Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (24 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 14: | Rad 14: | ||
| + | == <b>Övning 1</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Följande funktion <math> f(x)\, </math> är definierad i tabellform: | Följande funktion <math> f(x)\, </math> är definierad i tabellform: | ||
::{| class="wikitable" | ::{| class="wikitable" | ||
| Rad 40: | Rad 40: | ||
| + | == <b>Övning 2</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Funktionen <math> f(x) = \ln x\, </math> är given. | Funktionen <math> f(x) = \ln x\, </math> är given. | ||
| − | Beräkna med 6 decimalers noggrannhet <math> f\,'(1,8) </math> med framåtdifferenskvoten och steglängden | + | Beräkna med 6 decimalers noggrannhet <math> f\,'(1,8) </math> med |
| + | |||
| + | framåtdifferenskvoten och steglängden | ||
a) <math> h = 0,1\, </math> | a) <math> h = 0,1\, </math> | ||
| Rad 54: | Rad 56: | ||
| + | == <b>Övning 3</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen <math> f(x) = \ln x\, </math> i <math> x = 1,8\, </math> med framåtdifferenskvoten. | I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen <math> f(x) = \ln x\, </math> i <math> x = 1,8\, </math> med framåtdifferenskvoten. | ||
Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är <math> f\,'(1,8) = 0,555\,556 </math>. | Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är <math> f\,'(1,8) = 0,555\,556 </math>. | ||
| − | Använd definitionen till närmevärdets fel i [[2.7_Numerisk_derivering# | + | Använd definitionen till närmevärdets fel i [[2.7_Numerisk_derivering#Exempel_3|<strong><span style="color:blue">exemplet på bakåtdifferenskvoten</span></strong>]] för att genomföra följande uppgifter: |
a) Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden <math> h = 0,01\, </math>. | a) Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden <math> h = 0,01\, </math>. | ||
| − | : | + | : Beräkna ett närmevärde till <math> f\,'(1,8) </math> med steglängden <math> h = 0,01\, </math> och |
b) bakåtdifferenskvoten samt ange felet, | b) bakåtdifferenskvoten samt ange felet, | ||
| Rad 70: | Rad 72: | ||
c) centrala differenskvoten samt ange felet. | c) centrala differenskvoten samt ange felet. | ||
| − | d) Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot | + | d) Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot beräknar närmevärdet till <math> f\,'(1,8) </math> bäst? |
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.6 Svar 3a|Lösning 3a|2.6 Lösning 3a|Svar 3b|2.6 Svar 3b|Lösning 3b|2.6 Lösning 3b|Svar 3c|2.6 Svar 3c|Lösning 3c|2.6 Lösning 3c|Svar 3d|2.6 Svar 3d}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.6 Svar 3a|Lösning 3a|2.6 Lösning 3a|Svar 3b|2.6 Svar 3b|Lösning 3b|2.6 Lösning 3b|Svar 3c|2.6 Svar 3c|Lösning 3c|2.6 Lösning 3c|Svar 3d|2.6 Svar 3d}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 4</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Sveriges befolkning växte mellan åren <math> 1900 </math> och <math> 2000 </math> enligt följande tabell: | Sveriges befolkning växte mellan åren <math> 1900 </math> och <math> 2000 </math> enligt följande tabell: | ||
| Rad 121: | Rad 123: | ||
Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet. | Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet. | ||
| − | d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren <math> 1900-2000 </math> (hela tabellen). | + | d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga |
| + | |||
| + | tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren <math> 1900-2000 </math> (hela tabellen). | ||
Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen <math> f(x)\, </math>? | Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen <math> f(x)\, </math>? | ||
| Rad 132: | Rad 136: | ||
| + | == <b>Övning 5</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen | Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen | ||
| Rad 146: | Rad 150: | ||
a) Kan <math> N(t)\, </math> deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel? | a) Kan <math> N(t)\, </math> deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel? | ||
| − | b) Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter. | + | b) Ange bakteriernas tillväxthastighet efter <math> \, 7 \, </math> minuter. |
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.6 Svar 5a|Lösning 5a|2.6 Lösning 5a|Svar 5b|2.6 Svar 5b|Lösning 5b|2.6 Lösning 5b}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.6 Svar 5a|Lösning 5a|2.6 Lösning 5a|Svar 5b|2.6 Svar 5b|Lösning 5b|2.6 Lösning 5b}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 6</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
| − | |||
Fibonaccis funktion är given i följande tabell: | Fibonaccis funktion är given i följande tabell: | ||
| Rad 199: | Rad 202: | ||
