Skillnad mellan versioner av "1.3 Övningar till Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 9)
m
 
(144 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.4 Rationella uttryck|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Repetition: Tal i bråkform|Repetition: Tal i bråkform]]}}
−
{{Selected tab|[[1.4 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Genomgång]]}}
 +
{{Selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt  >> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
  
−
== G-övningar: 1-6 ==
+
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span></Big></Big></Big>
  
−
== Övning 1 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
För vilka värden på x är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?
 
−
 
−
a) <math> x^2 + 1 \over 3\,x - 6 </math>
 
  
 +
== <b>Övning 1</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
För vilka värden på <math> \, x \, </math> är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?
  
−
b) <math> x^2 - 5\,x + 3  \over  (x+6) \cdot (x-1) </math>
 
  
 +
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \frac{x^2 \, + \, 1}{3\,x \, - \, 6} </math>
  
−
c) <math> x^3 + 3\,x^2 -8\,x - 1 \over x^2 + 1 </math>
 
  
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 3  \over  (x+6) \, \cdot \, (x-1)} </math>
  
−
d) <math> 4\,x^4 -6\,x^2 + 1 \over x^2 - 16 </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.4 Svar 1a|Lösning 1a|1.4 Lösning 1a|Svar 1b|1.4 Svar 1b|Lösning 1b|1.4 Lösning 1b|Svar 1c|1.4 Svar 1c|Lösning 1c|1.4 Lösning 1c|Svar 1d|1.4 Svar 1d|Lösning 1d|1.4 Lösning 1d}}
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over x^2 \, + \, 1} </math>
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.4 Svar 1a|Svar 1a]] | [[1.4 Lösning 1a|Lösning 1a]] | [[1.4 Svar 1b|Svar 1b]] | [[1.4 Lösning 1b|Lösning 1b]] | [[1.4 Svar 1c|Svar 1c]] | [[1.4 Lösning 1c|Lösning 1c]] | [[1.4 Svar 1d|Svar 1d]] | [[1.4 Lösning 1d|Lösning 1d]]</small></small>
+
  
  
−
== Övning 2 ==
+
d) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {4\,x^4 \, - \, 6\,x^2 \, + \, 1 \over x^2 \, - \, 16} </math>
−
<div class="ovning">
+
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.4 Svar 1a|Lösning 1a|1.4 Lösning 1a|Svar 1b|1.4 Svar 1b|Lösning 1b|1.4 Lösning 1b|Svar 1c|1.4 Svar 1c|Lösning 1c|1.4 Lösning 1c|Svar 1d|1.4 Svar 1d|Lösning 1d|1.4 Lösning 1d}}</div>
−
Beräkna exakt
+
−
+
−
a) <math> f(3)\, </math> om <math> f(x) = {x^2 - 4\,x + 3 \over 2\,x^2 + 3} </math>
+
  
  
−
b) <math> g(2)\, </math> om <math> g(t) = {3\,t^2 - 2\,t \over t\,(t+1)} </math>
+
== <b>Övning 2</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Beräkna exakt:
 +
 +
a) &nbsp;&nbsp; <math> f(3)\, </math> om <math> \, f(x) \, = \, \displaystyle {x^2 \, - \, 4\,x \, + \, 3 \over 2\,x^2 \, + \, 3} </math>
 +
 
  
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> g(2)\, </math> om <math> \, g(t) \, = \, \displaystyle {3\,t^2 \, - \, 2\,t \over t\,(t \, + \, 1)} </math>
  
−
c) <math> h(-1)\, </math> om <math> h(x) = {x^3 - x^2 - 1 \over x^3 + x^2 + x} </math>
 
  
 +
c) &nbsp;&nbsp; <math> h(-1)\, </math> om <math> h(x) \, = \, \displaystyle {x^3 \, - \, x^2 - \, 1 \over x^3 \, + \, x^2 \, + \, x} </math>
  
