Skillnad mellan versioner av "3.2 Övningar till Lokala maxima och minima"

a)   Följande teckentabell innehåller information om funktionen \(\, y = f(x)\):

 Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).

b)   Lös övning 1a, men använd här en teckentabell för att visa att du hittat maximipunkten.

En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen:

\[ h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t \]

där \( {\color{White} x} \; h\, = \, \) kulans höjd över marken i meter

\( {\color{White} {xxxx}} t\, = \, \) tiden efter kastet i sekunder

a)   När når kulan sin högsta höjd?

 Bevisa med en av reglerna (andraderivatan eller teckentabell) att du hittat maximipunkten.

b)   Hur högt når kulan?

Följande funktion är definierad genom: \[ y = f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 \] Använd grafen till höger för att lösa uppgifterna a)-d): a)   Hur många extrempunkter har \( \,f(x) \, \)? b)   För vilka \( \,x \) är funktionens derivata \( \, = \, 0 \) ? Motivera! c)   Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions minimum.       Vilken regel är detta ett exempel på? d)   Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum.       Vilken regel är detta ett exempel på?

Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt:

e)   Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x)\, \).

f)   Beräkna derivatan \( \, f\,'(x)\):s nollställen.

g)   Använd en algebraisk metod för att skilja mellan maximi- och minimipunkten.

 Ange maximi- och minimipunktens koordinater.

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \]

a)   Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x) \, \) och beräkna dess nollställen.

b)   Avgör med någon av metoderna vi lärt oss, vilka av derivatans nollställen är funktionen \( \, f(x)\):s maxima resp. minima.

      Ange alla maximi- och minimipunkter.

c)   Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.

 Vilket samband kan man konstatera mellan funktionens graf och derivatans graf?

Följande är grafen till derivatan \( {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} \) av en funktion \( \, y = f(x) \, \):

Besvara följande frågor om funktionen \( \, y = f(x) \, \) genom att använda information från derivatans graf (ovan):

a)   Läs av från grafen och ange derivatans nollställe. Vad kan man säga om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställe?

b)   Vilket teckenbyte har derivatan kring sitt nollställe? Vad följer av detta om funktionen?

c)   Rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).

Följande är grafen till derivatan \( {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} \) av en funktion \( \, y = f(x) \, \):

Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen ovan:

a)   Vilka slutsatser kan man dra om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser.

b)   Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = -3\,x^3 + 27\,x^2 - 45\,x \]

a)   Beräkna derivatans nollställen.

b)   Genomför ett teckenstudium och ange med hjälp av en teckentabell för vilka \( \,x \) funktionen \( \,f(x) \) är växande resp. avtagande.

c)   Rita grafen till funktionens derivata \( \, y' = f'(x) \).

     Ange och motivera endast med hjälp av derivatans graf för vilka \( \,x \) funktionen \( \,f(x) \) är växande resp. avtagande.

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, x^3 \]

a)   Formulera medelvärdessatsen för \( f(x)\, \) i intervallet \( 1 \leq x \leq 3 \). Ange derivatans medelvärde i intervallet \( \, 1 \leq x \leq 3 \, \).

b)   Bestäm värdet på \( \, c \, \) så att \( \, f'(c) = \) derivatans medelvärde. Ange svaret med 6 decimaler.

c)   Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan \( \, y = x^3 \, \) i punkten \( \, x = c \, \).

d)   Ställ upp ekvationen för sekanten genom punkterna \( \, (1, f(1)) \, \) och \( \, (3, f(3)) \, \).

e)   Rita graferna till \( \, y = x^3 \, \), tangenten och sekanten i samma koordinatsystem. Tolka resultatet.

I Exempel 2 Oljetank behandlades följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f(x) = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm oljans\;volym\;i\;liter} \]

Bestäm med hjälp av medelvärdessatsen den tidpunkt då oljetankens utströmningshastighet antar sitt medelvärde i tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 45 \). Ange detta medelvärde med hjälp av derivatan och jämför resultatet med Exempel 2 Oljetank b).

I Exempel 1 Vinternatt studerade vi temperaturen som under en vinternatt varierade enligt följande funktion:

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]

där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm tiden\;i\;timmar\;efter\;midnatt} \)

\[ y \, = \, {\rm temperaturen\;i\;grader\;Celsius} \]

a)   Bestäm med hjälp av medelvärdessatsen klockslaget \( \, c \, \) då nattens temperatur ändras i samma takt som temperaturändringens medelvärde mellan kl 1 och kl 6. Ange detta medelvärde. Tolka dina resultat.

b)   Visualisera dina resultat genom att rita graferna till \( \, y = f(x) \, \), tangenten till denna kurva i punkten \( \, x = c \, \) och sekanten genom punkterna \( \, (1, f(1)) \, \) och \( \, (6, f(6)) \, \) i samma koordinatsystem. Ange även ekvationerna till tangenten och sekanten.