Skillnad mellan versioner av "3.2 Övningar till Lokala maxima och minima"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (30 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
| − | < | + | <big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren. Hur man gör står [[1.1_F%C3%B6rdjupning_till_Polynom#Grafritning|<b><span style="color:blue">här</span></b>]]. </big> |
| − | < | + | <big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-5</span></big></big></big> |
| + | == <b>Övning 1</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td>I [[2.1 Introduktion till derivata|< | + | <td>I [[2.1 Introduktion till derivata|<b><span style="color:blue">Introduktion till derivata</span></b>]] sysslade vi med följande aktivitet: |
| − | |||
| − | Hennes hopp från 10-meterstorn beskrivs av funktionen: | + | Yulia Koltunova tävlar i [http://www.youtube.com/watch?v=HIoD64a2tKY&feature=related <b><span style="color:blue">simhopp</span></b>]. |
| + | |||
| + | Hennes hopp från <math> 10</math>-meterstorn beskrivs av funktionen<span style="color:black">:</span> | ||
::::<math> y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math> | ::::<math> y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math> | ||
| − | där <math> \; \; y\, </math> är Yulias höjd över vattnet | + | där <math> \; \; y\, </math> är Yulias höjd över vattnet i meter och |
| − | <math> \qquad\! x\, </math> är tiden efter hon lämnat brädan | + | <math> \qquad\! x\, </math> är tiden efter hon lämnat brädan i sekunder. |
a) Efter hur många sekunder har Yulia nått sin högsta höjd? | a) Efter hur många sekunder har Yulia nått sin högsta höjd? | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
</td> | </td> | ||
<td> [[Image: Ovn 1.jpg]] | <td> [[Image: Ovn 1.jpg]] | ||
| Rad 44: | Rad 39: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | : Använd [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<b><span style="color:blue">regeln med andraderivatan</span></b>]] för att visa att du hittat maximipunkten. | |
| + | b) Beräkna Yulias maximala höjd. | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.2 Svar 1a|Lösning 1a|3.2 Lösning 1a|Svar 1b|3.2 Svar 1b|Lösning 1b|3.2 Lösning 1b}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.2 Svar 1a|Lösning 1a|3.2 Lösning 1a|Svar 1b|3.2 Svar 1b|Lösning 1b|3.2 Lösning 1b}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 2</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
a) Följande teckentabell innehåller information om funktionen <math>\, y = f(x)</math>: | a) Följande teckentabell innehåller information om funktionen <math>\, y = f(x)</math>: | ||
| Rad 72: | Rad 68: | ||
<tr> | <tr> | ||
<td><math> f(x) </math></td> | <td><math> f(x) </math></td> | ||
| − | <td> < | + | <td> <b><big><big>↘</big></big></b> </td> |
| − | <td> | + | <td> <b><span style="color:red">?</span></b> </td> |
| − | <td> < | + | <td> <b><big><big>↗</big></big></b> </td> |
| − | <td> | + | <td> <b><span style="color:red">?</span></b> </td> |
| − | <td> < | + | <td> <b><big><big>↘</big></big></b> </td> |
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | : Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?). | + | : Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (<b><span style="color:red">?</span></b>). |
| − | b) | + | b) Ta funktionen från <b>övning 1</b><span style="color:black">:</span> |
| + | :::::::<math> f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math> | ||
| + | |||
| + | :Hitta <math> \, f(x)</math>:s maximipunkt genom att använda en [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]]. | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.2 Svar 2a|Lösning 2b|3.2 Lösning 2b}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.2 Svar 2a|Lösning 2b|3.2 Lösning 2b}}</div> | ||
| + | == <b>Övning 3</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | + | En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen<span style="color:black">:</span> | |
| − | En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen: | + | |
::::<math> h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t </math> | ::::<math> h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t </math> | ||
| Rad 100: | Rad 99: | ||
a) När når kulan sin högsta höjd? | a) När når kulan sin högsta höjd? | ||
| − | :Bevisa med en av reglerna ([[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|< | + | :Bevisa med en av reglerna ([[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<b><span style="color:blue">andraderivatan</span></b>]] eller [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]]) att du hittat maximipunkten. |
b) Hur högt når kulan? | b) Hur högt når kulan? | ||
| Rad 107: | Rad 106: | ||
| + | == <b>Övning 4</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td>Följande funktion är definierad genom: | + | <td>Följande funktion är definierad genom<span style="color:black">:</span> |
:::<math> y = f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 </math> | :::<math> y = f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 </math> | ||
| Rad 126: | Rad 125: | ||
d) Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum. | d) Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum. | ||
| − | |||
| − | |||
</td> | </td> | ||
<td> [[Image: Ovn 4.jpg]] | <td> [[Image: Ovn 4.jpg]] | ||
| − | |||
</td> | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| + | Vilken regel är detta ett exempel på? | ||
Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt: | Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt: | ||
| Rad 148: | Rad 145: | ||
| + | == <b>Övning 5</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 169: | Rad 166: | ||
| − | < | + | <big><big><big><span style="color:#86B404">C-övningar: 6-8</span></big></big></big> |
| + | == <b>Övning 6</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 205: | Rad 202: | ||
| + | == <b>Övning 7</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 234: | Rad 231: | ||
| + | == <b>Övning 8</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 250: | Rad 247: | ||
| − | < | + | <big><big><big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-11</span></big></big></big> |
| + | == <b>Övning 9</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
a) Bestäm konstanterna <math> \, a, \, b \, </math> och <math> \, c \, </math> så att funktionen | a) Bestäm konstanterna <math> \, a, \, b \, </math> och <math> \, c \, </math> så att funktionen | ||
| Rad 269: | Rad 266: | ||
| + | == <b>Övning 10</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter: | En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter: | ||
| Rad 293: | Rad 290: | ||
| + | == <b>Övning 11</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form: | För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form: | ||
| Rad 318: | Rad 315: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 16 december 2017 kl. 17.40
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren. Hur man gör står här.
