Skillnad mellan versioner av "3.2 Övningar till Lokala maxima och minima"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp; Tillbaka till Talet e]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.1 Växande och avtagande| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[Exponentialfunktioner och logaritmer|Genomgång]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima|Genomgång]]}}
−
{{Selected tab|[[Övningar till Exponentialfunktioner och logaritmer|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[3.2 Övningar till Lokala maxima och minima|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[Logaritmlagarna|Repetition: Logaritmlagarna]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></big></big></big>
+
<big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.</big>
 +
 
 +
 
 +
<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-5</span></big></big></big>
  
  
 
== <b>Övning 1</b> ==
 
== <b>Övning 1</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
Vilka av de nedanstående ekvationerna är potensekvationer och vilka är exponentialekvationer?
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>I [[2.1 Introduktion till derivata|<strong><span style="color:blue">Introduktion till derivata</span></strong>]] sysslade vi med följande aktivitet:
  
−
Lös ekvationerna, om det går exakt, annars med 4 decimalers noggrannhet.
+
Yulia Koltunova tävlar i simhopp.  
  
−
Använd dina kunskaper från potensräkning för att lösa exponentialekvationerna utan räknare. Förklara din lösningsmetod.
+
Hennes hopp från 10-meterstorn beskrivs av funktionen:
  
−
a) &nbsp; <math> x^8 = 11\, </math>
+
::::<math> y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math>
  
 +
där <math> \; \; y\, </math> är Yulias höjd över vattnet (i meter) och
  
−
b) &nbsp; <math> 2^x = 32\, </math>
+
<math> \qquad\! x\, </math> är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).
  
 +
a) &nbsp; Efter hur många sekunder har Yulia nått sin högsta höjd?
 +
 +
:&nbsp;Använd [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">regeln med andraderivatan</span></strong>]] för att visa att
  
−
c) &nbsp; <math> (8\,x^3)^{1/3} = 1 </math>
+
:&nbsp;du hittat maximipunkten.
  
 +
b) &nbsp; Beräkna Yulias maximala höjd.
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 1.jpg]]
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.2 Svar 1a|Lösning 1a|3.2 Lösning 1a|Svar 1b|3.2 Svar 1b|Lösning 1b|3.2 Lösning 1b}}</div>
  
−
d) &nbsp; <math> 4^x + 4^{x+1} = 80\, </math>
 
−
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.6 Svar 1a|Lösning 1a|1.6 Lösning 1a|Svar 1b|1.6 Svar 1b|Lösning 1b|1.6 Lösning 1b|Svar 1c|1.6 Svar 1c|Lösning 1c|1.6 Lösning 1c|Svar 1d|1.6 Svar 1d|Lösning 1d|1.6 Lösning 1d}}
 
−
</div>
 
  
 +
== <b>Övning 2</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
a) &nbsp; Följande teckentabell innehåller information om funktionen <math>\, y = f(x)</math>:
  
−
== <b>Övning 1</b> ==
+
 
 +
                <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:70px;">
 +
  <tr>
 +
    <td><math>x</math></td>
 +
    <td> </td>
 +
    <td><math>-1</math></td>
 +
    <td> </td>
 +
    <td><math>0</math></td>
 +
    <td> </td>
 +
  </tr>
 +
  <tr>
 +
    <td><math> f\,'(x) </math></td>
 +
    <td><math> - </math></td>
 +
    <td><math>0</math></td>
 +
    <td><math> + </math></td>
 +
    <td><math>0</math></td>
 +
    <td><math> - </math></td>
 +
  </tr>
 +
  <tr>
 +
    <td><math> f(x) </math></td>
 +
    <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
 +
    <td>                  ?                            </td>
 +
    <td> <strong><big><big>&#8599;</big></big></strong> </td>
 +
    <td>                  ?                            </td>
 +
    <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
 +
  </tr>
 +
</table>
 +
 
 +
 
 +
:&nbsp;Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).
 +
 
 +
b) &nbsp; Ta funktionen från övning 1<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::::::<math> f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math>
 +
 
 +
:Hitta <math> \, f(x)</math>:s maximipunkt genom att använda en [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<strong><span style="color:blue">teckenstudie</span></strong>]].
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.2 Svar 2a|Lösning 2b|3.2 Lösning 2b}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 3</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
Skriv först ned hur man läser följande uttryck. Ange sedan uttryckens värde utan att använda räknare:
+
En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::<math> h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t </math>
 +
 
 +
där <math> \; \; h\, = \, </math> kulans höjd över marken i meter
 +
 
 +
<math> \qquad t\, = \, </math> tiden efter kastet i sekunder
 +
 
 +
a) &nbsp; När når kulan sin högsta höjd?
 
