För vilka värden på x är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?

a) \( x^2 + 1 \over 3\,x - 6 \)

b) \( x^2 - 5\,x + 3 \over (x+6) \cdot (x-1) \)

c) \( x^3 + 3\,x^2 -8\,x - 1 \over x^2 + 1 \)

d) \( 4\,x^4 -6\,x^2 + 1 \over x^2 - 16 \)

Beräkna exakt

a) \( f(3)\, \) om \( f(x) = {x^2 - 4\,x + 3 \over 2\,x^2 + 3} \)

b) \( g(2)\, \) om \( g(t) = {3\,t^2 - 2\,t \over t\,(t+1)} \)

c) \( h(-1)\, \) om \( h(x) = {x^3 - x^2 - 1 \over x^3 + x^2 + x} \)

d) \( f(-1)\, \) om \( f(z) = {z^3 - z^2 - z - 1 \over z^3 + z^2 + z + 1} \)

Förkorta följande uttryck så långt som möjligt, om det går:

a) \( 20\,x^3\,y^2 \over 4\,x^2\,y \)

b) \( x^2\,(x + y) \over x \)

c) \( x\,(x - y) \over y \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( x - y \over y - x \)

b) \( 6\,(x-2)^2 \over 3\,x - 6 \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( {x \over 3} + {x \over 2} - {x \over 6} \)

b) \( {2 \over x} + {3 \over x^2} + {4 \over x^3} \)

c) \( {3 \over a-2} - {a+7 \over 6-3\,a} \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( {3\,(y-3) \over 8\,y} \cdot {24\,y \over y-3} \)

b) \( {x+y \over x^2} \cdot {x\,y \over x+y} \)

c) \( \left({2\,a - 4 \over a^2}\right)\, \Bigg / \,\left({a^2 - 4 \over a^4}\right) \)

Förenkla följande uttryck:

a) \( x^2 - 25 \over 8\,x^2 - 40\,x \)

b) \( 3\,x^2 - 12\,x \over x^2 - 6\,x + 8 \)

c) \( 1 - x\,y \over (x\,y)^2 - x\,y \)

Förenkla uttrycken i a) och b) så långt som möjligt:

a) \( {6\,x \over 4 - 9\,x^2} - {1 \over 2 -3\,x} \)

b) \( {1-x \over x+1} - {1+x \over 1-x} + {4\,x \over 1-x^2} \)

c) För vilket värde på \( z\, \) har följande ekvation lösningen \( x = 2\; \)\[ {15\,x^2 - 2\,x - 6 \over 6} = {x - 3\,z \over 2} - {z - 2\,x^2 \over 3} - {z \over x} \]

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( \left({1 \over 2\,x - 1} + {1 \over 2\,x + 1}\right) \cdot {2\,x + 1 \over 2\,x} \)

b) \( \left({a^2 - 6\,a + 9 \over b^6}\right)\, \Bigg / \,\left({a - 3 \over b^5}\right) \)

c) \( \left(1 - {x^2 \over y^2}\right)\, \Bigg / \,\left(1 - {x \over y}\right) \)

En rationell funktion är given\[ f(x) = {x+2 \over x^2 - x - 6} \]

a) Faktorisera nämnaren och skriv \( f(x)\, \) med faktoriserad nämnare.

b) Ange de värden på x för vilka \( f(x)\, \) inte är definierad (funktionens diskontinuiteter).

c) Ange en funktion \( g(x)\, \) som inte längre har \(\, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( f(x)\, \). Avgör först vilken av \(\, f(x)\):s diskontinuiteter är hävbar.

d) Rita graferna till \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Kan man av grafernas utseende dra slutsatsen att funktionerna är identiska?

Förenkla så långt som möjligt\[ {2\,x^2 - x^3 \over 2\,x^2 - 8} - {x \over x+2} + {x+2 \over 2} \]

Lös ekvationen

\( v - {u \over u\,v + v\,x} = {v\,x^2 \over x^2 - u^2} + {u\,v^2 \over v\,x + u\,v} \)

där \( u\, \) och \( v\, \) är givna konstanter och \( x\, \) ekvationens obekant. Lösningen kommer därför att bli ett rationellt uttryck i \( u\, \) och \( v\, \).