Skillnad mellan versioner av "1.3 Övningar till Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 1)
m
 
(261 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.4 Rationella uttryck|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Repetition: Tal i bråkform|Repetition: Tal i bråkform]]}}
−
{{Selected tab|[[1.4 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 +
{{Selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt  >> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
  
−
== G-övningar: 1-6 ==
+
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span></Big></Big></Big>
  
−
== Övning 1 ==
+
 
−
<div class="ovning">
+
== <b>Övning 1</b> ==
−
För vilka värden på x är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?
+
<div class="ovnE">
 +
För vilka värden på <math> \, x \, </math> är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?
 +
 
 +
 
 +
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \frac{x^2 \, + \, 1}{3\,x \, - \, 6} </math>
 +
 
 +
 
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 3  \over  (x+6) \, \cdot \, (x-1)} </math>
 +
 
 +
 
 +
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over x^2 \, + \, 1} </math>
 +
 
 +
 
 +
d) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {4\,x^4 \, - \, 6\,x^2 \, + \, 1 \over x^2 \, - \, 16} </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.4 Svar 1a|Lösning 1a|1.4 Lösning 1a|Svar 1b|1.4 Svar 1b|Lösning 1b|1.4 Lösning 1b|Svar 1c|1.4 Svar 1c|Lösning 1c|1.4 Lösning 1c|Svar 1d|1.4 Svar 1d|Lösning 1d|1.4 Lösning 1d}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 2</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Beräkna exakt:
 
   
 
   
−
a) <math> x^2 + 1 \over 3\,x - 6 </math>
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> f(3)\, </math> om <math> \, f(x) \, = \, \displaystyle {x^2 \, - \, 4\,x \, + \, 3 \over 2\,x^2 \, + \, 3} </math>
  
−
b) <math> x^2 - 5\,x + 3  \over  (x+6) \cdot (x-1) </math>
 
  
−
c) <math> x^2 - 1 \over x^2 + 1 </math>
+
b) &nbsp;&nbsp; <math> g(2)\, </math> om <math> \, g(t) \, = \, \displaystyle {3\,t^2 \, - \, 2\,t \over t\,(t \, + \, 1)} </math>
  
−
d) <math> x^2 + 1 \over x^2 + 1 </math>
 
  
−
Förenkla så mycket som möjligt. Ange varje gång om resultatet är ett polynom. I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> h(-1)\, </math> om <math> h(x) \, = \, \displaystyle {x^3 \, - \, x^2 - \, 1 \over x^3 \, + \, x^2 \, + \, x} </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.4 Svar 1a|Lösning 1a|1.4 Lösning 1a|Svar 1b|1.4 Svar 1b|Lösning 1b|1.4 Lösning 1b|Svar 1c|1.4 Svar 1c|Lösning 1c|1.4 Lösning 1c|Svar 1d|1.4 Svar 1d|Lösning 1d|1.4 Lösning 1d}}
 
  
−
== Övning 2 ==
+
d) &nbsp;&nbsp; <math> f(-1)\, </math> om <math> f(z) \, = \, \displaystyle {z^3 \, - \, z^2 \, - \, z \, - \, 1 \over z^3 \, + \, z^2 \, + z \, + \, 1} </math>  
−
<div class="ovning">
+
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.4 Svar 2a|Lösning 2a|1.4 Lösning 2a|Svar 2b|1.4 Svar 2b|Lösning 2b|1.4 Lösning 2b|Svar 2c|1.4 Svar 2c|Lösning 2c|1.4 Lösning 2c|Svar 2d|1.4 Svar 2d|Lösning 2d|1.4 Lösning 2d}}</div>
−
Gör samma sak som i övning 1 ovan med polynomen <math> P_1(x) = 4\,x^2 - 7\,x + 2 </math> och <math> P_2(x) = -4\,x^2 - 5\,x </math>.
+
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.4 Svar 2a|Lösning 2a|1.4 Lösning 2a|Svar 2b|1.4 Svar 2b|Lösning 2b|1.4 Lösning 2b|Svar 2c|1.4 Svar 2c|Lösning 2c|1.4 Lösning 2c|Svar 2d|1.4 Svar 2d|Lösning 2d|1.4 Lösning 2d}}
 