   
 
   
−
a) &nbsp; <math> \log_{10} 100\,000 </math>
+
:Bevisa med en av reglerna ([[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">andraderivatan</span></strong>]] eller [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<strong><span style="color:blue">teckenstudie</span></strong>]]) att du hittat maximipunkten.
  
 +
b) &nbsp; Hur högt når kulan?
  
−
b) &nbsp; <math> \lg 10\,000 </math>
+
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|3.2 Svar 3a|Lösning 3a|3.2 Lösning 3a|Svar 3b|3.2 Svar 3b|Lösning 3b|3.2 Lösning 3b}}</div>
  
  
−
c) &nbsp; <math> \log_2 8\, </math>
+
== <b>Övning 4</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>Följande funktion är definierad genom<span style="color:black">:</span>
  
 +
:::<math> y = f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 </math>
  
−
d) &nbsp; <math> \log_3 9\, </math>
+
Använd grafen till höger för att lösa uppgifterna a)-d):
  
 +
a) &nbsp; Hur många extrempunkter har <math> \,f(x) \, </math>?
  
−
e) &nbsp; <math> \log_5 125\, </math>
+
b) &nbsp; För vilka <math> \,x </math> är funktionens derivata <math> \, = \, 0 </math> ? Motivera!
  
 +
c) &nbsp; Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions minimum.
  
−
f) <math> \log_2 {1 \over 4} </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vilken regel är detta ett exempel på?
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.6 Svar 2a|Lösning 2a|1.6 Lösning 2a|Svar 2b|1.6 Svar 2b|Lösning 2b|1.6 Lösning 2b|Svar 2c|1.6 Svar 2c|Lösning 2c|1.6 Lösning 2c|Svar 2d|1.6 Svar 2d|Lösning 2d|1.6 Lösning 2d|Svar 2e|1.6 Svar 2e|Lösning 2e|1.6 Lösning 2e|Svar 2f|1.6 Svar 2f|Lösning 2f|1.6 Lösning 2f}}
+
d) &nbsp; Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum.
−
</div>
+
  
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vilken regel är detta ett exempel på?
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 4.jpg]]
  
−
== Övning 3 ==
+
</td>
−
<div class="ovning">
+
</tr>
−
Beräkna uttrycken nedan utan att använda räknare:
+
</table>
  
−
a) &nbsp; <math> \log_4 2 + \log_9 3\, </math>
+
Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt:
  
 +
e) &nbsp; Ställ upp derivatan <math> \, f\,'(x)\, </math>.
  
−
b) &nbsp; <math> \log_8 2 - \log_{27} 3\, </math>
+
f) &nbsp; Beräkna derivatan <math> \, f\,'(x)</math>:s nollställen.
  
 +
g) &nbsp; Använd en algebraisk metod för att skilja mellan maximi- och minimipunkten.
  
−
c) &nbsp; <math> \log_6 \sqrt{6} \cdot \log_5 \sqrt{5}\, </math>
+
:Ange maximi- och minimipunktens koordinater.
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.6 Svar 3a|Lösning 3a|1.6 Lösning 3a|Svar 3b|1.6 Svar 3b|Lösning 3b|1.6 Lösning 3b|Svar 3c|1.6 Svar 3c|Lösning 3c|1.6 Lösning 3c}}
+
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.2 Svar 4a|Svar 4b|3.2 Svar 4b|Svar 4c|3.2 Svar 4c|Svar 4d|3.2 Svar 4d|Svar 4e|3.2 Svar 4e|Svar 4f|3.2 Svar 4f|Lösning 4f|3.2 Lösning 4f|Svar 4g|3.2 Svar 4g|Lösning 4g|3.2 Lösning 4g}}</div>
−
<!-- Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.6 Svar 3a|Svar 3a]] | [[1.6 Lösning 3a|Lösning 3a]] | [[1.6 Svar 3b|Svar 3b]] | [[1.6 Lösning 3b|Lösning 3b]] | [[1.6 Svar 3c|Svar 3c]] | [[1.6 Lösning 3c|Lösning 3c]]</small></small>
+
−
-->
+
  