−
d) <math> f(-1)\, </math> om <math> f(z) = {z^3 - z^2 - z - 1 \over z^3 + z^2 + z + 1} </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.4 Svar 2a|Lösning 2a|1.4 Lösning 2a|Svar 2b|1.4 Svar 2b|Lösning 2b|1.4 Lösning 2b|Svar 2c|1.4 Svar 2c|Lösning 2c|1.4 Lösning 2c|Svar 2d|1.4 Svar 2d|Lösning 2d|1.4 Lösning 2d}}
+
d) &nbsp;&nbsp; <math> f(-1)\, </math> om <math> f(z) \, = \, \displaystyle {z^3 \, - \, z^2 \, - \, z \, - \, 1 \over z^3 \, + \, z^2 \, + z \, + \, 1} </math>
−
Alternativt:
+
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.4 Svar 2a|Lösning 2a|1.4 Lösning 2a|Svar 2b|1.4 Svar 2b|Lösning 2b|1.4 Lösning 2b|Svar 2c|1.4 Svar 2c|Lösning 2c|1.4 Lösning 2c|Svar 2d|1.4 Svar 2d|Lösning 2d|1.4 Lösning 2d}}</div>
−
:<small><small>[[1.4 Svar 2a|Svar 2a]] | [[1.4 Lösning 2a|Lösning 2a]] | [[1.4 Svar 2b|Svar 2b]] | [[1.4 Lösning 2b|Lösning 2b]] | [[1.4 Svar 2c|Svar 2c]] | [[1.4 Lösning 2c|Lösning 2c]] | [[1.4 Svar 2d|Svar 2d]] | [[1.4 Lösning 2d|Lösning 2d]]</small></small>
+
  
  
−
== Övning 3 ==
+
== <b>Övning 3</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Förkorta följande uttryck så långt som möjligt, om det går:
 
Förkorta följande uttryck så långt som möjligt, om det går:
  
−
a) <math> 20\,x^3\,y^2 \over 4\,x^2\,y </math>
 
  
 +
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {20\,x^3 \, y^2 \over 4\,x^2 \, y} </math>
  
−
b) <math> x^2\,(x + y) \over x </math>
 
  
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x^2\,(x \, + \, y) \over x} </math>
  
−
c) <math> x\,(x - y) \over y </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.4 Svar 3a|Lösning 3a|1.4 Lösning 3a|Svar 3b|1.4 Svar 3b|Lösning 3b|1.4 Lösning 3b|Svar 3c|1.4 Svar 3c|Lösning 3c|1.4 Lösning 3c}}
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x\,(x \, - \, y) \over y} </math>  
−
Alternativt:
+
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.4 Svar 3a|Lösning 3a|1.4 Lösning 3a|Svar 3b|1.4 Svar 3b|Lösning 3b|1.4 Lösning 3b|Svar 3c|1.4 Svar 3c|Lösning 3c|1.4 Lösning 3c}}</div>
−
:<small><small>[[1.4 Svar 3a|Svar 3a]] | [[1.4 Lösning 3a|Lösning 3a]] | [[1.4 Svar 3b|Svar 3b]] | [[1.4 Lösning 3b|Lösning 3b]] | [[1.4 Svar 3c|Svar 3c]] | [[1.4 Lösning 3c|Lösning 3c]]</small></small>
+
  
  
−
== Övning 4 ==
+
== <b>Övning 4</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
 
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
  
−
a) <math> x - y \over y - x </math>
 
  
 +
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x \, - \, y \over y \, - \, x} </math>
  
−
b) <math> 6\,(x-2)^2 \over 3\,x - 6 </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.4 Svar 4a|Lösning 4a|1.4 Lösning 4a|Svar 4b|1.4 Svar 4b|Lösning 4b|1.4 Lösning 4b}}
+
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {6\,(x \, - \, 2)\, ^2 \over 3\,x \, - \, 6} </math>
−
Alternativt:
+
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.4 Svar 4a|Lösning 4a|1.4 Lösning 4a|Svar 4b|1.4 Svar 4b|Lösning 4b|1.4 Lösning 4b}}</div>
−
:<small><small>[[1.4 Svar 4a|Svar 4a]] | [[1.4 Lösning 4a|Lösning 4a]] | [[1.4 Svar 4b|Svar 4b]] | [[1.4 Lösning 4b|Lösning 4b]]</small></small>
+
  
  
−
== Övning 5 ==
+
== <b>Övning 5</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
 
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
  
−
a) <math> {x \over 3} + {x \over 2} - {x \over 6} </math>
 
  
−
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x \over 3} \, + \, {x \over 2} \, - \, {x \over 6} </math>
−
b) <math> {2 \over x} + {3 \over x^2} + {4 \over x^3} </math>
+
  
 +
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {2 \over x} \, + \, {3 \over x^2} \, + \, {4 \over x^3} </math>
  
