Skillnad mellan versioner av "1.3 Övningar till Rationella uttryck"

För vilka värden på x är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?

a) \( x^2 + 1 \over 3\,x - 6 \)

b) \( x^2 - 5\,x + 3 \over (x+6) \cdot (x-1) \)

c) \( x^3 + 3\,x^2 -8\,x - 1 \over x^2 + 1 \)

d) \( 4\,x^4 -6\,x^2 + 1 \over x^2 - 16 \)

Beräkna exakt

a) \( f(3)\, \) om \( f(x) = {x^2 - 4\,x + 3 \over 2\,x^2 + 3} \)

b) \( g(2)\, \) om \( g(t) = {3\,t^2 - 2\,t \over t\,(t+1)} \)

c) \( h(-1)\, \) om \( h(x) = {x^3 - x^2 - 1 \over x^3 + x^2 + x} \)

d) \( f(-1)\, \) om \( f(z) = {z^3 - z^2 - z - 1 \over z^3 + z^2 + z + 1} \)

Förkorta följande uttryck så långt som möjligt, om det går:

a) \( 20\,x^3\,y^2 \over 4\,x^2\,y \)

b) \( x^2\,(x + y) \over x \)

c) \( x\,(x - y) \over y \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( x - y \over y - x \)

b) \( 6\,(x-2)^2 \over 3\,x - 6 \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( {x \over 3} + {x \over 2} - {x \over 6} \)

b) \( {2 \over x} + {3 \over x^2} + {4 \over x^3} \)

c) \( {3 \over a-2} - {a+7 \over 6-3\,a} \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( {3\,(y-3) \over 8\,y} \cdot {24\,y \over y-3} \)

b) \( {x+y \over x^2} \cdot {x\,y \over x+y} \)

c) \( \left({2\,a - 4 \over a^2}\right)\, \Bigg / \,\left({a^2 - 4 \over a^4}\right) \)

Förenkla följande uttryck:

a) \( x^2 - 25 \over 8\,x^2 - 40\,x \)

b) \( 3\,x^2 - 12\,x \over x^2 - 6\,x + 8 \)

c) \( 1 - x\,y \over (x\,y)^2 - x\,y \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( {6\,x \over 4 - 9\,x^2} - {1 \over 2 -3\,x} \)

b) \( {1-x \over x+1} - {1+x \over 1-x} + {4\,x \over 1-x^2} \)

c) \( {2\,x^2 - x^3 \over 2\,x^2 - 8} - {x \over x+2} + {x+2 \over 2} \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( {3\,(y-3) \over 8\,y} \cdot {24\,y \over y-3} \)

b) \( {x+y \over x^2} \cdot {x\,y \over x+y} \)

c) \( \left({2\,a - 4 \over a^2}\right)\, \Bigg / \,\left({a^2 - 4 \over a^4}\right) \)

Två polynom är givna\[ P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b \]

\( Q(x) = 4 \cdot x - 6 \)

För vilka värden av \( a\, \) och \( b\, \) är \( P(x) = Q(x)\, \)?

Följande 2:a gradspolynom är givet:

\[ P(x) = x^2 - 10\,x + 16 \]

a) Utveckla uttrycket \( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) \) till ett polynom. Bestäm \( a\, \) och \( b\, \) så att \( P(x) = Q(x)\, \). Använd jämförelse av koefficienter.

b) Visa att de värden du får för \( a\, \) och \( b\, \) i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 10\,x + 16 = 0 \]

Visa att 2:a gradspolynomet \( P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 \) kan skrivas som

\[ (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) \]

vilket innebär en faktorisering av polynomet \( P(x)\, \). Bestäm a, b, c och d genom att:

a) Hitta först polynomet \( P(x)\, \):s rötter \( x_1\, \) och \( x_2\, \) exakt, dvs bibehåll bråkformen.

b) Sätt sedan \( P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \) och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.