Skillnad mellan versioner av "1.2 Övningar till Faktorisering av polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(115 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.3 Faktorisering av polynom|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|<span style="color:blue"> <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt</span>]]}}
−
{{Selected tab|[[1.3 Övningar till Faktorisering av polynom|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Genomgång]]}}
 +
{{Selected tab|[[1.2 Övningar till Faktorisering av polynom|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Fördjupning till Faktorisering av Polynom|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
== G-övningar: 1-6 ==
 
  
−
== Övning 1 ==
+
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span></Big></Big></Big>
−
<div class="ovning">
+
−
Om
+
  
−
::<math> x^3 - 5\,x^2 + 12\,x - 6 = (x-2) \cdot {\rm (ett\ polynom)} </math>
+
 
 +
== <b>Övning 1</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Om följande gäller:
 +
 
 +
::<math> x^3 - 5\,x^2 + 12\,x - 6 \; = \; (x-2) \, \cdot \, {\rm (ett\;okänt\;polynom)} </math>
 
    
 
    
 
vad är då graden till det okända polynomet?
 
vad är då graden till det okända polynomet?
−
+
{{#NAVCONTENT:Svar 1|1.3 Svar 1|Lösning 1|1.3 Lösning 1}}</div>
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 1|1.3 Svar 1|Lösning 1|1.3 Lösning 1}}
+
−
Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.3 Svar 1|Svar 1]] | [[1.3 Lösning 1|Lösning 1]]</small></small>
+
  
  
−
== Övning 2 ==
+
== <b>Övning 2</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Vi har:  
 
Vi har:  
  
−
::<math> 4\,x^2 + 16\,x - 8 = (x+3) \cdot {\rm (ett\ polynom)} </math>
+
::<math> 4\,x^2 + 16\,x - 8 \; = \; (x+3) \, \cdot \, {\rm (ett\;okänt\;polynom)} </math>
 
    
 
    
−
a) Vad är graden till det okända polynomet?
+
a) &nbsp; Vad är graden till det okända polynomet?
  
−
b) Vad är koefficienten till x-termen i det okända polynomet?
+
b) &nbsp; Vad är koefficienten till <math> \, x</math>-termen i det okända polynomet?
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.3 Svar 2a|Lösning 2a|1.3 Lösning 2a|Svar 2b|1.3 Svar 2b|Lösning 2b|1.3 Lösning 2b}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.3 Svar 2a|Lösning 2a|1.3 Lösning 2a|Svar 2b|1.3 Svar 2b|Lösning 2b|1.3 Lösning 2b}}
 
  
−
== Övning 3 ==
+
== <b>Övning 3</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Ange ett polynom i faktorform vars nollställen är:
 
Ange ett polynom i faktorform vars nollställen är:
  
−
a) 2 och 6
+
a) &nbsp; <math> \, 2 \, </math> och <math> 6 \, </math>
  
−
b) -2, och -6
+
b) &nbsp; <math> \, -2 \, </math> och <math> -6 \, </math>
  
−
c) 1, -5 och 4
+
c) &nbsp; <math> \, 1 \, </math>, <math> \; -5 \; </math> och <math> \; 4 </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.3 Svar 3a|Lösning 3a|1.3 Lösning 3a|Svar 3b|1.3 Svar 3b|Lösning 3b|1.3 Lösning 3b|Svar 3c|1.3 Svar 3c|Lösning 3c|1.3 Lösning 3c}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.3 Svar 3a|Lösning 3a|1.3 Lösning 3a|Svar 3b|1.3 Svar 3b|Lösning 3b|1.3 Lösning 3b|Svar 3c|1.3 Svar 3c|Lösning 3c|1.3 Lösning 3c}}
 
  
−
== Övning 4 ==
+
== <b>Övning 4</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Ange nollställen till följande polynom:
 
Ange nollställen till följande polynom:
  
−
a) <math> (x-2) \cdot (x+1) </math>
+
a) &nbsp; <math> (x-2) \cdot (x+1) </math>
  
−
b) <math> (3\,x-1) \cdot (2\,x+1) </math>  
+
b) &nbsp; <math> (3\,x-1) \cdot (2\,x+1) </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.3 Svar 4a|Lösning 4a|1.3 Lösning 4a|Svar 4b|1.3 Svar 4b|Lösning 4b|1.3 Lösning 4b}}</div>
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.3 Svar 4a|Lösning 4a|1.3 Lösning 4a|Svar 4b|1.3 Svar 4b|Lösning 4b|1.3 Lösning 4b}} -->
 
