lösning 1c|2.6 Lösning 1c}}
+
Ange svaren avrundade till 4 decimaler.
−
Alternativt:
+
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.6 Svar 1a|Lösning 1a|2.6 Lösning 1a|Svar 1b|2.6 Svar 1b|Lösning 1b|2.6 Lösning 1b|Svar 1c|2.6 Svar 1c|Lösning 1c|2.6 Lösning 1c}}</div>  
−
:<small><small>[[2.6 Svar 1a|Svar 1a]] | [[2.6 Lösning 1a|Lösning 1a]] | [[2.6 Svar 1b|Svar 1b]] | [[2.6 Lösning 1b|Lösning 1b]] | [[2.6 Svar 1c|Svar 1c]] | [[2.6 Lösning 1c|Lösning 1c]]</small></small>
+
  
−
== Övning 2 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Lös följande ekvationer med den metod som förklaras i Teori-delen.
 
  
−
a) <math> 2\,\sqrt{x} - x = 1 </math>
+
== <b>Övning 2</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Funktionen <math> f(x) = \ln x\, </math> är given.
  
−
b) <math> x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 </math>
+
Beräkna med 6 decimalers noggrannhet <math> f\,'(1,8) </math> med
  
−
c) <math> 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} = -9 </math>
+
framåtdifferenskvoten och steglängden
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.6 Svar 2a|Lösning 2a|2.6 Lösning 2a|Svar 2b|2.6 Svar 2b|Lösning 2b|2.6 Lösning 2b|Svar 2c|2.6 Svar 2c|Lösning 2c|2.6 Lösning 2c}}
+
a) &nbsp; <math> h = 0,1\, </math>
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[2.6 Svar 2a|Svar 2a]] | [[2.6 Lösning 2a|Lösning 2a]] | [[2.6 Svar 2b|Svar 2b]] | [[2.6 Lösning 2b|Lösning 2b]] | [[2.6 Svar 2c|Svar 2c]] | [[2.6 Lösning 2c|Lösning 2c]]</small></small>
+
  
−
== Övning 3 ==
+
b) &nbsp; <math> h = 0,01\, </math>
−
<div class="ovning">
+
−
Lös följande rotekvationer:
+
  
−
a) <math> x = \sqrt{x+7} - 1 </math>
+
c) &nbsp; <math> h = 0,001\, </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.6 Svar 2a|Lösning 2a|2.6 Lösning 2a|Svar 2b|2.6 Svar 2b|Lösning 2b|2.6 Lösning 2b|Svar 2c|2.6 Svar 2c|Lösning 2c|2.6 Lösning 2c}}</div>
  
−
b) <math> {x + \sqrt{x} \over 7} =  6 </math>
 
  
−
c) <math> 2\,(x + 8) = 9\,\sqrt{4\,x} </math>
+
== <b>Övning 3</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen <math> f(x) = \ln x\, </math> i <math> x = 1,8\, </math> med framåtdifferenskvoten.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.6 Svar 3a|Lösning 3a|2.6 Lösning 3a|Svar 3b|2.6 Svar 3b|Lösning 3b|2.6 Lösning 3b|Svar 3c|2.6 Svar 3c|Lösning 3c|2.6 Lösning 3c}}
+
Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är <math> f\,'(1,8) = 0,555\,556 </math>.
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[2.6 Svar 3a|Svar 3a]] | [[2.6 Lösning 3a|Lösning 3a]] | [[2.6 Svar 3b|Svar 3b]] | [[2.6 Lösning 3b|Lösning 3b]] | [[2.6 Svar 3c|Svar 3c]] | [[2.6 Lösning 3c|Lösning 3c]]</small></small>
+
  
−
+++
+
Använd definitionen till närmevärdets fel i [[2.7_Numerisk_derivering#Exempel_3|<strong><span style="color:blue">exemplet på bakåtdifferenskvoten</span></strong>]] för att genomföra följande uppgifter:
  
−
== Övning 4 ==
+
a) &nbsp;&nbsp; Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden <math> h = 0,01\, </math>.
−
<div class="ovning">
+
 
−
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 enligt följande tabell:
+
: &nbsp;Beräkna ett närmevärde till <math> f\,'(1,8) </math> med steglängden <math> h = 0,01\, </math> och
 +
 