  
−
== Övning 3 ==
+
== <b>Övning 3</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
−
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt och skriv om det till ett polynom:
+
Förkorta följande uttryck så långt som möjligt, om det går:
  
−
a) <math> \displaystyle P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) </math>
 
  
−
b) Använd svaret i a) för att beräkna <math>\displaystyle P(-1)</math>.
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {20\,x^3 \, y^2 \over 4\,x^2 \, y} </math>
  
−
c) Bestäm alla nollställen till det polynom du fick i a).
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.4 Svar 3a|Lösning 3a|1.4 Lösning 3a|Svar 3b|1.4 Svar 3b|Lösning 3b|1.4 Lösning 3b|Svar 3c|1.4 Svar 3c|Lösning 3c|1.4 Lösning 3c}}
+
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x^2\,(x \, + \, y) \over x} </math>
  
−
== Övning 4 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:
 
  
−
a) <math> \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 </math>
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x\,(x \, - \, y) \over y} </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.4 Svar 3a|Lösning 3a|1.4 Lösning 3a|Svar 3b|1.4 Svar 3b|Lösning 3b|1.4 Lösning 3b|Svar 3c|1.4 Svar 3c|Lösning 3c|1.4 Lösning 3c}}</div>
  
−
b) Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för x = -2.
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.4 Svar 4a|Lösning 4a|1.4 Lösning 4a|Svar 4b|1.4 Svar 4b|Lösning 4b|1.4 Lösning 4b}}
+
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
  
−
== Övning 5 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen:
 
  
−
<math> y = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x \, - \, y \over y \, - \, x} </math>
  
−
där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.
 
  
−
a) Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.
+
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {6\,(x \, - \, 2)\, ^2 \over 3\,x \, - \, 6} </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.4 Svar 4a|Lösning 4a|1.4 Lösning 4a|Svar 4b|1.4 Svar 4b|Lösning 4b|1.4 Lösning 4b}}</div>
  
−
b) Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar & lösning 5a|1.4 Lösning 5a|Svar 5b|1.4 Svar 5b|Lösning 5b|1.4 Lösning 5b}}
+
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
  
−
== Övning 6 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:
 
  
−
a) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x \over 3} \, + \, {x \over 2} \, - \, {x \over 6} </math>
  
−
b) Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.
+
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {2 \over x} \, + \, {3 \over x^2} \, + \, {4 \over x^3} </math>
  
−
c) När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler.
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.4 Svar 6a|Lösning 6a|1.4 Lösning 6a|Svar 6b|1.4 Svar 6b|Lösning 6b|1.4 Lösning 6b|Svar 6c|1.4 Svar 6c|Lösning 6c|1.4 Lösning 6c}}
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {3 \over a \, - \, 2} \, - \, {a \, + \, 7 \over 6 \, - \, 3\,a} </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.4 Svar 5a|Lösning 5a|1.4 Lösning 5a|Svar 5b|1.4 Svar 5b|Lösning 5b|1.4 Lösning 5b|Svar 5c|1.4 Svar 5c|Lösning 5c|1.4 Lösning 5c}}</div>
  
−
== VG-övningar: 7-10 ==
 
  
−
== Övning 7 ==
+
== <b>Övning 6</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
−
Följande två polynom är givna:
+
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
  
−
<math> U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x </math>
 
  
−
<math> U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 </math>
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {3\,(y \, - \, 3) \over 8\,y} \, \cdot \, {24\,y \over y \, - \, 3} </math>
  
−
Utveckla polynomet <math> \displaystyle U_5(x) </math> med hjälp av formeln:
 
  
−
<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>
+
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x \, + \, y \over x\,^2} \cdot {x \, y \over x \, + \, y} </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.4 Svar 7|Lösning 7|1.4 Lösning 7}}
 
  
−
== Övning 8 ==
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \left({2\,a \, - \, 4 \over a\,^2}\right)\, \Big / \,\left({a\,^2 \, - \, 4 \over a\,^4}\right) </math>
−
<div class="ovning">
+
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.4 Svar 6a|Lösning 6a|1.4 Lösning 6a|Svar 6b|1.4 Svar 6b|Lösning 6b|1.4 Lösning 6b|Svar 6c|1.4 Svar 6c|Lösning 6c|1.4 Lösning 6c}}</div>
−
Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna:
+
  
