Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"

Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:

\( x\, \)	\( f(x)\, \)
\( 0,5\, \)	\( 1,79744\, \)
\( 0,6\, \)	\( 2,04424\, \)
\( 0,7\, \)	\( 2,32751\, \)

Beräkna \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:

a) framåtdifferenskvoten

b) bakåtdifferenskvoten

c) centrala differenskvoten

Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.

Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) dvs funktionens derivata i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten och steglängden

a) \( h = 0,1\, \)

b) \( h = 0,01\, \)

c) \( h = 0,001\, \)

I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.

Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).

a) Ange felet till det närmevärde som beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).

Approximera \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och

b) bakåtdifferenskvoten. Ange felet.

c) centrala differenskvoten. Ange felet.

d) Vilken differenskvot approximerar funktionens derivata \( f\,'(1,8) \) bäst?

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 enligt följande tabell:

År	Folkmängd i tusental
\( 1900\, \)	\( 5\,130 \)
\( 1910\, \)	\( 5\,406 \)
\( 1920\, \)	\( 5\,832 \)
\( 1930\, \)	\( 6\,298 \)
\( 1940\, \)	\( 6\,645 \)
\( 1950\, \)	\( 7\,016 \)
\( 1960\, \)	\( 7\,495 \)
\( 1970\, \)	\( 8\,126 \)
\( 1980\, \)	\( 8\,217 \)
\( 1990\, \)	\( 8\,654 \)
\( 2000\, \)	\( 8\,983 \)

a) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under hela seklet.

b) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets första decennium.

c) Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets sista decennium.

d) Är följande påstående sant eller falskt?

"Anledningen till att a)-c) ger samma resultat är att modellen som beskriver Sveriges befolkningsutveckling, är en linjär funktion.

Linjära funktioner har samma genomsnittliga förändringshastighet i alla intervall på x-axeln."

Motivera ditt svar.

I Exempel 2 i Teori-delen betraktade vi följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där

\[ x \, = \, \] Tiden i minuter

\[ y \, = \, \] Oljans volym i liter

Läs igenom lösningarna a) - d) i Exempel 2 och besvara följande fråga:

e) Bestäm \( a\, \) i intervallet \( 0 \leq x \,\leq\, a \) där oljans genomsnittliga utströmningshastighet är \( - 260\, \), dvs där oljan läcker med 260 liter per minut.

Följande utdrag ur Skatteverkets skattetabell för 2011 (Kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:

\( x\, \)	\( y\, \)
\( 22\,801-23\,000 \)	\( 5\,510 \)
\( 23\,001-23\,200 \)	\( 5\,572 \)
\( 23\,201-23\,400 \)	\( 5\,638 \)
\( 23\,401-23\,600 \)	\( 5\,700 \)
\( 23\,601-23\,800 \)	\( 5\,763 \)
\( 23\,801-24\,000 \)	\( 5\,826 \)
\( 24\,001-24\,200 \)	\( 5\,889 \)
\( 24\,201-24\,400 \)	\( 5\,952 \)
\( 24\,401-24\,600 \)	\( 6\,017 \)
\( 24\,601-24\,800 \)	\( 6\,080 \)

där

\[ x \, = \, \] Månadslönen i kr

\[ y \, = \, \] Skatten i kr

Åsas får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från \( 23\,150 \) kr till \( 24\,700 \).

a) Bestäm \( \Delta x\, \) för Åsa.

b) Bestäm \( \Delta y\, \) för Åsa.

c) Beräkna \( \Delta y \over \Delta x \) för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön.

Detta belopp kallas marginalskatt. Ange Åsas marginalskatt i procent. Avrunda till heltal.

Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen

\[ y \, = \, x^2 \]

i intervallet

\[ a \,\leq\, x \,\leq\, a+h \]

Förenkla uttrycket i \( a\, \) och \( h\, \) så långt som möjligt.

Följande polynomfunktion är given:

\[ y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 \]

a) Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan \( x\, \) och \( x + h\, \). Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

b) Låt i uttrycket från a) gå \( h\, \) mot 0 så att du får ett uttryck endast i \( x\, \).

c) Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för \( x = 2\, \). Tolka ditt resultat.

d) Ställ upp ekvationen till tangenten till kurvan \( y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 \) i punkten \( x = 2\, \).