−
== Övning 4 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Svara först utan att använda räknare. Bekräfta sedan ditt resultat men räknaren i de fall det går (10-logaritmerna). <math> \,\log </math>-knappen på räknaren står för 10-logaritmen.
 
  
−
Vad blir:
+
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 +
Följande funktion är given:
 +
 
 +
::<math> f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 </math>
  
−
a) &nbsp; <math> 10^{\lg 32}\, </math>
+
a) &nbsp; Ställ upp derivatan <math> \, f\,'(x) \, </math> och beräkna dess nollställen.
  
 +
b) &nbsp; Avgör med någon av metoderna vi lärt oss, vilka av derivatans nollställen är funktionen <math> \, f(x)</math>:s maxima resp. minima.
  
−
b) &nbsp; <math> 3^{\log_3 5}\, </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ange alla maximi- och minimipunkter.
  
 +
c) &nbsp; Rita graferna till funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> och derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> i två olika koordinatsystem.
  
−
c) &nbsp; <math> \lg(10^6)\, </math>
+
:Vilket samband kan man konstatera mellan funktionens graf och derivatans graf?
  
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|3.2 Svar 5a|Lösning 5a|3.2 Lösning 5a|Svar 5b|3.2 Svar 5b|Lösning 5b|3.2 Lösning 5b|Lösning 5c|3.2 Lösning 5c}}</div>
  
−
d) &nbsp; <math> \log_3(3^8)\, </math>
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.6 Svar 4a|Lösning 4a|1.6 Lösning 4a|Svar 4b|1.6 Svar 4b|Lösning 4b|1.6 Lösning 4b|Svar 4c|1.6 Svar 4c|Lösning 4c|1.6 Lösning 4c|Svar 4d|1.6 Svar 4d|Lösning 4d|1.6 Lösning 4d}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[1.6 Svar 4a|Svar 4a]] | [[1.6 Lösning 4a|Lösning 4a]] | [[1.6 Svar 4b|Svar 4b]] | [[1.6 Lösning 4b|Lösning 4b]] | [[1.6 Svar 4c|Svar 4c]] | [[1.6 Lösning 4c|Lösning 4c]] | [[1.6 Svar 4d|Svar 4d]] | [[1.6 Lösning 4d|Lösning 4d]]</small></small>
 
−
-->
 
  
−
== C-övningar: 5-6 ==
 
  
−
== Övning 5 ==
+
<big><big><big><span style="color:#86B404">C-övningar: 6-8</span></big></big></big>
−
<div class="ovning">
+
−
Lös följande ekvationer genom att skriva om baserna till 10-potenser och använda potenslagarna. Beräkna 10-logaritmerna med räknaren. Svara med 6 decimaler.
+
  
  
−
a) &nbsp; <math> 2^x \, = \, 35 </math>
+
== <b>Övning 6</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>Grafen visar derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> av en
  
 +
funktion <math> \, y = f(x) </math>.
  
−
b) &nbsp; <math> 4^x \, = \, 17 </math>
 
  
  
−
c) &nbsp; <math> 8^x \, = \, 448 </math>
+
Besvara följande frågor om funktionen <math> \, y = f(x) \, </math>
  
 +
genom att använda information från derivatans graf:
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.6 Svar 5a|Lösning 5a|1.6 Lösning 5a|Svar 5b|1.6 Svar 5b|Lösning 5b|1.6 Lösning 5b|Svar 5c|1.6 Svar 5c|Lösning 5c|1.6 Lösning 5c}}
+
a) &nbsp; Läs av från grafen och ange derivatans nollställe.
−
<!-- Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.6 Svar 5a|Svar 5a]] | [[1.6 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[1.6 Svar 5b|Svar 5b]] | [[1.6 Lösning 5b|Lösning 5b]] | [[1.6 Svar 5c|Svar 5c]] | [[1.6 Lösning 5c|Lösning 5c]]</small></small>
+
−
-->
+
  