−
c) <math> {3 \over a-2} - {a+7 \over 6-3\,a} </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.4 Svar 5a|Lösning 5a|1.4 Lösning 5a|Svar 5b|1.4 Svar 5b|Lösning 5b|1.4 Lösning 5b|Svar 5c|1.4 Svar 5c|Lösning 5c|1.4 Lösning 5c}}
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {3 \over a \, - \, 2} \, - \, {a \, + \, 7 \over 6 \, - \, 3\,a} </math>
−
Alternativt:
+
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.4 Svar 5a|Lösning 5a|1.4 Lösning 5a|Svar 5b|1.4 Svar 5b|Lösning 5b|1.4 Lösning 5b|Svar 5c|1.4 Svar 5c|Lösning 5c|1.4 Lösning 5c}}</div>
−
:<small><small>[[1.4 Svar 5a|Svar 5a]] | [[1.4 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[1.4 Svar 5b|Svar 5b]] | [[1.4 Lösning 5b|Lösning 5b]] | [[1.4 Svar 5c|Svar 5c]] | [[1.4 Lösning 5c|Lösning 5c]]</small></small>
+
  
  
−
== Övning 6 ==
+
== <b>Övning 6</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
 
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
  
−
a) <math> {3\,(y-3) \over 8\,y} \cdot {24\,y \over y-3} </math>
 
  
 +
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {3\,(y \, - \, 3) \over 8\,y} \, \cdot \, {24\,y \over y \, - \, 3} </math>
  
−
b) <math> {x+y \over x^2} \cdot {x\,y \over x+y} </math>
 
  
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x \, + \, y \over x\,^2} \cdot {x \, y \over x \, + \, y} </math>
  
−
c) <math> \left({2\,a - 4 \over a^2}\right)\, \Bigg / \,\left({a^2 - 4 \over a^4}\right) </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.4 Svar 6a|Lösning 6a|1.4 Lösning 6a|Svar 6b|1.4 Svar 6b|Lösning 6b|1.4 Lösning 6b|Svar 6c|1.4 Svar 6c|Lösning 6c|1.4 Lösning 6c}}
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \left({2\,a \, - \, 4 \over a\,^2}\right)\, \Big / \,\left({a\,^2 \, - \, 4 \over a\,^4}\right) </math>  
−
Alternativt:
+
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.4 Svar 6a|Lösning 6a|1.4 Lösning 6a|Svar 6b|1.4 Svar 6b|Lösning 6b|1.4 Lösning 6b|Svar 6c|1.4 Svar 6c|Lösning 6c|1.4 Lösning 6c}}</div>
−
:<small><small>[[1.4 Svar 6a|Svar 6a]] | [[1.4 Lösning 6a|Lösning 6a]] | [[1.4 Svar 6b|Svar 6b]] | [[1.4 Lösning 6b|Lösning 6b]] | [[1.4 Svar 6c|Svar 6c]] | [[1.4 Lösning 6c|Lösning 6c]]</small></small>
+
  
  
−
== VG-övningar: 7-10 ==
 
  
−
== Övning 7 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Förenkla följande uttryck:
 
  
−
a) <math> x^2 - 25 \over 8\,x^2 - 40\,x </math>
+
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 7-9</span></Big></Big></Big>
  
  
−
b) <math> 3\,x^2 - 12\,x \over x^2 - 6\,x + 8 </math>
+
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
 +
 
 +
 
 +
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {x^2 \, - \, 25 \over 8\,x^2 \, - \, 40\,x} </math>
 +
 
  
 +
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {3\,x^2 \, - \, 12\,x \over x^2 \, - \, 6\,x \, + \, 8} </math>
  
−
c) <math> 1 - x\,y \over (x\,y)^2 - x\,y </math>
 
  
 +
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {1 \, - \, x\,y \over (x\,y)^2 \, - \, x\,y} </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|1.4 Svar 7a|Lösning 7a|1.4 Lösning 7a|Svar 7b|1.4 Svar 7b|Lösning 7b|1.4 Lösning 7b|Svar 7c|1.4 Svar 7c|Lösning 7c|1.4 Lösning 7c}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|1.4 Svar 7a|Lösning 7a|1.4 Lösning 7a|Svar 7b|1.4 Svar 7b|Lösning 7b|1.4 Lösning 7b|Svar 7c|1.4 Svar 7c|Lösning 7c|1.4 Lösning 7c}}</div>
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.4 Svar 7a|Svar 7a]] | [[1.4 Lösning 7a|Lösning 7a]] | [[1.4 Svar 7b|Svar 7b]] | [[1.4 Lösning 7b|Lösning 7b]] | [[1.4 Svar 7c|Svar 7c]] | [[1.4 Lösning 7c|Lösning 7c]]</small></small>
+
  
  
−
== Övning 8 ==
+
== <b>Övning 8</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnC">
 