| + | == <b>Övning 7</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Fibonaccis funktion är definierad genom följande explicit formel: | Fibonaccis funktion är definierad genom följande explicit formel: | ||
| Rad 209: | Rad 212: | ||
:Om svaret är ja, ange <math> \, F\,'(n) </math>. Om svaret är nej, förklara varför? | :Om svaret är ja, ange <math> \, F\,'(n) </math>. Om svaret är nej, förklara varför? | ||
| − | b) Beräkna <math> \, F\,'( | + | b) Beräkna <math> \, F\,'(12) \, </math> så noggrant som möjligt. |
| − | {{#NAVCONTENT:Svar | + | |
| + | c) Jämför resultatet från b) med svaret i övning 6 b) där också <math> \, F\,'(12) \, </math> beräknades. | ||
| + | |||
| + | :Förklara den stora skillnaden. Vilket resultat kan man lita mer på och varför? | ||
| + | {{#NAVCONTENT:Svar 7a|2.6 Svar 7a|Lösning 7a|2.6 Lösning 7a|Svar 7b|2.6 Svar 7b}}</div> | ||
| Rad 330: | Rad 337: | ||
== 3d == | == 3d == | ||
| − | Det är den centrala differenskvoten som | + | Det är den centrala differenskvoten som beräknar närmevärdet till <math> f\,'(1,8) </math> bäst. |
== 4a == | == 4a == | ||
| Rad 354: | Rad 361: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 29 november 2018 kl. 13.15
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Diagnosprov kap 2 Derivata | Lösningar till diagnosprov kap 2 |
E-övningar: 1-4
Övning 1
Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:
\( x\, \) \( f(x)\, \) \( 0,5\, \) \( 1,79744\, \) \( 0,6\, \) \( 2,04424\, \) \( 0,7\, \) \( 2,32751\, \)
Beräkna \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:
c) den centrala differenskvoten
Ange svaren avrundade till 4 decimaler.
Hämtar...
Övning 2
Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.
Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) med
framåtdifferenskvoten och steglängden
a) \( h = 0,1\, \)
b) \( h = 0,01\, \)
c) \( h = 0,001\, \)
Övning 3
I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.
Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).
Använd definitionen till närmevärdets fel i exemplet på bakåtdifferenskvoten för att genomföra följande uppgifter:
a) Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).
- Beräkna ett närmevärde till \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och
b) bakåtdifferenskvoten samt ange felet,
c) centrala differenskvoten samt ange felet.
d) Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot beräknar närmevärdet till \( f\,'(1,8) \) bäst?
Övning 4
Sveriges befolkning växte mellan åren \( 1900 \) och \( 2000 \) enligt följande tabell:
År Folkmängd i tusental \( 1900\, \) \( 5\,130 \) \( 1910\, \) \( 5\,406 \) \( 1920\, \) \( 5\,832 \) \( 1930\, \) \( 6\,298 \) \( 1940\, \) \( 6\,645 \) \( 1950\, \) \( 7\,016 \) \( 1960\, \) \( 7\,495 \) \( 1970\, \) \( 8\,126 \) \( 1980\, \) \( 8\,217 \) \( 1990\, \) \( 8\,654 \) \( 2000\, \) \( 8\,983 \)
Tabellen ovan definierar en funktion \( y \, = \, f(x) \; \) där:
- \[ x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \]
- \[ y =\, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;tusental} \]
Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år
a) \( 1900\, \)
b) \( 1950\, \)
c) \( 2000\, \)
Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet.
d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga
tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren \( 1900-2000 \) (hela tabellen).
Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen \( f(x)\, \)?
C-övningar: 5-6
Övning 5
Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen
- \[ N(t) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-t}} \]
där
- \[ t \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \]
- \[ N \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} \]
a) Kan \( N(t)\, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
b) Ange bakteriernas tillväxthastighet efter \( \, 7 \, \) minuter.
Övning 6
Fibonaccis funktion är given i följande tabell:
Antal månader \( \, n \, \) Antal kaninpar \( \, F(n) \, \) \( 1 \) \( 1\, \) \( 2 \) \( 1\, \) \( 3 \) \( 2\, \) \( 4 \) \( 3\, \) \( 5 \) \( 5\, \) \( 6 \) \( 8\, \) \( 7 \) \( 13\, \) \( 8 \) \( 21\, \) \( 9 \) \( 34\, \) \( 10 \) \( 55\, \) \( 11 \) \( 89\, \) \( 12 \) \( 144\, \)
Välj lämplig numerisk deriveringsformel för att så noggrant som möjligt beräkna:
a) \( \, F\,'(8) \, \)
b) \( \, F\,'(12) \, \)
Motivera ditt val av deriveringsformel.
A-övningar: 7
Övning 7
Fibonaccis funktion är definierad genom följande explicit formel:
- \[ F(n) \, = \, {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
a) Kan \( \, F(n) \, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
- Om svaret är ja, ange \( \, F\,'(n) \). Om svaret är nej, förklara varför?
b) Beräkna \( \, F\,'(12) \, \) så noggrant som möjligt.
c) Jämför resultatet från b) med svaret i övning 6 b) där också \( \, F\,'(12) \, \) beräknades.
- Förklara den stora skillnaden. Vilket resultat kan man lita mer på och varför?
Copyright © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