−
== Övning 6 ==
+
Vad kan man säga om funktionen <math> \, y = f(x) \, </math>
−
<div class="ovning">
+
−
Ett startkapital på <math> 12\,000 </math> kr sätts in på ett bankkonto med <math> 6,5\,\%</math> årsränta. Inga uttag görs. 
+
  
−
a) &nbsp; Ställ upp en modell (funktion) för pengarnas växande under flera år som tar hänsyn till ränta på ränta. Vilken typ av funktion blir det?
+
i derivatans nollställe?  
  
−
b) &nbsp; Använd modellen i a) &nbsp; för att ställa upp en ekvation för att få reda på hur länge det tar tills startkapitalet fördubblats. Vilken typ av ekvation blir det?
+
</td>
 +
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 3_2_6.jpg]]
  
−
Lös ekvationen och ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
+
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
b) &nbsp; Vilket teckenbyte har derivatan kring sitt nollställe? Vad följer av detta om funktionen?
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.6 Svar 6a|Lösning 6a|1.6 Lösning 6a|Svar 6b|1.6 Svar 6b|Lösning 6b|1.6 Lösning 6b}}
+
c) &nbsp; Rita en enkel skiss över funktionen <math> \, y = f(x)</math>.
−
<!-- Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.6 Svar 6a|Svar 6a]] | [[1.6 Lösning 6a|Lösning 6a]] | [[1.6 Svar 6b|Svar 6b]] | [[1.6 Lösning 6b|Lösning 6b]]</small></small>
+
−
-->
+
  
−
== A-övningar: 7-8 ==
+
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.2 Svar 6a|Svar 6b|3.2 Svar 6b|Lösning 6c|3.2 Lösning 6c}}</div>
  
−
== Övning 7 ==
 
−
<div class="ovning">
 
  
−
I början av ett år sattes in <math> 40\,000 </math> kr på ett bankkonto med en årsränta på <math> 8\,\% </math>.
+
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>Grafen visar derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> av en
  
−
Efter två år sattes in ytterligare ett belopp som var <math> 3\over 5 </math> av det först insatta.  
+
funktion <math> \, y = f(x) </math>.
  
−
Hur lång tid (räknat från den första insättningen) kommer det att ta tills saldot blir <math> 100\,000 </math> kr?
 
  
−
Inga uttag görs från kontot under hela tidsperioden. Ange svaret i antal år och hela månader.
 
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.6 Svar 7|Lösning 7|1.6 Lösning 7}}
+
Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen:
−
<!-- Alternativt:
+
−
:<small><small>[[1.6 Svar 7|Svar 7]] | [[1.6 Lösning 7|Lösning 7]]</small></small>
+
−
-->
+
  
−
== Övning 8 ==
+
a) &nbsp; Vilka slutsatser kan man dra om funktionen <math> \, y = f(x) \, </math>
−
<div class="ovning">
+
−
En termos fylls med hett kaffe. Temperaturen avtar exponentiellt med tiden från 94,3 ºC i början till 76 ºC efter 4 timmar.
+
  
−
a) &nbsp; Ställ upp en matematisk modell för kaffets avsvalnande. Ta hjälp från [[1.5 Övningar till Potenslagarna|1.5 övning 8 (Potenslagarna)]].
+
i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser.
  
−
b) &nbsp; Använd modellen från a) &nbsp; för att besvara frågan:
+
b) &nbsp; Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och
  
−
Hur lång tid <u>exakt</u> tar det tills kaffets temperatur understiger 55 º C då det inte längre anses drickbart? Ange svaret i antal timmar och avrundat antal minuter.
+
rita en enkel skiss över funktionen <math> \, y = f(x)</math>.  
  
−
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.6 Svar 8a|Svar 8b|1.6 Svar 8b}}
+
</td>
−
:<small><small>[[Media: Termos_1_6_övn_8.pdf|Fullständig lösning 8]]
+
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 3_2_7.jpg]]
  
−
<!--
+
</td>
−
= Facit =
+
</tr>
 +
</table>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.2 Svar 7a|Lösning 7a|3.2 Lösning 7a|Lösning 7b|3.2 Lösning 7b}}</div>
  
−
== 1a) &nbsp; ==
 
−
Potensekvation.
 