Förenkla uttrycken i a) och b) så långt som möjligt:
 
Förenkla uttrycken i a) och b) så långt som möjligt:
  
−
a) <math> {6\,x \over 4 - 9\,x^2} - {1 \over 2 -3\,x} </math>
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {6\,x \over 4 - 9\,x^2} \, - \, {1 \over 2 -3\,x} </math>
  
 
   
 
   
−
b) <math> {1-x \over x+1} - {1+x \over 1-x} + {4\,x \over 1-x^2} </math>
+
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle {1 \, - \, x \over x \, + \, 1} \, - \, {1 \, + \, x \over 1 \, - \, x} \, + \, {4\,x \over 1 \, - \, x^2} </math>
  
  
−
c) För vilket värde på <math> z\, </math> har följande ekvation lösningen <math> x = 2\; </math>:
+
c) &nbsp;&nbsp; För vilket värde på <math> z\, </math> har följande ekvation lösningen <math> x = 2\, </math>:
  
  
−
<math> {15\,x^2 - 2\,x - 6 \over 6} =  {x - 3\,z \over 2} - {z - 2\,x^2 \over 3} - {z \over x} </math>
+
::<math> {15\,x^2 \, - \, 2\,x \, - \, 6 \over 6} =  {x \, - \, 3\,z \over 2} - {z \, - \, 2\,x^2 \over 3} - {z \over x} </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.4 Svar 8a|Lösning 8a|1.4 Lösning 8a|Svar 8b|1.4 Svar 8b|Lösning 8b|1.4 Lösning 8b|Svar 8c|1.4 Svar 8c|Lösning 8c|1.4 Lösning 8c}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.4 Svar 8a|Lösning 8a|1.4 Lösning 8a|Svar 8b|1.4 Svar 8b|Lösning 8b|1.4 Lösning 8b|Svar 8c|1.4 Svar 8c|Lösning 8c|1.4 Lösning 8c}}
 
−
Alternativt:
 
−
:<small><small>[[1.4 Svar 8a|Svar 8a]] | [[1.4 Lösning 8a|Lösning 8a]] | [[1.4 Svar 8b|Svar 8b]] | [[1.4 Lösning 8b|Lösning 8b]] | [[1.4 Svar 8c|Svar 8c]] | [[1.4 Lösning 8c|Lösning 8c]]</small></small>
 
  
−
== Övning 9 ==
+
== <b>Övning 9</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnC">
 
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
 
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
  
−
a) <math> \left({1 \over 2\,x - 1} + {1 \over 2\,x + 1}\right) \cdot {2\,x + 1 \over 2\,x} </math>  
+
a) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \left({1 \over 2\,x \, - \, 1} \, + \, {1 \over 2\,x \, + \, 1}\right) \, \cdot \, {2\,x \, + \, 1 \over 2\,x} </math>
  
  
−
b) <math> \left({a^2 - 6\,a + 9 \over b^6}\right)\, \Bigg / \,\left({a - 3 \over b^5}\right) </math>
+
b) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \left({a^2 \, - \, 6\,a \, + \, 9 \over b^6}\right)\, \Big / \,\left({a \, - \, 3 \over b^5}\right) </math>
  
  
−
c) <math> \left(1 - {x^2 \over y^2}\right)\, \Bigg / \,\left(1 - {x \over y}\right) </math>  
+
c) &nbsp;&nbsp; <math> \displaystyle \left(1 - {x^2 \over y^2}\right)\, \Big / \,\left(1 - {x \over y}\right) </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.4 Svar 9a|Lösning 9a|1.4 Lösning 9a|Svar 9b|1.4 Svar 9b|Lösning 9b|1.4 Lösning 9b|Svar 9c|1.4 Svar 9c|Lösning 9c|1.4 Lösning 9c}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 9a|1.4 Svar 9a|Lösning 9a|1.4 Lösning 9a|Svar 9b|1.4 Svar 9b|Lösning 9b|1.4 Lösning 9b|Svar 9c|1.4 Svar 9c|Lösning 9c|1.4 Lösning 9c}}
 
−
Alternativt:
 
−
:<small><small>[[1.4 Svar 9a|Svar 9a]] | [[1.4 Lösning 9a|Lösning 9a]] | [[1.4 Svar 9b|Svar 9b]] | [[1.4 Lösning 9b|Lösning 9b]] | [[1.4 Svar 9c|Svar 9c]] | [[1.4 Lösning 9c|Lösning 9c]]</small></small>
 
  
−
== Övning 10 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
En rationell funktion är given:
 
  
−
<math> f(x) = {x+2 \over x^2 - x - 6} </math>
 
  
−
a) Faktorisera nämnaren och skriv <math> f(x)\, </math> med faktoriserad nämnare.
+
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 10-12</span></Big></Big></Big>
  
−
b) Ange funktionens diskontinuiteter, dvs de x för vilka <math> f(x)\, </math> inte är definierad.
 