  
−
== Övning 5 ==
+
== <b>Övning 5</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:
 
Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:
  
 
[[Image: 13Övn5_2agradspol.jpg]]
 
[[Image: 13Övn5_2agradspol.jpg]]
  
−
a) Ange några exempel på polynom i faktorform vars nollställen är identiska med kurvans nollställen.
+
a) &nbsp; Ange några exempel på polynom i faktorform vars nollställen
  
−
b) Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.
+
:är identiska med kurvans nollställen.
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar & lösning 5a|1.3 Lösning 5a|Svar 5b|1.3 Svar 5b|Lösning 5b|1.3 Lösning 5b}} -->
+
b) &nbsp; Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar & lösning 5a|1.3 Lösning 5a|Svar 5b|1.3 Svar 5b|Lösning 5b|1.3 Lösning 5b}}</div>
  
−
== Övning 6 ==
+
 
−
<div class="ovning">
+
== <b>Övning 6</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 
Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten:
 
Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten:
  
−
a) <math> x^2 - 6\,x + 8 </math>
+
a) &nbsp; <math> x^2 - 6\,x + 8 </math>
  
−
b) <math> 3\,x^2 + 3\,x - 6 </math>
+
b) &nbsp; <math> 3\,x^2 + 3\,x - 6 </math>
  
−
c) <math> 4\,x^2 - 36 </math>
+
c) &nbsp; <math> 4\,x^2 - 36 </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.3 Svar 6a|Lösning 6a|1.2 Lösning 6a|Svar 6b|1.3 Svar 6b|Lösning 6b|1.3 Lösning 6b|Svar 6c|1.3 Svar 6c|Lösning 6c|1.3 Lösning 6c}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.3 Svar 6a|Lösning 6a|1.3 Lösning 6a|Svar 6b|1.3 Svar 6b|Lösning 6b|1.3 Lösning 6b|Svar 6c|1.3 Svar 6c|Lösning 6c|1.3 Lösning 6c}}
 
  
−
== VG-övningar: 7-10 ==
 
  
−
== Övning 7 ==
+
 
−
<div class="ovning">
+
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 7-10</span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 
Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:
 
Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:
  
Rad 89: Rad 96:
  
 
Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.
 
Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.3 Svar 7|Lösning 7|1.3 Lösning 7}}</div>
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.3 Svar 7|Lösning 7|1.3 Lösning 7}} -->
 
  
−
== Övning 8 ==
+
== <b>Övning 8</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnC">
−
Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten. Ange slutresultaten med heltalskoefficienter.  
+
Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten.
  
−
a) <math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 </math>
+
Ange slutresultaten med heltalskoefficienter.
  
−
b) <math> x^2 + 4\,x - 4 </math>
+
a) &nbsp; <math> 9\,x^2 - 6\,x + 1 </math>
  
−
c) <math> 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math>
+
b) &nbsp; <math> x^2 + 4\,x + 5 </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.3 Svar 8a|Lösning 8a|1.3 Lösning 8a|Svar 8b|1.3 Svar 8b|Lösning 8b|1.3 Lösning 8b|Svar 8c|1.3 Svar 8c|Lösning 8c|1.3 Lösning 8c}}
+
c) &nbsp; <math> 49\,z^2 + 14\,z + 1 </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.3 Svar 8a|Lösning 8a|1.3 Lösning 8a|Svar 8b|1.3 Svar 8b|Lösning 8b|1.3 Lösning 8b|Svar 8c|1.3 Svar 8c|Lösning 8c|1.3 Lösning 8c}}</div>
  
−
== Övning 9 ==
+
 
−
<div class="ovning">
+
== <b>Övning 9</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 
Ange den fullständiga faktoriseringen av polynomet
 
Ange den fullständiga faktoriseringen av polynomet
  
Rad 111: Rad 120:
  
 
om en av faktorerna är <math> (x-4)\, </math>.
 
om en av faktorerna är <math> (x-4)\, </math>.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 9|1.3 Svar 9|Lösning 9|1.3 Lösning 9}}</div>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 9|1.3 Svar 9|Lösning 9|1.3 Lösning 9}}
 
  
−
== Övning 10 ==
+
== <b>Övning 10</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnC">
 
Vi har följande delfaktorisering av ett 3:e gradspolynom:  
 
Vi har följande delfaktorisering av ett 3:e gradspolynom:  
  
 
::<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot {\rm (ett\ polynom)} </math>
 
::<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot {\rm (ett\ polynom)} </math>
 