E-övningar: 1-5
Övning 1
| I Introduktion till derivata sysslade vi med följande aktivitet:
Hennes hopp från \( 10\)-meterstorn beskrivs av funktionen:
där \( \; \; y\, \) är Yulias höjd över vattnet i meter och \( \qquad\! x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan i sekunder. a) Efter hur många sekunder har Yulia nått sin högsta höjd? |
|
- Använd regeln med andraderivatan för att visa att du hittat maximipunkten.
b) Beräkna Yulias maximala höjd.
Hämtar...
Övning 2
a) Följande teckentabell innehåller information om funktionen \(\, y = f(x)\):
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \( - \) | \(0\) | \( + \) | \(0\) | \( - \) |
| \( f(x) \) | ↘ | ? | ↗ | ? | ↘ |
- Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).
b) Ta funktionen från övning 1:
- \[ f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
- Hitta \( \, f(x)\):s maximipunkt genom att använda en teckenstudie.
Övning 3
En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen:
- \[ h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t \]
där \( \; \; h\, = \, \) kulans höjd över marken i meter
\( \qquad t\, = \, \) tiden efter kastet i sekunder
a) När når kulan sin högsta höjd?
- Bevisa med en av reglerna (andraderivatan eller teckenstudie) att du hittat maximipunkten.
b) Hur högt når kulan?
Övning 4
Följande funktion är definierad genom:
Använd grafen till höger för att lösa uppgifterna a)-d): a) Hur många extrempunkter har \( \,f(x) \, \)? b) För vilka \( \,x \) är funktionens derivata \( \, = \, 0 \) ? Motivera! c) Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions minimum. Vilken regel är detta ett exempel på? d) Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum. |
|
Vilken regel är detta ett exempel på?
Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt:
e) Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x)\, \).
f) Beräkna derivatan \( \, f\,'(x)\):s nollställen.
g) Använd en algebraisk metod för att skilja mellan maximi- och minimipunkten.
- Ange maximi- och minimipunktens koordinater.
Övning 5
Följande funktion är given:
- \[ f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \]
a) Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x) \, \) och beräkna dess nollställen.
b) Avgör med någon av metoderna vi lärt oss, vilka av derivatans nollställen är funktionen \( \, f(x)\):s maxima resp. minima.
Ange alla maximi- och minimipunkter.
c) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.
- Vilket samband kan man konstatera mellan funktionens graf och derivatans graf?
C-övningar: 6-8
Övning 6
| Grafen visar derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) av en
funktion \( \, y = f(x) \).
Besvara följande frågor om funktionen \( \, y = f(x) \, \) genom att använda information från derivatans graf: a) Läs av från grafen och ange derivatans nollställe. Vad kan man säga om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställe? |
|
b) Vilket teckenbyte har derivatan kring sitt nollställe? Vad följer av detta om funktionen?
c) Rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).
Övning 7
| Grafen visar derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) av en
funktion \( \, y = f(x) \).
Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen: a) Vilka slutsatser kan man dra om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser. b) Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\). |
|
Övning 8
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} \]
a) Beräkna koordinaterna till funktionens maximi- resp. minimipunkter exakt.
b) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.
Markera funktionens maximi- resp. minimipunkter och derivatans nollställen.
A-övningar: 9-11
Övning 9
a) Bestäm konstanterna \( \, a, \, b \, \) och \( \, c \, \) så att funktionen
- \[ y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x \]
får ett maximum i punkten \( \, (-1, 7) \, \) och dessutom ett minimum för \( \, x = 2 \, \).
Ange funktionen \( \, y = f(x) \, \).
b) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.
Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.
Övning 10
En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter:
På tomten ska en rektangulär boyta väljas så att boytans area \( \, A(x) \, \) blir maximal.
a) Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x) \, \) som endast beror av \( \, x \, \).
Tips: Kalla rektangelns andra sida för t.ex. \( \, y \,\). Ställ upp ett samband mellan \( \, y \,\) och \( \, x \, \).
Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa.
Inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på \( x\)- och den kortare på \( y\)-axeln
och hypotenusan blir del av en rät linje vars ekvation ger det önskade sambandet.
b) Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum och beräkna den maximala boytan.
c) Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till funktionen \( A(x) \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.
Övning 11
För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form:
där \( \, a \, \) och \( \, b \, \) är kateternas konstanta längder, dvs \( \, a > 0 \, \) och \( \, b > 0 \, \).
a) Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x, a, b) \). Tips: se övn. 10.
Behandla i fortsättningen arean som en funktion \( \, A(x) \, \) av endast variabeln \( \, x \, \). Betrakta \( \, a, b\, \) som konstanter.
b) Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum. Pga de obestämda konstanterna kommer \( \, x \, \) att vara ett uttryck i \( \, a \, \) resp. \( \, b \, \).
Ställ upp boytans maximala area som ett uttryck i \( \, a \, \) och \( \, b \, \)
c) Kontrollera om du får samma resultat som i övn. 10 när du i uttrycken här sätter in värdena \( \, a = 20 \, \) och \( \, b = 30 \, \) från övn. 10.
Copyright © 2011-2017 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