  
−
c) Vilken av funktionens diskontinuiteter är hävbar? Ange en funktion <math> g(x)\, </math> som inte längre har <math>\, f(x)</math>:s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med <math> f(x)\, </math>.
+
== <b>Övning 10</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Förenkla så långt som möjligt:
  
−
d) Rita graferna till <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Kan man av grafernas utseende dra slutsatsen att funktionerna är identiska?
+
::<math> {2\,x^2 \, - \, x^3 \over 2\,x^2 \, - \, 8} \, - \, {x \over x \, + \, 2} \, + \, {x \, + \, 2 \over 2} \quad </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.4 Svar 11|Lösning 10|1.4 Lösning 11}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 10a|1.4 Svar 10a|Lösning 10a|1.4 Lösning 10a|Svar 10b|1.4 Svar 10b|Lösning 10b|1.4 Lösning 10b|Svar 10c|1.4 Svar 10c|Lösning 10c|1.4 Lösning 10c|Svar 10d|1.4 Svar 10d|Lösning 10d|1.4 Lösning 10d}}
 
−
Alternativt:
 
−
:<small><small>[[1.4 Svar 10a|Svar 10a]] | [[1.4 Lösning 10a|Lösning 10a]] | [[1.4 Svar 10b|Svar 10b]] | [[1.4 Lösning 10b|Lösning 10b]] | [[1.4 Svar 10c|Svar 10c]] | [[1.4 Lösning 10c|Lösning 10c]] | [[1.4 Svar 10d|Svar 10d]] | [[1.4 Lösning 10d|Lösning 10d]]</small></small>
 
  
 +
== <b>Övning 11</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
En rationell funktion är given:
  
−
== MVG-övningar: 11-12 ==
+
::<math> f(x) \, = \, {x \, + \, 2 \over x^2 \, - \, x \, - \, 6} </math>
  
−
== Övning 11 ==
+
a) &nbsp;&nbsp; Faktorisera nämnaren och skriv <math> f(x)\, </math> med faktoriserad nämnare.
−
<div class="ovning">
+
−
Förenkla så långt som möjligt:
+
  
−
<math> {2\,x^2 - x^3 \over 2\,x^2 - 8} - {x \over x+2} + {x+2 \over 2} </math>
+
:Läs om [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#H.C3.A4vbara_och_icke-h.C3.A4vbara_diskontinuiteter|<strong><span style="color:blue">Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter</span></strong>]] för att kunna lösa b)-d).
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 11|1.4 Svar 11|Lösning 11|1.4 Lösning 11}}
+
b) &nbsp;&nbsp; Ange de värden på <math> x\, </math> för vilka <math> f(x)\, </math> inte är definierad (funktionens diskontinuiteter). Ange <math>\, f(x)</math>:s hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter.
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.4 Svar 11|Svar 11]] | [[1.4 Lösning 11|Lösning 11]]</small></small>
+
  
 +
c) &nbsp;&nbsp; Ange en funktion <math> g(x)\, </math> som inte längre har <math>\, f(x)</math>:s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med <math> f(x)\, </math>. 
  
−
== Övning 12 ==
+
d) &nbsp;&nbsp; Rita graferna till <math> \, f(x) \, </math> och <math> \, g(x) \, </math>. Kan man av grafernas utseende dra slutsatsen att funktionerna är identiska? Motivera ditt svar.
−
<div class="ovning">
+
{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.4 Svar 10a|Lösning 11a|1.4 Lösning 10a|Svar 11b|1.4 Svar 10b|Lösning 11b|1.4 Lösning 10b|Svar 11c|1.4 Svar 10c|Lösning 11c|1.4 Lösning 10c|Svar 11d|1.4 Svar 10d|Lösning 11d|1.4 Lösning 10d}}</div>
−
Lös ekvationen
+
  
−
<math> v - {u \over u\,v + v\,x} = {v\,x^2 \over x^2 - u^2} + {u\,v^2 \over v\,x + u\,v} </math>
+
 
 +
== <b>Övning 12</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Lös följande ekvation:
 +
 