    
 
    
−
a) Bestäm det okända polynomet som en summa av termer.
+
a) &nbsp; Bestäm det okända polynomet som en summa av termer.
 +
 
 +
b) &nbsp; Ange 3:e gradspolynomets fullständiga faktorisering. Svara med två decimaler.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 10a|1.3 Svar 10a|Lösning 10a|1.3 Lösning 10a|Svar 10b|1.3 Svar 10b|Lösning 10b|1.3 Lösning 10b}}</div>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 11-14</span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 11</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Följande 4:e gradspolynom är givet och har dubbelroten <math> x = -1\,</math>:
 +
 
 +
::<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 </math>
 +
 
 +
a) &nbsp; Ange med hjälp av dubbelroten en delfaktorisering av <math> P(x)\,</math>.
 +
 
 +
b) &nbsp; Faktorisera <math> P(x)\,</math> fullständigt.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.3 Svar 11a|Lösning 11a|1.3 Lösning 11a|Svar 11b|1.3 Svar 11b|Lösning 11b|1.3 Lösning 11b}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 12</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Anta att polynomet
 +
 
 +
::<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 </math>
 +
 
 +
har två nollställen <math> a\,</math> och <math> -a\,</math>.
 +
 
 +
a) &nbsp; Bestäm dessa två nollställen och ange en delfaktorisering av <math> P(x)\,</math>.
 +
 
 +
b) &nbsp; Faktorisera <math> P(x)\,</math> fullständigt.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.3 Svar 12a|Lösning 12a|1.3 Lösning 12a|Svar 12b|1.3 Svar 12b|Lösning 12b|1.3 Lösning 12b}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 13</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Bevisa satsen om [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Faktorisering_med_2_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Faktorisering med 2 nollställen</span></strong>]]:
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
'''Sats''':
 +
Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller:
 +
 
 +
:::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<b>Ledning:</b>
 +
 
 +
Sätt in p-q-formeln för <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> i högerledet och utveckla produkten för att visa likheten med vänsterledet.
 +
{{#NAVCONTENT:Lösning 13|1.2 Lösning 13}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 14</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Faktorisera fullständigt 5:e gradspolynomet <math> P(x)\, </math>:
 +
 
 +
::<math> P(x) = x^5 - 5\,x^4 + 17\,x^3 - 13\,x^2 </math>
 +
 
 +
a) &nbsp; Börja med en delfaktorisering inom ramen av de reella talen.
 +
 
 +
b) &nbsp; Fortsätt sedan med fullständig faktorisering till linjära faktorer genom att hitta även <math> \, P(x)</math>:s komplexa rötter.
 +
{{#NAVCONTENT:Ledning 14|1.2 Lösning 14|Lösning 12|1.2 Lösninga 14}}</div>
 +
 
 +
 
 +
<!--
 +
<Big><Big><Big><span style="color:blue"><u>Facit</u></span></Big></Big></Big>
 +
 
 +
== 1) ==
 +
<math> 2\, </math>
 +
 
 +
== 2a) ==
 +
<math> 1\, </math>
 +
 
 +
== 2b) ==
 +
<math> 4\, </math>
 +
 
 +
== 3a) ==
 +
<math> (x-2) \cdot (x-6) </math>
 +
 
 +
== 3b) ==
 +
<math> (x+2) \cdot (x+6) </math>
 +
 
 +
== 3c) ==
 +
<math> (x-1) \cdot (x+5) \cdot (x-4) </math>
 +
 
 +
== 4a) ==
 +
<math>x_1 = 2 \; {\rm och} \; x_2 = -1 </math>
 +
 
 +
== 4b) ==
 +
<math> x_1 = {1 \over 3} \; {\rm och} \; x_2 = -{1 \over 2} </math>
 +
 
 +
== 5a) ==
 +
<math> \begin{align}      & (x-2) \cdot (x-5)  \\
 +
                    2 \; & (x-2) \cdot (x-5)  \\
 +
                    6 \; & (x-2) \cdot (x-5)  \\
 +
                    -8 \; & (x-2) \cdot (x-5)  \\
 +
      \end{align}</math>
 +
 