 +
b) &nbsp;&nbsp; bakåtdifferenskvoten samt ange felet,
 +
 
 +
c) &nbsp;&nbsp; centrala differenskvoten samt ange felet.
 +
 
 +
d) &nbsp;&nbsp; Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot beräknar närmevärdet till  <math> f\,'(1,8) </math> bäst?
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.6 Svar 3a|Lösning 3a|2.6 Lösning 3a|Svar 3b|2.6 Svar 3b|Lösning 3b|2.6 Lösning 3b|Svar 3c|2.6 Svar 3c|Lösning 3c|2.6 Lösning 3c|Svar 3d|2.6 Svar 3d}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Sveriges befolkning växte mellan åren <math> 1900 </math> och <math> 2000 </math> enligt följande tabell:
  
 
:::{| class="wikitable"
 
:::{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
−
! <big> År </big> || <big> Folkmängd i tusental </big>
+
! År || Folkmängd i tusental  
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> 1900\, </math> ||align=center| <math> 5\,130 </math>  
 
| align=center| <math> 1900\, </math> ||align=center| <math> 5\,130 </math>  
Rad 96: Rad 107:
 
|}
 
|}
  
 +
Tabellen ovan definierar en funktion &nbsp; <math> y \, = \, f(x) \; </math> där:
 +
 +
::<math> x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} </math>
 +
 +
::<math> y =\, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;tusental} </math>
 +
 +
Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år
 +
 +
a) &nbsp; <math> 1900\, </math>
 +
 +
b) &nbsp; <math> 1950\, </math>
 +
 +
c) &nbsp; <math> 2000\, </math>
 +
 +
Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet.
 +
 +
d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp; tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren <math> 1900-2000 </math> (hela tabellen).
 +
 +
Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen <math> f(x)\, </math>?
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.6 Svar 4a|Lösning 4a|2.6 Lösning 4a|Svar 4b|2.6 Svar 4b|Lösning 4b|2.6 Lösning 4b|Svar 4c|2.6 Svar 4c|Lösning 4c|2.6 Lösning 4c|Svar 4d|2.6 Svar 4d}}</div>
 +
 +
 +
 +
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
 +
 +
 +
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen
 +
 +
::<math> N(t) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-t}} </math>
 +
 +
där
 +
 +
:::<math> t \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
 +
 +
:::<math> N \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} </math>
 +
 +
a) &nbsp;&nbsp; Kan <math> N(t)\, </math> deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
 +
 +
b) &nbsp;&nbsp; Ange bakteriernas tillväxthastighet efter <math> \, 7 \, </math> minuter.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.6 Svar 5a|Lösning 5a|2.6 Lösning 5a|Svar 5b|2.6 Svar 5b|Lösning 5b|2.6 Lösning 5b}}</div>
 +
 +
 +
== <b>Övning 6</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Fibonaccis funktion är given i följande tabell:
 +
 +
::::{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! Antal månader <math> \, n \, </math> || Antal kaninpar <math> \, F(n) \, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 1 </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 2 </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 3 </math> ||align=center| <math> 2\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 4 </math> ||align=center| <math> 3\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 5 </math> ||align=center| <math> 5\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 6 </math> ||align=center| <math> 8\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 7 </math> ||align=center| <math> 13\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 8 </math> ||align=center| <math> 21\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 9 </math> ||align=center| <math> 34\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 10 </math> ||align=center| <math> 55\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 11 </math> ||align=center| <math> 89\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 12 </math> ||align=center| <math> 144\, </math>
 +
|}
 +
 +
Välj lämplig numerisk deriveringsformel för att så noggrant som möjligt beräkna:
 +
 +
a) &nbsp;&nbsp; <math> \, F\,'(8) \, </math>
 +
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \, F\,'(12) \, </math>
 +
 +
Motivera ditt val av deriveringsformel.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.6 Svar 6a|Lösning 6a|2.6 Lösning 6a|Svar 6b|2.6 Svar 6b|Lösning 6b|2.6 Lösning 6b}}</div>
 +
 +
 +
 +
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7</span></Big></Big></Big>
 +
 +
 +
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Fibonaccis funktion är definierad genom följande explicit formel:
 +
 +
::<math> F(n) \, = \, {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1  </math>
 +
 +
a) &nbsp; Kan <math> \, F(n) \, </math> deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
 +
 +
:Om svaret är ja, ange <math> \, F\,'(n) </math>. Om svaret är nej, förklara varför?
 +
 +
b) &nbsp; Beräkna <math> \, F\,'(12) \, </math> så noggrant som möjligt.
 +
 +
c) &nbsp; Jämför resultatet från b) med svaret i övning 6 b) där också <math> \, F\,'(12) \, </math> beräknades.