 +
::<math> v \, - \, {u \over u\,v \, + \, v\,x} \, = \, {v\,x^2 \over x^2 \, - \, u^2} \, + \, {u\,v^2 \over v\,x \, + \, u\,v} </math>
  
  
 
där <math> u\, </math> och <math> v\, </math> är givna konstanter och <math> x\, </math> ekvationens obekant. Lösningen kommer därför att bli ett rationellt uttryck i <math> u\, </math> och <math> v\, </math>.
 
där <math> u\, </math> och <math> v\, </math> är givna konstanter och <math> x\, </math> ekvationens obekant. Lösningen kommer därför att bli ett rationellt uttryck i <math> u\, </math> och <math> v\, </math>.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 12|1.4 Svar 12|Lösning 12|1.4 Lösning 12}}</div>
 +
<!-- CEF sid 253 -->
 +
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 12|1.4 Svar 12|Lösning 12|1.4 Lösning 12}}
+
<!--
−
Alternativt:
+
<Big><Big><Big><span style="color:blue"><u>Facit</u></span></Big></Big></Big>
−
:<small><small>[[1.4 Svar 12|Svar 12]] | [[1.4 Lösning 12|Lösning 12]]</small></small>
+
−
<!-- CEF 253 -->
+
  
  
−
= Facit =
 
  
 
== 1a ==
 
== 1a ==
−
Uttrycket är definierat för alla x utom för <math> x = 2 </math>.
+
Uttrycket är definierat för alla <math> x \, </math> utom för <math> x = 2 </math>.
  
 
== 1b ==
 
== 1b ==
−
Uttrycket är definierat för alla x utom för <math> x = -6 </math> och för <math> x = 1 </math>.
+
Uttrycket är definierat för alla <math> x \, </math> utom för <math> x = -6 </math> och för <math> x = 1 </math>.
  
 
== 1c ==
 
== 1c ==
−
Uttrycket är definierat för alla (reella) x.
+
Uttrycket är definierat för alla (reella) <math> x \, </math>.
  
 
== 1d ==
 
== 1d ==
−
Uttrycket är definierat för alla x utom för <math> x = 4 </math> och <math> x = -4 </math>.
+
Uttrycket är definierat för alla <math> x \, </math> utom för <math> x = 4 </math> och <math> x = -4 </math>.
  
 
== 2a ==
 
== 2a ==
Rad 293: Rad 280:
  
 
== 8c ==
 
== 8c ==
 +
 +
<math> z = - 2\, </math>
  
 
== 9a ==
 
== 9a ==
Rad 303: Rad 292:
 
<math> x + y \over y </math>
 
<math> x + y \over y </math>
  
−
== 10a ==
+
== 10 ==
 +
<math> 1\, </math>
 +
 
 +
== 11a ==
 
<math> x+2 \over (x+2) \cdot (x-3) </math>
 
<math> x+2 \over (x+2) \cdot (x-3) </math>
  
−
== 10b ==
+
== 11b ==
−
<math> x = -2\, </math>
+
  
−
<math> x = 3\, </math>
+
<math> x_1 = -2\, </math>
  
−
== 10c ==
+
<math> x_2 = 3\, </math>
 +
 
 +
<math> x_1 = -2\, </math> är en hävbar diskontinuitet.
 +
 
 +
<math> x_2 = 3\, </math> är en icke-hävbar diskontinuitet.
 +
 
 +
== 11c ==
 
Diskontinuiteten <math> x = -2\, </math> är hävbar.
 
Diskontinuiteten <math> x = -2\, </math> är hävbar.
  
 
<math> g(x)\, =\, {1 \over x-3}</math>
 
<math> g(x)\, =\, {1 \over x-3}</math>
  
−
== 10d ==
+
== 11d ==
 
<big> Nej. </big>
 
<big> Nej. </big>
−
 
−
== 11 ==
 
−
<math> 1\, </math>
 
  
 
== 12 ==
 
== 12 ==
−
<math> x = {u \over 1 + v^2} </math>
+
<math> x = {u \over v^2 + 1} </math>
 +
-->
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
 
   
 
   
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 6 maj 2019 kl. 18.29

       Repetition: Tal i bråkform          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


E-övningar: 1-6


Övning 1

För vilka värden på \( \, x \, \) är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?


a)    \( \displaystyle \frac{x^2 \, + \, 1}{3\,x \, - \, 6} \)


b)    \( \displaystyle {x^2 \, - \, 5\,x \, + \, 3 \over (x+6) \, \cdot \, (x-1)} \)


c)    \( \displaystyle {x^3 \, + \, 3\,x^2 \, - \, 8\,x - \, 1 \over x^2 \, + \, 1} \)


d)    \( \displaystyle {4\,x^4 \, - \, 6\,x^2 \, + \, 1 \over x^2 \, - \, 16} \)