−
<math> \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8|1.4 Svar 8|Lösning 8|1.4 Lösning 8}}
 
  
−
== Övning 9 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan:
 
  
−
<math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 </math>
+
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 7-9</span></Big></Big></Big>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar & lösning 9|1.4 Svar 9}}
 
  
−
== Övning 10 ==
+
== <b>Övning 7</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnC">
−
Två polynom är givna:  
+
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
  
−
<math> P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b </math>
 
  
−
<math> Q(x) = 4 \cdot x - 6 </math>
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x^2 \, - \, 25 \over 8\,x^2 \, - \, 40\,x} </math>
  
−
För vilka värden av <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är <math> P(x) = Q(x)\, </math>?
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.4 Svar 10|Lösning 10|1.4 Lösning 10}}
+
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {3\,x^2 \, - \, 12\,x \over x^2 \, - \, 6\,x \, + \, 8} </math>
  
−
== MVG-övningar: 11-12 ==
 
  
−
== Övning 11 ==
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {1 \, - \, x\,y \over (x\,y)^2 \, - \, x\,y} </math>
  
−
<div class="ovning">
+
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|1.4 Svar 7a|Lösning 7a|1.4 Lösning 7a|Svar 7b|1.4 Svar 7b|Lösning 7b|1.4 Lösning 7b|Svar 7c|1.4 Svar 7c|Lösning 7c|1.4 Lösning 7c}}</div>
−
Följande 2:a gradspolynom är givet:
+
  
−
:<math> P(x) = x^2 - 10\,x + 16 </math>
 
  
−
a) Utveckla uttrycket <math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) </math> till ett polynom. Bestäm <math> a\, </math> och <math> b\, </math> så att <math> P(x) = Q(x)\, </math>. Använd jämförelse av koefficienter.
+
== <b>Övning 8</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Förenkla uttrycken i a) och b) så långt som möjligt:
  
−
b) Visa att de värden du får för <math> a\, </math> och <math> b\, </math> i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {6\,x \over 4 - 9\,x^2} \, - \, {1 \over 2 -3\,x} </math>
  
−
:<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>
+
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {1 \, - \, x \over x \, + \, 1} \, - \, {1 \, + \, x \over 1 \, - \, x} \, + \, {4\,x \over 1 \, - \, x^2} </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.4 Svar 11a|Lösning 11a|1.4 Lösning 11a|Svar & lösning 11b|1.4 Lösning 11b}}
 
  
−
== Övning 12 ==
+
c) &nbsp;&nbsp; För vilket värde på <math> z\, </math> har följande ekvation lösningen <math> x = 2\, </math>:
  
−
<div class="ovning">
 
−
Visa att 2:a gradspolynomet <math> P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 </math> kan skrivas som
 
  
−
:<math> (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) </math>
+
::<math> {15\,x^2 \, - \, 2\,x \, - \, 6 \over 6} =  {x \, - \, 3\,z \over 2} - {z \, - \, 2\,x^2 \over 3} - {z \over x} </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.4 Svar 8a|Lösning 8a|1.4 Lösning 8a|Svar 8b|1.4 Svar 8b|Lösning 8b|1.4 Lösning 8b|Svar 8c|1.4 Svar 8c|Lösning 8c|1.4 Lösning 8c}}</div>
  
−
vilket innebär en faktorisering av polynomet <math> P(x)\, </math>. Bestäm a, b, c och d genom att:
 
  
−
a) Hitta först polynomet <math> P(x)\, </math>:s rötter <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> exakt, dvs bibehåll bråkformen.
+
== <b>Övning 9</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
  
−
b) Sätt sedan <math> P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)  </math> och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \left({1 \over 2\,x \, - \, 1} \, + \, {1 \over 2\,x \, + \, 1}\right) \, \cdot \, {2\,x \, + \, 1 \over 2\,x} </math>
 +
 
 +
 
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \left({a^2 \, - \, 6\,a \, + \, 9 \over b^6}\right)\, \Big / \,\left({a \, - \, 3 \over b^5}\right) </math>
 +
 