 +
 +
:Förklara den stora skillnaden. Vilket resultat kan man lita mer på och varför?
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|2.6 Svar 7a|Lösning 7a|2.6 Lösning 7a|Svar 7b|2.6 Svar 7b}}</div>
 +
 +
 +
<!-- OBS! Alla följande övningar finns redan i Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet:
 +
== Övning 6 ==
 +
<div class="ovning">
 +
Följande utdrag ur [https://www.skatteverket.se/download/18.4a47257e143e26725ae1435/1391609286021/manadslon_tabell29.pdf Skatteverkets skattetabell] för 2014 (Kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:            
 +
 +
::{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 22\,801-23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,302 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,001-23\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,365 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,201-23\,400 </math> ||align=center| <math> 5\,427 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,401-23\,600 </math> ||align=center| <math> 5\,490 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,601-23\,800 </math> ||align=center| <math> 5\,553 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 23\,801-24\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,616 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 24\,001-24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,681 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 24\,201-24\,400 </math> ||align=center| <math> 5\,744 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 24\,401-24\,600 </math> ||align=center| <math> 5\,807 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 24\,601-24\,800 </math> ||align=center| <math> 5\,870 </math>
 +
|}
 +
där &nbsp; <math> \quad \!\! x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
 +
 +
:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>
 +
 +
Åsa får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från <math> 23\,150 </math> kr till <math> 24\,700 </math>.
 +
 +
a) &nbsp;&nbsp; Bestäm <math> \Delta x\, </math> för Åsa.
 +
 +
b) &nbsp;&nbsp; Bestäm <math> \Delta y\, </math> för Åsa.
 +
 +
c) &nbsp;&nbsp; Beräkna <math> \Delta y \over \Delta x </math> för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön - det som kallas [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_1_Marginalskatt|<strong><span style="color:blue">marginalskatt</span></strong>]].
 +
 +
Ange Åsas marginalskatt i procent. Avrunda svaret till en decimal.
 +
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.2 Svar 6a|Lösning 6a|2.2 Lösning 6a|Svar 6b|2.2 Svar 6b|Lösning 6b|2.2 Lösning 6b|Svar 6c|2.2 Svar 6c|Lösning 6c|2.2 Lösning 6c}}
 +
 +
 +
<Big><Big><Big><span style="color:blue">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
 +
 +
== Övning 7 ==
 +
<div class="ovning">
 +
Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen
 +
 +
::<math> y \, = \, x^2 </math>
 +
 +
i intervallet
 +
 +
::<math> a \,\leq\, x \,\leq\, a+h </math>
 +
 +
 +
Förenkla uttrycket i <math> a\, </math> och <math> h\, </math> så långt som möjligt.
 +
 +
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 7|2.6 Svar 7|Lösning 7|2.6 Lösning 7}}
 +
 +
== Övning 8 ==
 +
<div class="ovning">
 +
Följande polynomfunktion är given:
 +
 +
::<math> y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 </math>
 +
 +
a) &nbsp;&nbsp; Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan <math> x\, </math> och <math> x + h\, </math>. Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
 +
 +
b) &nbsp;&nbsp; Låt i uttrycket från a) gå <math> h\, </math> mot 0 så att du får ett uttryck endast i <math> x\, </math>.
 +
 +
c) &nbsp;&nbsp; Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för <math> x = 2\, </math>. Tolka ditt resultat.
 +
 +
d) &nbsp;&nbsp; Ställ upp ekvationen till tangenten till kurvan <math> y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 </math> i punkten <math> x = 2\, </math>.
 +
 +
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 8a|2.6 Svar 8a|Lösning 8a|2.6 Lösning 8a|Svar 8b|2.6 Svar 8b|Lösning 8b|2.6 Lösning 8b|Svar 8c|2.6 Svar 8c|Lösning 8c|2.6 Lösning 8c|Svar 8d|2.6 Svar 8d|Lösning 8d|2.6 Lösning 8d}}
 +
 +
 +
<!--
 +
<Big><Big><Big><span style="color:blue">Facit</span></Big></Big></Big>
 +
 +
 +
== 1a ==
 +
<math> 2,8327\, </math>
 +
 +
== 1b ==
 +
<math> 2,4680\, </math>
 +
 +
== 1c ==
 +
<math> 2,6504\, </math>
 +
 +
== 2a ==
 +
<math> 0,540\,672 </math>
 +
 +
== 2b ==
 +
<math> 0,554\,018 </math>
 +
 +
== 2c ==
 +
<math> 0,555\,401 </math>
 +
 +
== 3a ==
 +
<math> 0,001\,538</math>
 +
 +
== 3b ==
 +
<math> f\,'(1,8) \approx 0,557\,105 </math>
 +
 +
<big>Felet</big> <math> \, = \, 0,001\,549</math>
 +
 +
== 3c ==
 +
<math> f\,'(1,8) \approx 0,555\,561 </math>
 +
 +
 +
<big>Felet</big> <math> = - 0,000\,005</math>
 +
 +
== 3d ==
 +
Det är den centrala differenskvoten som beräknar närmevärdet till <math> f\,'(1,8) </math> bäst.
 +
 +
== 4a ==
 +
<math> 0,04\, </math>
 +
 +
== 4b ==
 +
<math> 0,04\, </math>
 +
 +
<big>Felet</big> <math> \, = \, 0,001\,549</math>
  