  
−
<math> x = 1,3495\, </math>
+
== <b>Övning 8</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Följande funktion är given:
  
−
== 1b) &nbsp; ==
+
::<math> y = f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} </math>
−
Exponentialekvation.
+
  
−
<math> x = 5\, </math>
+
a) &nbsp; Beräkna koordinaterna till funktionens maximi- resp. minimipunkter exakt.
  
−
== 1c) &nbsp; ==
+
b) &nbsp; Rita graferna till funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> och derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> i två olika koordinatsystem.
−
Potensekvation.
+
  
−
<math> x = {1 \over 2} </math>
+
Markera funktionens maximi- resp. minimipunkter och derivatans nollställen.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.2 Svar 8|Lösning 8a|3.2 Lösning 8|Lösning 8b|3.2 Lösning 8b}}</div>
  
−
== 1d) &nbsp; ==
 
−
Exponentialekvation.
 
  
−
<math> x = 2\, </math>
 
  
−
== 2a) &nbsp; ==
 
−
Logaritmen av 100 000 till basen 10. Eller: 10-logaritmen av 100 000.
 
  
−
<math> 5\, </math>
+
<big><big><big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-11</span></big></big></big>
  
−
== 2b) &nbsp; ==
 
−
10-logaritmen av 10 000.
 
  
−
<math> 4\, </math>
+
== <b>Övning 9</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
a) &nbsp; Bestäm konstanterna <math> \, a, \, b \, </math> och <math> \, c \, </math> så att funktionen
  
−
== 2c) &nbsp; ==
+
::::<math> y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x </math>
−
Logaritmen av 8 till basen 2.
+
  
−
<math> 3\, </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; får ett maximum i punkten <math> \, (-1, 7) \, </math> och dessutom ett minimum för <math> \, x = 2 \, </math>.
  
−
== 2d) &nbsp; ==
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ange funktionen <math> \, y = f(x) \, </math>.
−
Logaritmen av 9 till basen 3.  
+
  
−
<math> 2\, </math>
+
b) &nbsp; Rita graferna till funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> och dess derivata i två olika koordinatsystem.
  
−
== 2e) &nbsp; ==
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.
−
Logaritmen av 125 till basen 5.  
+
{{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.2 Svar 9a|Lösning 9a|3.2 Lösning 9a|Lösning 9b|3.2 Lösning 9b}}</div>
  
−
<math> 3\, </math>
 
  
−
== 2f) ==
+
== <b>Övning 10</b> ==
−
Logaritmen av 1/4 till basen 2.
+
<div class="ovnA">
 +
En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter:
  
−
<math> -2\, </math>
+
:::[[Image: Ovn 3_2_10_40.jpg]]
 +
På tomten ska en rektangulär boyta väljas så att boytans area <math> \, A(x) \, </math> blir maximal.
  
−
== 3a) &nbsp; ==
+
a) &nbsp; Ställ upp ett uttryck för arean <math> \, A(x) \, </math> som endast beror av <math> \, x \, </math>. 
−
<math> 1\, </math>
+
  
−
== 3b) &nbsp; ==
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <b>Tips</b>: &nbsp; Kalla rektangelns andra sida för t.ex. <math> \, y \,</math>. Ställ upp ett samband mellan <math> \, y \,</math> och <math> \, x \, </math>.
−
<math> 0\, </math>
+
  
−
== 3c) &nbsp; ==
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa.
−
<math> {1 \over 4} </math>
+
  
−
== 4a) &nbsp; ==
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på <math> x</math>- och den kortare på <math> y</math>-axeln
−
<math> 32\, </math>
+
  
−
== 4b) &nbsp; ==
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; och hypotenusan blir del av en rät linje vars ekvation ger det önskade sambandet.
−
<math> 5\, </math>
+
  
−
== 4c) &nbsp; ==
+
b) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att funktionen <math> \, A(x) \, </math> antar sitt maximum och beräkna den maximala boytan.
−
<math> 6\, </math>
+
  