 +
 
 +
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \left(1 - {x^2 \over y^2}\right)\, \Big / \,\left(1 - {x \over y}\right) </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.4 Svar 9a|Lösning 9a|1.4 Lösning 9a|Svar 9b|1.4 Svar 9b|Lösning 9b|1.4 Lösning 9b|Svar 9c|1.4 Svar 9c|Lösning 9c|1.4 Lösning 9c}}</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 10-12</span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 10</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Förenkla så långt som möjligt:
 +
 
 +
::<math> {2\,x^2 \, - \, x^3 \over 2\,x^2 \, - \, 8} \, - \, {x \over x \, + \, 2} \, + \, {x \, + \, 2 \over 2} \quad </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.4 Svar 11|Lösning 10|1.4 Lösning 11}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 11</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
En rationell funktion är given:
 +
 
 +
::<math> f(x) \, = \, {x \, + \, 2 \over x^2 \, - \, x \, - \, 6} </math>
 +
 
 +
a) &nbsp;&nbsp; Faktorisera nämnaren och skriv <math> f(x)\, </math> med faktoriserad nämnare.
 +
 
 +
:Läs om [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#H.C3.A4vbara_och_icke-h.C3.A4vbara_diskontinuiteter|<strong><span style="color:blue">Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter</span></strong>]] för att kunna lösa b)-d).
 +
 
 +
b) &nbsp;&nbsp; Ange de värden på <math> x\, </math> för vilka <math> f(x)\, </math> inte är definierad (funktionens diskontinuiteter). Ange <math>\, f(x)</math>:s hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter.
 +
 
 +
c) &nbsp;&nbsp; Ange en funktion <math> g(x)\, </math> som inte längre har <math>\, f(x)</math>:s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med <math> f(x)\, </math>.  
 +
 
 +
d) &nbsp;&nbsp; Rita graferna till <math> \, f(x) \, </math> och <math> \, g(x) \, </math>. Kan man av grafernas utseende dra slutsatsen att funktionerna är identiska? Motivera ditt svar.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.4 Svar 10a|Lösning 11a|1.4 Lösning 10a|Svar 11b|1.4 Svar 10b|Lösning 11b|1.4 Lösning 10b|Svar 11c|1.4 Svar 10c|Lösning 11c|1.4 Lösning 10c|Svar 11d|1.4 Svar 10d|Lösning 11d|1.4 Lösning 10d}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 12</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Lös följande ekvation:
 +
 
 +
::<math> v \, - \, {u \over u\,v \, + \, v\,x} \, = \, {v\,x^2 \over x^2 \, - \, u^2} \, + \, {u\,v^2 \over v\,x \, + \, u\,v} </math>
 +
 
 +
 
 +
där <math> u\, </math> och <math> v\, </math> är givna konstanter och <math> x\, </math> ekvationens obekant. Lösningen kommer därför att bli ett rationellt uttryck i <math> u\, </math> och <math> v\, </math>.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 12|1.4 Svar 12|Lösning 12|1.4 Lösning 12}}</div>
 +
<!-- CEF sid 253 -->
 +
 
 +
 
 +
<!--
 +
<Big><Big><Big><span style="color:blue"><u>Facit</u></span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== 1a ==
 +
Uttrycket är definierat för alla <math> x \, </math> utom för <math> x = 2 </math>.
 +
 
 +
== 1b ==
 +
Uttrycket är definierat för alla <math> x \, </math> utom för <math> x = -6 </math> och för <math> x = 1 </math>.
 +
 
 +
== 1c ==
 +
Uttrycket är definierat för alla (reella) <math> x \, </math>.
 +
 
 +
== 1d ==
 +
Uttrycket är definierat för alla <math> x \, </math> utom för <math> x = 4 </math> och <math> x = -4 </math>.
 +
 