 +
== 5b) ==
 +
<math> (x-2) \cdot (x-5) </math>
 +
 
 +
== 6a) ==
 +
<math> (x-2) \cdot (x-4) </math>
 +
 
 +
== 6b) ==
 +
<math> y = 3 \cdot (x-1) \cdot (x+2) </math>
 +
 
 +
== 6c) ==
 +
<math> y = 4 \cdot (x+3) \cdot (x-3) </math>
 +
 
 +
== 7) ==
 +
<math> (x+2) \cdot (x-2) \cdot (x-5) </math>
 +
 
 +
== 8a) ==
 +
<math> (3\,x - 1)^2 </math>
 +
 
 +
== 8b) ==
 +
Går ej att faktorisera.
 +
 
 +
== 8c) ==
 +
<math> (7\,z + 1)^2 </math>
 +
 
 +
== 9) ==
 +
<math> (x-4) \cdot (x-2) \cdot (x-3) </math>
 +
 
 +
== 10a) ==
 +
<math> x^2 - 13\,x + 2 </math>
  
−
b) Ange 3:e gradspolynomets fullständiga faktorisering. Svara med två decimaler.
+
== 10b) ==
 +
<math> (x-4) \cdot (x-0,16) \cdot (x -12,84) </math>
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 10a|1.3 Svar 10a|Lösning 10a|1.3 Lösning 10a|Svar 10b|1.3 Svar 10b|Lösning 10b|1.3 Lösning 10b}}
+
== 11a) ==
 +
<math> (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) </math>
  
−
== MVG-övningar: 11-12 ==
+
== 11b) ==
 +
<math> (x+1)^2 \cdot (x-4) \cdot (x - 5) </math>
  
−
== Övning 11 ==
+
== 12a) ==
−
<div class="ovning">
+
<math> x_1 = 3\, </math>
−
Följande 4:e gradspolynom är givet och har dubbelroten x = -1:
+
  
−
:<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 </math>
+
<math> x_2 = -3\, </math>
  
−
a) Ange med hjälp av dubbelroten en delfaktorisering av P(x).
+
<math> (x+3) \cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>
  
−
b) Faktorisera P(x) fullständigt.
+
== 12b) ==
 +
<math> (x+3) \cdot (x-3) \cdot (x+1) \cdot (x+2) </math>
 +
-->
 +
[[1.3_Övningar_till_Polynom_i_faktorform|<b><span style="color:blue">Gamla övningar</span></b>]]
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.3 Svar 11a|Lösning 11a|1.3 Lösning 11a|Svar 11b|1.3 Svar 11b|Lösning 11b|1.3 Lösning 11b}} -->
 
  
−
== Övning 12 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Anta att två nollställen till polynomet:
 
  
−
:<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 </math>
 
  
−
har samma absolutbelopp, men olika förtecken.
 
  
−
a) Bestäm dessa två nollställen och ange en delfaktorisering av P(x).
 
  
−
b) Faktorisera P(x) fullständigt.
 
  
−
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.3 Svar 12a|Lösning 12a|1.3 Lösning 12a|Svar 12b|1.3 Svar 12b|Lösning 12b|1.3 Lösning 12b}} -->
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 3 december 2024 kl. 15.19

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt  >>      


E-övningar: 1-6


Övning 1

Om följande gäller:

\[ x^3 - 5\,x^2 + 12\,x - 6 \; = \; (x-2) \, \cdot \, {\rm (ett\;okänt\;polynom)} \]

vad är då graden till det okända polynomet?

Svar 1
1.3 Svar 1
Lösning 1
1.3 Lösning 1


Övning 2

Vi har:

\[ 4\,x^2 + 16\,x - 8 \; = \; (x+3) \, \cdot \, {\rm (ett\;okänt\;polynom)} \]

a)   Vad är graden till det okända polynomet?

b)   Vad är koefficienten till \( \, x\)-termen i det okända polynomet?

Svar 2a
1.3 Svar 2a
Lösning 2a
1.3 Lösning 2a
Svar 2b
1.3 Svar 2b
Lösning 2b
1.3 Lösning 2b


Övning 3

Ange ett polynom i faktorform vars nollställen är:

a)   \( \, 2 \, \) och \( 6 \, \)

b)   \( \, -2 \, \) och \( -6 \, \)

c)   \( \, 1 \, \), \( \; -5 \; \) och \( \; 4 \)

Svar 3a
1.3 Svar 3a
Lösning 3a
1.3 Lösning 3a
Svar 3b
1.3 Svar 3b
Lösning 3b
1.3 Lösning 3b
Svar 3c
1.3 Svar 3c
Lösning 3c
1.3 Lösning 3c


Övning 4

Ange nollställen till följande polynom:

a)   \( (x-2) \cdot (x+1) \)

b)   \( (3\,x-1) \cdot (2\,x+1) \)

Svar 4a
1.3 Svar 4a
Lösning 4a
1.3 Lösning 4a
Svar 4b
1.3 Svar 4b
Lösning 4b
1.3 Lösning 4b


Övning 5

Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:

13Övn5 2agradspol.jpg

a)   Ange några exempel på polynom i faktorform vars nollställen

är identiska med kurvans nollställen.

b)   Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.