Svar 1a
1.4 Svar 1a
Lösning 1a
1.4 Lösning 1a
Svar 1b
1.4 Svar 1b
Lösning 1b
1.4 Lösning 1b
Svar 1c
1.4 Svar 1c
Lösning 1c
1.4 Lösning 1c
Svar 1d
1.4 Svar 1d
Lösning 1d
1.4 Lösning 1d


Övning 2

Beräkna exakt:

a)    \( f(3)\, \) om \( \, f(x) \, = \, \displaystyle {x^2 \, - \, 4\,x \, + \, 3 \over 2\,x^2 \, + \, 3} \)


b)    \( g(2)\, \) om \( \, g(t) \, = \, \displaystyle {3\,t^2 \, - \, 2\,t \over t\,(t \, + \, 1)} \)


c)    \( h(-1)\, \) om \( h(x) \, = \, \displaystyle {x^3 \, - \, x^2 - \, 1 \over x^3 \, + \, x^2 \, + \, x} \)


d)    \( f(-1)\, \) om \( f(z) \, = \, \displaystyle {z^3 \, - \, z^2 \, - \, z \, - \, 1 \over z^3 \, + \, z^2 \, + z \, + \, 1} \)

Svar 2a
1.4 Svar 2a
Lösning 2a
1.4 Lösning 2a
Svar 2b
1.4 Svar 2b
Lösning 2b
1.4 Lösning 2b
Svar 2c
1.4 Svar 2c
Lösning 2c
1.4 Lösning 2c
Svar 2d
1.4 Svar 2d
Lösning 2d
1.4 Lösning 2d


Övning 3

Förkorta följande uttryck så långt som möjligt, om det går:


a)    \( \displaystyle {20\,x^3 \, y^2 \over 4\,x^2 \, y} \)


b)    \( \displaystyle {x^2\,(x \, + \, y) \over x} \)


c)    \( \displaystyle {x\,(x \, - \, y) \over y} \)

Svar 3a
1.4 Svar 3a
Lösning 3a
1.4 Lösning 3a
Svar 3b
1.4 Svar 3b
Lösning 3b
1.4 Lösning 3b
Svar 3c
1.4 Svar 3c
Lösning 3c
1.4 Lösning 3c


Övning 4

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:


a)    \( \displaystyle {x \, - \, y \over y \, - \, x} \)


b)    \( \displaystyle {6\,(x \, - \, 2)\, ^2 \over 3\,x \, - \, 6} \)

Svar 4a
1.4 Svar 4a
Lösning 4a
1.4 Lösning 4a
Svar 4b
1.4 Svar 4b
Lösning 4b
1.4 Lösning 4b


Övning 5

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:


a)    \( \displaystyle {x \over 3} \, + \, {x \over 2} \, - \, {x \over 6} \)


b)    \( \displaystyle {2 \over x} \, + \, {3 \over x^2} \, + \, {4 \over x^3} \)


c)    \( \displaystyle {3 \over a \, - \, 2} \, - \, {a \, + \, 7 \over 6 \, - \, 3\,a} \)

Svar 5a
1.4 Svar 5a
Lösning 5a
1.4 Lösning 5a
Svar 5b
1.4 Svar 5b
Lösning 5b
1.4 Lösning 5b
Svar 5c
1.4 Svar 5c
Lösning 5c
1.4 Lösning 5c


Övning 6

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:


a)    \( \displaystyle {3\,(y \, - \, 3) \over 8\,y} \, \cdot \, {24\,y \over y \, - \, 3} \)


b)    \( \displaystyle {x \, + \, y \over x\,^2} \cdot {x \, y \over x \, + \, y} \)


c)    \( \displaystyle \left({2\,a \, - \, 4 \over a\,^2}\right)\, \Big / \,\left({a\,^2 \, - \, 4 \over a\,^4}\right) \)

Svar 6a
1.4 Svar 6a
Lösning 6a
1.4 Lösning 6a
Svar 6b
1.4 Svar 6b
Lösning 6b
1.4 Lösning 6b
Svar 6c
1.4 Svar 6c
Lösning 6c
1.4 Lösning 6c



C-övningar: 7-9


Övning 7

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:


a)    \( \displaystyle {x^2 \, - \, 25 \over 8\,x^2 \, - \, 40\,x} \)


b)    \( \displaystyle {3\,x^2 \, - \, 12\,x \over x^2 \, - \, 6\,x \, + \, 8} \)


c)    \( \displaystyle {1 \, - \, x\,y \over (x\,y)^2 \, - \, x\,y} \)