 +
== 2a ==
 +
<math> f(3)\, = 0 </math>
 +
 
 +
== 2b ==
 +
<math> g(2) = {4 \over 3} </math>
 +
 
 +
== 2c ==
 +
<math> h(-1)\, = 3 </math>
 +
 
 +
== 2d ==
 +
<math> f(-1)\, </math> <big>är inte definierat.</big>
 +
 
 +
== 3a ==
 +
<math> 5\;x\,y </math>
 +
 
 +
== 3b ==
 +
<math> x\;(x+y) </math>
 +
 
 +
== 3c ==
 +
<math> x\,(x - y) \over y </math>
 +
 
 +
== 4a ==
 +
<math> - 1\, </math>
 +
 
 +
== 4b ==
 +
<math> 2\;(x-2) </math>
 +
 
 +
== 5a ==
 +
<math> {2 \over 3}\, x </math> eller <math> {2\, x \over 3} </math>
 +
 
 +
== 5b ==
 +
<math> {2\,x^2 + 3\,x + 4 \over x^3} </math>
 +
 
 +
== 5c ==
 +
<math> a+16 \over 3\,(a-2) </math>
 +
 
 +
== 6a ==
 +
<math> 9\, </math>
 +
 
 +
== 6b ==
 +
<math> y \over x\, </math>
 +
 
 +
== 6c ==
 +
 
 +
<math> 2\,a^2 \over a+2 </math>
 +
 
 +
== 7a ==
 +
<math> x + 5 \over 8\,x </math>
 +
 
 +
== 7b ==
 +
<math> {3\,x \over x -2} </math>
 +
 
 +
== 7c ==
 +
<math> - {1 \over x\,y} </math>
 +
 
 +
== 8a ==
 +
<math> -{1 \over 3\,x + 2} </math>
 +
 
 +
== 8b ==
 +
<math> 0\, </math>
 +
 
 +
== 8c ==
 +
 
 +
<math> z = - 2\, </math>
 +
 
 +
== 9a ==
 +
<math> 2 \over 2\,x -1 </math>
 +
 
 +
== 9b ==
 +
<math> {a-3 \over b} </math>
 +
 
 +
== 9c ==
 +
<math> x + y \over y </math>
 +
 
 +
== 10 ==
 +
<math> 1\, </math>
 +
 
 +
== 11a ==
 +
<math> x+2 \over (x+2) \cdot (x-3) </math>
 +
 
 +
== 11b ==
 +
 
 +
<math> x_1 = -2\, </math>
 +
 
 +
<math> x_2 = 3\, </math>
 +
 
 +
<math> x_1 = -2\, </math> är en hävbar diskontinuitet.
 +
 
 +
<math> x_2 = 3\, </math> är en icke-hävbar diskontinuitet.
 +
 
 +
== 11c ==
 +
Diskontinuiteten <math> x = -2\, </math> är hävbar.
 +
 
 +
<math> g(x)\, =\, {1 \over x-3}</math>
 +
 
 +
== 11d ==
 +
<big> Nej. </big>
 +
 
 +
== 12 ==
 +
<math> x = {u \over v^2 + 1} </math>
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.4 Svar 12a|Lösning 12a|1.4 Lösning 12a|Svar 12b|1.4 Svar 12b|Lösning 12b|1.4 Lösning 12b}}
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 6 maj 2019 kl. 18.29

       Repetition: Tal i bråkform          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


E-övningar: 1-6


Övning 1

För vilka värden på \( \, x \, \) är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?


a)    \( \displaystyle \frac{x^2 \, + \, 1}{3\,x \, - \, 6} \)


b)    \( \displaystyle {x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 3 \over (x+6) \, \cdot \, (x-1)} \)


c)    \( \displaystyle {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over x^2 \, + \, 1} \)


d)    \( \displaystyle {4\,x^4 \, - \, 6\,x^2 \, + \, 1 \over x^2 \, - \, 16} \)

Svar 1a
1.4 Svar 1a
Lösning 1a
1.4 Lösning 1a
Svar 1b
1.4 Svar 1b
Lösning 1b
1.4 Lösning 1b
Svar 1c
1.4 Svar 1c
Lösning 1c
1.4 Lösning 1c
Svar 1d
1.4 Svar 1d
Lösning 1d
1.4 Lösning 1d


