För vilka värden på x är uttrycken nedan definierade och för vilka är de inte definierade?

a) \( x^2 + 1 \over 3\,x - 6 \)

b) \( x^2 - 5\,x + 3 \over (x+6) \cdot (x-1) \)

c) \( x^3 + 3\,x^2 -8\,x - 1 \over x^2 + 1 \)

d) \( 4\,x^4 -6\,x^2 + 1 \over x^2 - 16 \)

Beräkna exakt

a) \( f(3)\, \) om \( f(x) = {x^2 - 4\,x + 3 \over 2\,x^2 + 3} \)

b) \( g(2)\, \) om \( g(t) = {3\,t^2 - 2\,t \over t\,(t+1)} \)

c) \( h(-1)\, \) om \( h(x) = {x^3 - x^2 - 1 \over x^3 + x^2 + x} \)

d) \( f(-1)\, \) om \( f(z) = {z^3 - z^2 - z - 1 \over z^3 + z^2 + z + 1} \)

Förkorta följande uttryck så långt som möjligt, om det går:

a) \( 20\,x^3\,y^2 \over 4\,x^2\,y \)

b) \( x^2\,(x + y) \over x \)

c) \( x\,(x - y) \over y \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( x - y \over y - x \)

b) \( 6\,(x-2)^2 \over 3\,x - 6 \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( {x \over 3} + {x \over 2} - {x \over 6} \)

b) \( {2 \over x} + {3 \over x^2} + {4 \over x^3} \)

c) \( {3 \over a-2} - {a+7 \over 6-3\,a} \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( {3\,(y-3) \over 8\,y} \cdot {24\,y \over y-3} \)

b) \( {x+y \over x^2} \cdot {x\,y \over x+y} \)

c) \( \left({2\,a - 4 \over a^2}\right)\, \Bigg / \,\left({a^2 - 4 \over a^4}\right) \)

Förenkla så långt som möjligt\[ {2\,x^2 - x^3 \over 2\,x^2 - 8} - {x \over x+2} + {x+2 \over 2} \]

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( x^2 - 25 \over 8\,x^2 - 40\,x \)

b) \( 3\,x^2 - 12\,x \over x^2 - 6\,x + 8 \)

c) \( 1 - x\,y \over (x\,y)^2 - x\,y \)

Förenkla uttrycken i a) och b) så långt som möjligt:

a) \( {6\,x \over 4 - 9\,x^2} - {1 \over 2 -3\,x} \)

b) \( {1-x \over x+1} - {1+x \over 1-x} + {4\,x \over 1-x^2} \)

c) För vilket värde på \( z\, \) har följande ekvation lösningen \( x = 2\; \)\[ {15\,x^2 - 2\,x - 6 \over 6} = {x - 3\,z \over 2} - {z - 2\,x^2 \over 3} - {z \over x} \]

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( \left({1 \over 2\,x - 1} + {1 \over 2\,x + 1}\right) \cdot {2\,x + 1 \over 2\,x} \)

b) \( \left({a^2 - 6\,a + 9 \over b^6}\right)\, \Bigg / \,\left({a - 3 \over b^5}\right) \)

c) \( \left(1 - {x^2 \over y^2}\right)\, \Bigg / \,\left(1 - {x \over y}\right) \)

En rationell funktion är given\[ f(x) = {x+2 \over x^2 - x - 6} \]

a) Faktorisera nämnaren och skriv \( f(x)\, \) med faktoriserad nämnare.

b) Ange de värden på x för vilka \( f(x)\, \) inte är definierad (funktionens diskontinuiteter). Ange \(\, f(x)\):s hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter.

c) Ange en funktion \( g(x)\, \) som inte längre har \(\, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( f(x)\, \).

d) Rita graferna till \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Kan man av grafernas utseende dra slutsatsen att funktionerna är identiska? Motivera ditt svar.

Lös ekvationen

\( v - {u \over u\,v + v\,x} = {v\,x^2 \over x^2 - u^2} + {u\,v^2 \over v\,x + u\,v} \)

där \( u\, \) och \( v\, \) är givna konstanter och \( x\, \) ekvationens obekant. Lösningen kommer därför att bli ett rationellt uttryck i \( u\, \) och \( v\, \).