−
== 4d) &nbsp; ==
+
c) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till funktionen <math> A(x) </math> och dess derivata i två olika koordinatsystem.
−
<math> 8\, </math>
+
  
−
== 5a) &nbsp; ==
+
{{#NAVCONTENT:Svar 10a|3.2 Svar 10a|Lösning 10a|3.2 Lösning 10a|Svar 10b|3.2 Svar 10b|Lösning 10b|3.2 Lösning 10b|Lösning 10c|3.2 Lösning 10c}}</div>
−
<math> x = 5,129283\, </math>
+
  
−
== 5b) &nbsp; ==
 
−
<math> x = 2,043731\, </math>
 
  
−
== 5c) &nbsp; ==
+
== <b>Övning 11</b> ==
−
<math>x = 2,935785\,</math>
+
<div class="ovnA">
 +
För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form:
  
−
== 6a) &nbsp; ==
+
:::[[Image: Ovn 3_2_11_40.jpg]]
−
<math> y = 12\,000 \cdot (1,065)^x </math>
+
där <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> är kateternas konstanta längder, dvs <math> \, a > 0 \, </math> och <math> \, b > 0 \, </math>.
  
−
Exponentialfunktion
+
a) &nbsp; Ställ upp ett uttryck för arean <math> \, A(x, a, b) </math>. <b>Tips</b>: se övn. 10.
  
−
== 6b) &nbsp; ==
+
Behandla i fortsättningen arean som en funktion <math> \, A(x) \, </math> av endast variabeln <math> \, x \, </math>. Betrakta <math> \, a, b\, </math> som konstanter.
−
<math> 11\, </math> år (och 0 månader).
+
  
−
== 7) ==
+
b) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att funktionen <math> \, A(x) \, </math> antar sitt maximum. Pga de obestämda konstanterna kommer <math> \, x \, </math> att vara ett uttryck i <math> \, a \, </math> resp. <math> \, b \, </math>.
−
<math> 6\, </math> år och <math> 6\, </math> månader.
+
  
−
== 8a) &nbsp; ==
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ställ upp boytans maximala area som ett uttryck i <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>
−
<math> c = 94,3\, </math>
+
  
−
<math> a = 0,94749\, </math>
+
c) &nbsp; Kontrollera om du får samma resultat som i övn. 10 när du i uttrycken här sätter in värdena <math> \, a = 20 \, </math> och <math> \, b = 30 \, </math> från övn. 10.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 11a|3.2 Svar 11a|Lösning 11a|3.2 Lösning 11a|Svar 11b|3.2 Svar 11b|Lösning 11b|3.2 Lösning 11b|Lösning 11c|3.2 Lösning 11c}}</div>
  
−
<math> y = 94,3 \cdot (0,94749)\,^x </math>
 
  
−
== 8b) &nbsp; ==
 
−
10 timmar
 
−
-->
 
  
  
Rad 276: Rad 320:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Versionen från 16 januari 2017 kl. 15.17

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.


E-övningar: 1-5


Övning 1

I Introduktion till derivata sysslade vi med följande aktivitet:

Yulia Koltunova tävlar i simhopp.

Hennes hopp från 10-meterstorn beskrivs av funktionen:

\[ y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]

där \( \; \; y\, \) är Yulias höjd över vattnet (i meter) och

\( \qquad\! x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).

a)   Efter hur många sekunder har Yulia nått sin högsta höjd?

 Använd regeln med andraderivatan för att visa att
 du hittat maximipunkten.

b)   Beräkna Yulias maximala höjd.

    Ovn 1.jpg
Svar 1a
3.2 Svar 1a
Lösning 1a
3.2 Lösning 1a
Svar 1b
3.2 Svar 1b
Lösning 1b
3.2 Lösning 1b


Övning 2

a)   Följande teckentabell innehåller information om funktionen \(\, y = f(x)\):


\(x\) \(-1\) \(0\)
\( f\,'(x) \) \( - \) \(0\) \( + \) \(0\) \( - \)
\( f(x) \) ↘  ? ↗  ? ↘


 Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).

b)   Ta funktionen från övning 1:

\[ f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
Hitta \( \, f(x)\):s maximipunkt genom att använda en teckenstudie.
Svar 2a
3.2 Svar 2a
Lösning 2b
3.2 Lösning 2b


Övning 3

En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen:

\[ h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t \]

där \( \; \; h\, = \, \) kulans höjd över marken i meter

\( \qquad t\, = \, \) tiden efter kastet i sekunder

a)   När når kulan sin högsta höjd?

