Skillnad mellan versioner av "3.2 Övningar till Lokala maxima och minima"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
| + | == <b>Övning 1</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 47: | Rad 47: | ||
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.2 Svar 1a|Lösning 1a|3.2 Lösning 1a|Svar 1b|3.2 Svar 1b|Lösning 1b|3.2 Lösning 1b}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.2 Svar 1a|Lösning 1a|3.2 Lösning 1a|Svar 1b|3.2 Svar 1b|Lösning 1b|3.2 Lösning 1b}}</div> | ||
| − | + | == <b>Övning 2</b> == | |
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
a) Följande teckentabell innehåller information om funktionen <math>\, y = f(x)</math>: | a) Följande teckentabell innehåller information om funktionen <math>\, y = f(x)</math>: | ||
| Rad 88: | Rad 87: | ||
| + | == <b>Övning 3</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen: | En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen: | ||
| Rad 107: | Rad 106: | ||
| + | == <b>Övning 4</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 148: | Rad 147: | ||
| + | == <b>Övning 5</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 172: | Rad 171: | ||
| + | == <b>Övning 6</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 205: | Rad 204: | ||
| + | == <b>Övning 7</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 234: | Rad 233: | ||
| + | == <b>Övning 8</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 253: | Rad 252: | ||
| + | == <b>Övning 9</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
a) Bestäm konstanterna <math> \, a, \, b \, </math> och <math> \, c \, </math> så att funktionen | a) Bestäm konstanterna <math> \, a, \, b \, </math> och <math> \, c \, </math> så att funktionen | ||
| Rad 269: | Rad 268: | ||
| + | == <b>Övning 10</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter: | En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter: | ||
| Rad 293: | Rad 292: | ||
| + | == <b>Övning 11</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form: | För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form: | ||
Versionen från 1 december 2016 kl. 21.12
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.
E-övningar: 1-5
Övning 1
| I Introduktion till derivata sysslade vi med följande aktivitet:
Yulia Koltunova tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn beskrivs av funktionen:
där \( \; \; y\, \) är Yulias höjd över vattnet (i meter) och \( \qquad\! x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder). a) Efter hur många sekunder har Yulia nått sin högsta höjd?
b) Beräkna Yulias maximala höjd. |
|
Hämtar...Övning 2
a) Följande teckentabell innehåller information om funktionen \(\, y = f(x)\):
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \( - \) | \(0\) | \( + \) | \(0\) | \( - \) |
| \( f(x) \) | ↘ | ? | ↗ | ? | ↘ |
- Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).
b) Lös övning 1a, men använd nu en teckenstudie för att visa att du hittat maximipunkten.
Övning 3
En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen:
- \[ h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t \]
där \( \; \; h\, = \, \) kulans höjd över marken i meter
\( \qquad t\, = \, \) tiden efter kastet i sekunder
a) När når kulan sin högsta höjd?
- Bevisa med en av reglerna (andraderivatan eller teckenstudie) att du hittat maximipunkten.
b) Hur högt når kulan?
Övning 4
Följande funktion är definierad genom:
Använd grafen till höger för att lösa uppgifterna a)-d): a) Hur många extrempunkter har \( \,f(x) \, \)? b) För vilka \( \,x \) är funktionens derivata \( \, = \, 0 \) ? Motivera! c) Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions minimum. Vilken regel är detta ett exempel på? d) Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum. Vilken regel är detta ett exempel på? |
|
Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt:
e) Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x)\, \).
f) Beräkna derivatan \( \, f\,'(x)\):s nollställen.
g) Använd en algebraisk metod för att skilja mellan maximi- och minimipunkten.
- Ange maximi- och minimipunktens koordinater.
Övning 5
Följande funktion är given:
- \[ f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \]
a) Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x) \, \) och beräkna dess nollställen.
b) Avgör med någon av metoderna vi lärt oss, vilka av derivatans nollställen är funktionen \( \, f(x)\):s maxima resp. minima.
Ange alla maximi- och minimipunkter.
c) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.
- Vilket samband kan man konstatera mellan funktionens graf och derivatans graf?
C-övningar: 6-8
Övning 6
| Grafen visar derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) av en
funktion \( \, y = f(x) \).
Besvara följande frågor om funktionen \( \, y = f(x) \, \) genom att använda information från derivatans graf: a) Läs av från grafen och ange derivatans nollställe. Vad kan man säga om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställe? |
|
b) Vilket teckenbyte har derivatan kring sitt nollställe? Vad följer av detta om funktionen?
c) Rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).
Övning 7
| Grafen visar derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) av en
funktion \( \, y = f(x) \).
Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen: a) Vilka slutsatser kan man dra om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser. b) Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\). |
|
Övning 8
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} \]
a) Beräkna koordinaterna till funktionens maximi- resp. minimipunkter exakt.
b) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.
Markera funktionens maximi- resp. minimipunkter och derivatans nollställen.
A-övningar: 9-11
Övning 9
a) Bestäm konstanterna \( \, a, \, b \, \) och \( \, c \, \) så att funktionen
- \[ y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x \]
får ett maximum i punkten \( \, (-1, 7) \, \) och dessutom ett minimum för \( \, x = 2 \, \).
Ange funktionen \( \, y = f(x) \, \).
b) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.
Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.
Övning 10
En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter:
På tomten ska en rektangulär boyta väljas så att boytans area \( \, A(x) \, \) blir maximal.
a) Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x) \, \) som endast beror av \( \, x \, \).
Tips: Kalla rektangelns andra sida för t.ex. \( \, y \,\). Ställ upp ett samband mellan \( \, y \,\) och \( \, x \, \).
Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa.
Inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på \( x\)- och den kortare på \( y\)-axeln
och hypotenusan blir del av en rät linje vars ekvation ger det önskade sambandet.
b) Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum och beräkna den maximala boytan.
c) Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till funktionen \( A(x) \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.
Övning 11
För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form:
där \( \, a \, \) och \( \, b \, \) är kateternas konstanta längder, dvs \( \, a > 0 \, \) och \( \, b > 0 \, \).
a) Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x, a, b) \). Tips: se övn. 10.
Behandla i fortsättningen arean som en funktion \( \, A(x) \, \) av endast variabeln \( \, x \, \). Betrakta \( \, a, b\, \) som konstanter.
b) Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum. Pga de obestämda konstanterna kommer \( \, x \, \) att vara ett uttryck i \( \, a \, \) resp. \( \, b \, \).
Ställ upp boytans maximala area som ett uttryck i \( \, a \, \) och \( \, b \, \)
c) Kontrollera om du får samma resultat som i övn. 10 när du i uttrycken här sätter in värdena \( \, a = 20 \, \) och \( \, b = 30 \, \) från övn. 10.
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