Övning 2

Beräkna exakt:

a)    \( f(3)\, \) om \( \, f(x) \, = \, \displaystyle {x^2 \, - \, 4\,x \, + \, 3 \over 2\,x^2 \, + \, 3} \)


b)    \( g(2)\, \) om \( \, g(t) \, = \, \displaystyle {3\,t^2 \, - \, 2\,t \over t\,(t \, + \, 1)} \)


c)    \( h(-1)\, \) om \( h(x) \, = \, \displaystyle {x^3 \, - \, x^2 - \, 1 \over x^3 \, + \, x^2 \, + \, x} \)


d)    \( f(-1)\, \) om \( f(z) \, = \, \displaystyle {z^3 \, - \, z^2 \, - \, z \, - \, 1 \over z^3 \, + \, z^2 \, + z \, + \, 1} \)

Svar 2a
1.4 Svar 2a
Lösning 2a
1.4 Lösning 2a
Svar 2b
1.4 Svar 2b
Lösning 2b
1.4 Lösning 2b
Svar 2c
1.4 Svar 2c
Lösning 2c
1.4 Lösning 2c
Svar 2d
1.4 Svar 2d
Lösning 2d
1.4 Lösning 2d


Övning 3

Förkorta följande uttryck så långt som möjligt, om det går:


a)    \( \displaystyle {20\,x^3 \, y^2 \over 4\,x^2 \, y} \)


b)    \( \displaystyle {x^2\,(x \, + \, y) \over x} \)


c)    \( \displaystyle {x\,(x \, - \, y) \over y} \)

Svar 3a
1.4 Svar 3a
Lösning 3a
1.4 Lösning 3a
Svar 3b
1.4 Svar 3b
Lösning 3b
1.4 Lösning 3b
Svar 3c
1.4 Svar 3c
Lösning 3c
1.4 Lösning 3c


Övning 4

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:


a)    \( \displaystyle {x \, - \, y \over y \, - \, x} \)


b)    \( \displaystyle {6\,(x \, - \, 2)\, ^2 \over 3\,x \, - \, 6} \)

Svar 4a
1.4 Svar 4a
Lösning 4a
1.4 Lösning 4a
Svar 4b
1.4 Svar 4b
Lösning 4b
1.4 Lösning 4b


Övning 5

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:


a)    \( \displaystyle {x \over 3} \, + \, {x \over 2} \, - \, {x \over 6} \)


b)    \( \displaystyle {2 \over x} \, + \, {3 \over x^2} \, + \, {4 \over x^3} \)


c)    \( \displaystyle {3 \over a \, - \, 2} \, - \, {a \, + \, 7 \over 6 \, - \, 3\,a} \)

Svar 5a
1.4 Svar 5a
Lösning 5a
1.4 Lösning 5a
Svar 5b
1.4 Svar 5b
Lösning 5b
1.4 Lösning 5b
Svar 5c
1.4 Svar 5c
Lösning 5c
1.4 Lösning 5c


Övning 6

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:


a)    \( \displaystyle {3\,(y \, - \, 3) \over 8\,y} \, \cdot \, {24\,y \over y \, - \, 3} \)


b)    \( \displaystyle {x \, + \, y \over x\,^2} \cdot {x \, y \over x \, + \, y} \)


c)    \( \displaystyle \left({2\,a \, - \, 4 \over a\,^2}\right)\, \Big / \,\left({a\,^2 \, - \, 4 \over a\,^4}\right) \)

Svar 6a
1.4 Svar 6a
Lösning 6a
1.4 Lösning 6a
Svar 6b
1.4 Svar 6b
Lösning 6b
1.4 Lösning 6b
Svar 6c
1.4 Svar 6c
Lösning 6c
1.4 Lösning 6c



C-övningar: 7-9


Övning 7

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:


a)    \( \displaystyle {x^2 \, - \, 25 \over 8\,x^2 \, - \, 40\,x} \)


b)    \( \displaystyle {3\,x^2 \, - \, 12\,x \over x^2 \, - \, 6\,x \, + \, 8} \)


c)    \( \displaystyle {1 \, - \, x\,y \over (x\,y)^2 \, - \, x\,y} \)

Svar 7a
1.4 Svar 7a
Lösning 7a
1.4 Lösning 7a
Svar 7b
1.4 Svar 7b
Lösning 7b
1.4 Lösning 7b
Svar 7c
1.4 Svar 7c
Lösning 7c
1.4 Lösning 7c