Svar & lösning 5a
1.3 Lösning 5a
Svar 5b
1.3 Svar 5b
Lösning 5b
1.3 Lösning 5b


Övning 6

Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten:

a)   \( x^2 - 6\,x + 8 \)

b)   \( 3\,x^2 + 3\,x - 6 \)

c)   \( 4\,x^2 - 36 \)

Svar 6a
1.3 Svar 6a
Lösning 6a
1.2 Lösning 6a
Svar 6b
1.3 Svar 6b
Lösning 6b
1.3 Lösning 6b
Svar 6c
1.3 Svar 6c
Lösning 6c
1.3 Lösning 6c



C-övningar: 7-10


Övning 7

Grafen till en polynomfunktion ser ut så här:

13Övn7 3egradspol.jpg

Ange det polynom i faktorform vars graf är kurvan ovan.

Svar 7
1.3 Svar 7
Lösning 7
1.3 Lösning 7


Övning 8

Faktorisera följande polynom och kontrollera dina svar genom utveckling av de erhållna resultaten.

Ange slutresultaten med heltalskoefficienter.

a)   \( 9\,x^2 - 6\,x + 1 \)

b)   \( x^2 + 4\,x + 5 \)

c)   \( 49\,z^2 + 14\,z + 1 \)

Svar 8a
1.3 Svar 8a
Lösning 8a
1.3 Lösning 8a
Svar 8b
1.3 Svar 8b
Lösning 8b
1.3 Lösning 8b
Svar 8c
1.3 Svar 8c
Lösning 8c
1.3 Lösning 8c


Övning 9

Ange den fullständiga faktoriseringen av polynomet

\[ x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 \]

om en av faktorerna är \( (x-4)\, \).

Svar 9
1.3 Svar 9
Lösning 9
1.3 Lösning 9


Övning 10

Vi har följande delfaktorisering av ett 3:e gradspolynom:

\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot {\rm (ett\ polynom)} \]

a)   Bestäm det okända polynomet som en summa av termer.

b)   Ange 3:e gradspolynomets fullständiga faktorisering. Svara med två decimaler.

Svar 10a
1.3 Svar 10a
Lösning 10a
1.3 Lösning 10a
Svar 10b
1.3 Svar 10b
Lösning 10b
1.3 Lösning 10b



A-övningar: 11-14


Övning 11

Följande 4:e gradspolynom är givet och har dubbelroten \( x = -1\,\):

\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 \]

a)   Ange med hjälp av dubbelroten en delfaktorisering av \( P(x)\,\).

b)   Faktorisera \( P(x)\,\) fullständigt.

Svar 11a
1.3 Svar 11a
Lösning 11a
1.3 Lösning 11a
Svar 11b
1.3 Svar 11b
Lösning 11b
1.3 Lösning 11b


Övning 12

Anta att polynomet

\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 \]

har två nollställen \( a\,\) och \( -a\,\).

a)   Bestäm dessa två nollställen och ange en delfaktorisering av \( P(x)\,\).

b)   Faktorisera \( P(x)\,\) fullständigt.

Svar 12a
1.3 Svar 12a
Lösning 12a
1.3 Lösning 12a
Svar 12b
1.3 Svar 12b
Lösning 12b
1.3 Lösning 12b


Övning 13

Bevisa satsen om Faktorisering med 2 nollställen:

Sats: Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]


Ledning:

Sätt in p-q-formeln för \( x_1\, \) och \( x_2\, \) i högerledet och utveckla produkten för att visa likheten med vänsterledet.

Lösning 13
1.2 Lösning 13


Övning 14

Faktorisera fullständigt 5:e gradspolynomet \( P(x)\, \):

\[ P(x) = x^5 - 5\,x^4 + 17\,x^3 - 13\,x^2 \]

a)   Börja med en delfaktorisering inom ramen av de reella talen.

b)   Fortsätt sedan med fullständig faktorisering till linjära faktorer genom att hitta även \( \, P(x)\):s komplexa rötter.

Ledning 14
1.2 Lösning 14
Lösning 12
1.2 Lösninga 14


Gamla övningar




Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=1.2_Övningar_till_Faktorisering_av_polynom&oldid=36851"