−
a) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under hela seklet.
+
== 4c ==
 +
<math> 0,04\, </math>
  
−
b) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets första decennium.
+
== 4d ==
 +
<Big>Slutsats: Den tabellerade funktionen är linjär.</Big>
  
−
c) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets sista decennium.
+
== 5a ==
  
−
d) Är följande påstående sant eller falskt?
+
<Big> Nej. </Big>
 +
-->
  
−
::''"Anledningen till att a)-c) ger samma resultat är att modellen som beskriver Sveriges befolkningsutveckling, är en linjär funktion.''
 
  
−
::''Linjära funktioner har samma genomsnittliga förändringshastighet i alla intervall på x-axeln."''
 
  
−
Motivera ditt svar.
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.6 Svar 4a|Lösning 4a|2.6 Lösning 4a|Svar 4b|2.6 Svar 4b|Lösning 4b|2.6 Lösning 4b|Svar 4c|2.6 Svar 4c|Lösning 4c|2.6 Lösning 4c|Svar 4d|2.6 Svar 4d|Lösning 4d|2.6 Lösning 4d}}
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[2.6 Svar 4a|Svar 4a]] | [[2.6 Lösning 4a|Lösning 4a]] | [[2.6 Svar 4b|Svar 4b]] | [[2.6 Lösning 4b|Lösning 4b]] | [[2.6 Svar 4c|Svar 4c]] | [[2.6 Lösning 4c|Lösning 4c]] | [[2.6 Svar 4d|Svar 4d]] | [[2.6 Lösning 4d|Lösning 4d]]</small></small>
+

Nuvarande version från 29 november 2018 kl. 13.15

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Diagnosprov kap 2 Derivata          Lösningar till diagnosprov kap 2      


E-övningar: 1-4


Övning 1

Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:

\( x\, \) \( f(x)\, \)
\( 0,5\, \) \( 1,79744\, \)
\( 0,6\, \) \( 2,04424\, \)
\( 0,7\, \) \( 2,32751\, \)

Beräkna \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:

a)    framåtdifferenskvoten

b)    bakåtdifferenskvoten

c)    den centrala differenskvoten

Ange svaren avrundade till 4 decimaler.

Svar 1a
2.6 Svar 1a
Lösning 1a
2.6 Lösning 1a
Svar 1b
2.6 Svar 1b
Lösning 1b
2.6 Lösning 1b
Svar 1c
2.6 Svar 1c
Lösning 1c
2.6 Lösning 1c


Övning 2

Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.

Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) med

framåtdifferenskvoten och steglängden

a)   \( h = 0,1\, \)

b)   \( h = 0,01\, \)

c)   \( h = 0,001\, \)

Svar 2a
2.6 Svar 2a
Lösning 2a
2.6 Lösning 2a
Svar 2b
2.6 Svar 2b
Lösning 2b
2.6 Lösning 2b
Svar 2c
2.6 Svar 2c
Lösning 2c
2.6 Lösning 2c


Övning 3

I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.

Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).

Använd definitionen till närmevärdets fel i exemplet på bakåtdifferenskvoten för att genomföra följande uppgifter:

a)    Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).