Övning 8

Förenkla uttrycken i a) och b) så långt som möjligt:

a)    \( \displaystyle {6\,x \over 4 - 9\,x^2} \, - \, {1 \over 2 -3\,x} \)


b)    \( \displaystyle {1 \, - \, x \over x \, + \, 1} \, - \, {1 \, + \, x \over 1 \, - \, x} \, + \, {4\,x \over 1 \, - \, x^2} \)


c)    För vilket värde på \( z\, \) har följande ekvation lösningen \( x = 2\, \):


\[ {15\,x^2 \, - \, 2\,x \, - \, 6 \over 6} = {x \, - \, 3\,z \over 2} - {z \, - \, 2\,x^2 \over 3} - {z \over x} \]
Svar 8a
1.4 Svar 8a
Lösning 8a
1.4 Lösning 8a
Svar 8b
1.4 Svar 8b
Lösning 8b
1.4 Lösning 8b
Svar 8c
1.4 Svar 8c
Lösning 8c
1.4 Lösning 8c


Övning 9

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a)    \( \displaystyle \left({1 \over 2\,x \, - \, 1} \, + \, {1 \over 2\,x \, + \, 1}\right) \, \cdot \, {2\,x \, + \, 1 \over 2\,x} \)


b)    \( \displaystyle \left({a^2 \, - \, 6\,a \, + \, 9 \over b^6}\right)\, \Big / \,\left({a \, - \, 3 \over b^5}\right) \)


c)    \( \displaystyle \left(1 - {x^2 \over y^2}\right)\, \Big / \,\left(1 - {x \over y}\right) \)

Svar 9a
1.4 Svar 9a
Lösning 9a
1.4 Lösning 9a
Svar 9b
1.4 Svar 9b
Lösning 9b
1.4 Lösning 9b
Svar 9c
1.4 Svar 9c
Lösning 9c
1.4 Lösning 9c



A-övningar: 10-12


Övning 10

Förenkla så långt som möjligt:

\[ {2\,x^2 \, - \, x^3 \over 2\,x^2 \, - \, 8} \, - \, {x \over x \, + \, 2} \, + \, {x \, + \, 2 \over 2} \quad \]
Svar 10
1.4 Svar 11
Lösning 10
1.4 Lösning 11


Övning 11

En rationell funktion är given:

\[ f(x) \, = \, {x \, + \, 2 \over x^2 \, - \, x \, - \, 6} \]

a)    Faktorisera nämnaren och skriv \( f(x)\, \) med faktoriserad nämnare.

Läs om Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter för att kunna lösa b)-d).

b)    Ange de värden på \( x\, \) för vilka \( f(x)\, \) inte är definierad (funktionens diskontinuiteter). Ange \(\, f(x)\):s hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter.

c)    Ange en funktion \( g(x)\, \) som inte längre har \(\, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( f(x)\, \).

d)    Rita graferna till \( \, f(x) \, \) och \( \, g(x) \, \). Kan man av grafernas utseende dra slutsatsen att funktionerna är identiska? Motivera ditt svar.

Svar 11a
1.4 Svar 10a
Lösning 11a
1.4 Lösning 10a
Svar 11b
1.4 Svar 10b
Lösning 11b
1.4 Lösning 10b
Svar 11c
1.4 Svar 10c
Lösning 11c
1.4 Lösning 10c
Svar 11d
1.4 Svar 10d
Lösning 11d
1.4 Lösning 10d


Övning 12

Lös följande ekvation:

\[ v \, - \, {u \over u\,v \, + \, v\,x} \, = \, {v\,x^2 \over x^2 \, - \, u^2} \, + \, {u\,v^2 \over v\,x \, + \, u\,v} \]


där \( u\, \) och \( v\, \) är givna konstanter och \( x\, \) ekvationens obekant. Lösningen kommer därför att bli ett rationellt uttryck i \( u\, \) och \( v\, \).

Svar 12
1.4 Svar 12
Lösning 12
1.4 Lösning 12





Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.3_Övningar_till_Rationella_uttryck&oldid=36589"