Svar 7a
1.4 Svar 7a
Lösning 7a
1.4 Lösning 7a
Svar 7b
1.4 Svar 7b
Lösning 7b
1.4 Lösning 7b
Svar 7c
1.4 Svar 7c
Lösning 7c
1.4 Lösning 7c


Övning 8

Förenkla uttrycken i a) och b) så långt som möjligt:

a)    \( \displaystyle {6\,x \over 4 - 9\,x^2} \, - \, {1 \over 2 -3\,x} \)


b)    \( \displaystyle {1 \, - \, x \over x \, + \, 1} \, - \, {1 \, + \, x \over 1 \, - \, x} \, + \, {4\,x \over 1 \, - \, x^2} \)


c)    För vilket värde på \( z\, \) har följande ekvation lösningen \( x = 2\, \):


\[ {15\,x^2 \, - \, 2\,x \, - \, 6 \over 6} = {x \, - \, 3\,z \over 2} - {z \, - \, 2\,x^2 \over 3} - {z \over x} \]
Svar 8a
1.4 Svar 8a
Lösning 8a
1.4 Lösning 8a
Svar 8b
1.4 Svar 8b
Lösning 8b
1.4 Lösning 8b
Svar 8c
1.4 Svar 8c
Lösning 8c
1.4 Lösning 8c


Övning 9

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a)    \( \displaystyle \left({1 \over 2\,x \, - \, 1} \, + \, {1 \over 2\,x \, + \, 1}\right) \, \cdot \, {2\,x \, + \, 1 \over 2\,x} \)


b)    \( \displaystyle \left({a^2 \, - \, 6\,a \, + \, 9 \over b^6}\right)\, \Big / \,\left({a \, - \, 3 \over b^5}\right) \)


c)    \( \displaystyle \left(1 - {x^2 \over y^2}\right)\, \Big / \,\left(1 - {x \over y}\right) \)

Svar 9a
1.4 Svar 9a
Lösning 9a
1.4 Lösning 9a
Svar 9b
1.4 Svar 9b
Lösning 9b
1.4 Lösning 9b
Svar 9c
1.4 Svar 9c
Lösning 9c
1.4 Lösning 9c



A-övningar: 10-12


Övning 10

Förenkla så långt som möjligt:

\[ {2\,x^2 \, - \, x^3 \over 2\,x^2 \, - \, 8} \, - \, {x \over x \, + \, 2} \, + \, {x \, + \, 2 \over 2} \quad \]
Svar 10
1.4 Svar 11
Lösning 10
1.4 Lösning 11


Övning 11

En rationell funktion är given:

\[ f(x) \, = \, {x \, + \, 2 \over x^2 \, - \, x \, - \, 6} \]

a)    Faktorisera nämnaren och skriv \( f(x)\, \) med faktoriserad nämnare.

Läs om Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter för att kunna lösa b)-d).

b)    Ange de värden på \( x\, \) för vilka \( f(x)\, \) inte är definierad (funktionens diskontinuiteter). Ange \(\, f(x)\):s hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter.

c)    Ange en funktion \( g(x)\, \) som inte längre har \(\, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( f(x)\, \).

d)    Rita graferna till \( \, f(x) \, \) och \( \, g(x) \, \). Kan man av grafernas utseende dra slutsatsen att funktionerna är identiska? Motivera ditt svar.

Svar 11a
1.4 Svar 10a
Lösning 11a
1.4 Lösning 10a
Svar 11b
1.4 Svar 10b
Lösning 11b
1.4 Lösning 10b
Svar 11c
1.4 Svar 10c
Lösning 11c
1.4 Lösning 10c
Svar 11d
1.4 Svar 10d
Lösning 11d
1.4 Lösning 10d


Övning 12

Lös följande ekvation:

\[ v \, - \, {u \over u\,v \, + \, v\,x} \, = \, {v\,x^2 \over x^2 \, - \, u^2} \, + \, {u\,v^2 \over v\,x \, + \, u\,v} \]


där \( u\, \) och \( v\, \) är givna konstanter och \( x\, \) ekvationens obekant. Lösningen kommer därför att bli ett rationellt uttryck i \( u\, \) och \( v\, \).

Svar 12
1.4 Svar 12
Lösning 12
1.4 Lösning 12





Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.3_Övningar_till_Rationella_uttryck&oldid=36589"