 Beräkna ett närmevärde till \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och

b)    bakåtdifferenskvoten samt ange felet,

c)    centrala differenskvoten samt ange felet.

d)    Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot beräknar närmevärdet till \( f\,'(1,8) \) bäst?

Svar 3a
2.6 Svar 3a
Lösning 3a
2.6 Lösning 3a
Svar 3b
2.6 Svar 3b
Lösning 3b
2.6 Lösning 3b
Svar 3c
2.6 Svar 3c
Lösning 3c
2.6 Lösning 3c
Svar 3d
2.6 Svar 3d


Övning 4

Sveriges befolkning växte mellan åren \( 1900 \) och \( 2000 \) enligt följande tabell:

År Folkmängd i tusental
\( 1900\, \) \( 5\,130 \)
\( 1910\, \) \( 5\,406 \)
\( 1920\, \) \( 5\,832 \)
\( 1930\, \) \( 6\,298 \)
\( 1940\, \) \( 6\,645 \)
\( 1950\, \) \( 7\,016 \)
\( 1960\, \) \( 7\,495 \)
\( 1970\, \) \( 8\,126 \)
\( 1980\, \) \( 8\,217 \)
\( 1990\, \) \( 8\,654 \)
\( 2000\, \) \( 8\,983 \)

Tabellen ovan definierar en funktion   \( y \, = \, f(x) \; \) där:

\[ x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \]
\[ y =\, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;tusental} \]

Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år

a)   \( 1900\, \)

b)   \( 1950\, \)

c)   \( 2000\, \)

Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet.

d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga

    tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren \( 1900-2000 \) (hela tabellen).

Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen \( f(x)\, \)?

Svar 4a
2.6 Svar 4a
Lösning 4a
2.6 Lösning 4a
Svar 4b
2.6 Svar 4b
Lösning 4b
2.6 Lösning 4b
Svar 4c
2.6 Svar 4c
Lösning 4c
2.6 Lösning 4c
Svar 4d
2.6 Svar 4d



C-övningar: 5-6


Övning 5

Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen

\[ N(t) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-t}} \]

där

\[ t \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \]
\[ N \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} \]

a)    Kan \( N(t)\, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?

b)    Ange bakteriernas tillväxthastighet efter \( \, 7 \, \) minuter.

Svar 5a
2.6 Svar 5a
Lösning 5a
2.6 Lösning 5a
Svar 5b
2.6 Svar 5b
Lösning 5b
2.6 Lösning 5b


Övning 6

Fibonaccis funktion är given i följande tabell:

Antal månader \( \, n \, \) Antal kaninpar \( \, F(n) \, \)
\( 1 \) \( 1\, \)
\( 2 \) \( 1\, \)
\( 3 \) \( 2\, \)
\( 4 \) \( 3\, \)
\( 5 \) \( 5\, \)
\( 6 \) \( 8\, \)
\( 7 \) \( 13\, \)
\( 8 \) \( 21\, \)
\( 9 \) \( 34\, \)
\( 10 \) \( 55\, \)
\( 11 \) \( 89\, \)
\( 12 \) \( 144\, \)

Välj lämplig numerisk deriveringsformel för att så noggrant som möjligt beräkna:

a)    \( \, F\,'(8) \, \)

b)    \( \, F\,'(12) \, \)

Motivera ditt val av deriveringsformel.

Svar 6a
2.6 Svar 6a
Lösning 6a
2.6 Lösning 6a
Svar 6b
2.6 Svar 6b
Lösning 6b
2.6 Lösning 6b



A-övningar: 7


Övning 7

Fibonaccis funktion är definierad genom följande explicit formel:

\[ F(n) \, = \, {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]

a)   Kan \( \, F(n) \, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?

Om svaret är ja, ange \( \, F\,'(n) \). Om svaret är nej, förklara varför?

b)   Beräkna \( \, F\,'(12) \, \) så noggrant som möjligt.

c)   Jämför resultatet från b) med svaret i övning 6 b) där också \( \, F\,'(12) \, \) beräknades.

Förklara den stora skillnaden. Vilket resultat kan man lita mer på och varför?
Svar 7a
2.6 Svar 7a
Lösning 7a
2.6 Lösning 7a
Svar 7b
2.6 Svar 7b




Copyright © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.7_Övningar_till_Numerisk_derivering&oldid=36058"