Bevisa med en av reglerna (andraderivatan eller teckenstudie) att du hittat maximipunkten.

b)   Hur högt når kulan?

Svar 3a
3.2 Svar 3a
Lösning 3a
3.2 Lösning 3a
Svar 3b
3.2 Svar 3b
Lösning 3b
3.2 Lösning 3b


Övning 4

Följande funktion är definierad genom:
\[ y = f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 \]

Använd grafen till höger för att lösa uppgifterna a)-d):

a)   Hur många extrempunkter har \( \,f(x) \, \)?

b)   För vilka \( \,x \) är funktionens derivata \( \, = \, 0 \) ? Motivera!

c)   Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions minimum.

      Vilken regel är detta ett exempel på?

d)   Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum.

      Vilken regel är detta ett exempel på?

    Ovn 4.jpg

Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt:

e)   Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x)\, \).

f)   Beräkna derivatan \( \, f\,'(x)\):s nollställen.

g)   Använd en algebraisk metod för att skilja mellan maximi- och minimipunkten.

Ange maximi- och minimipunktens koordinater.
Svar 4a
3.2 Svar 4a
Svar 4b
3.2 Svar 4b
Svar 4c
3.2 Svar 4c
Svar 4d
3.2 Svar 4d
Svar 4e
3.2 Svar 4e
Svar 4f
3.2 Svar 4f
Lösning 4f
3.2 Lösning 4f
Svar 4g
3.2 Svar 4g
Lösning 4g
3.2 Lösning 4g


Övning 5

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \]

a)   Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x) \, \) och beräkna dess nollställen.

b)   Avgör med någon av metoderna vi lärt oss, vilka av derivatans nollställen är funktionen \( \, f(x)\):s maxima resp. minima.

      Ange alla maximi- och minimipunkter.

c)   Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.

Vilket samband kan man konstatera mellan funktionens graf och derivatans graf?
Svar 5a
3.2 Svar 5a
Lösning 5a
3.2 Lösning 5a
Svar 5b
3.2 Svar 5b
Lösning 5b
3.2 Lösning 5b
Lösning 5c
3.2 Lösning 5c



C-övningar: 6-8


Övning 6

Grafen visar derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) av en

funktion \( \, y = f(x) \).


Besvara följande frågor om funktionen \( \, y = f(x) \, \)

genom att använda information från derivatans graf:

a)   Läs av från grafen och ange derivatans nollställe.

Vad kan man säga om funktionen \( \, y = f(x) \, \)

i derivatans nollställe?

    Ovn 3 2 6.jpg

b)   Vilket teckenbyte har derivatan kring sitt nollställe? Vad följer av detta om funktionen?

c)   Rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).

Svar 6a
3.2 Svar 6a
Svar 6b
3.2 Svar 6b
Lösning 6c
3.2 Lösning 6c


Övning 7

Grafen visar derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) av en

funktion \( \, y = f(x) \).


Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen:

a)   Vilka slutsatser kan man dra om funktionen \( \, y = f(x) \, \)

i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser.

b)   Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och

rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).

    Ovn 3 2 7.jpg
Svar 7a
3.2 Svar 7a
Lösning 7a
3.2 Lösning 7a
Lösning 7b
3.2 Lösning 7b


Övning 8

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} \]

a)   Beräkna koordinaterna till funktionens maximi- resp. minimipunkter exakt.

b)   Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.

Markera funktionens maximi- resp. minimipunkter och derivatans nollställen.

Svar 8a
3.2 Svar 8
Lösning 8a
3.2 Lösning 8
Lösning 8b
3.2 Lösning 8b



A-övningar: 9-11


Övning 9

a)   Bestäm konstanterna \( \, a, \, b \, \) och \( \, c \, \) så att funktionen

\[ y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x \]

      får ett maximum i punkten \( \, (-1, 7) \, \) och dessutom ett minimum för \( \, x = 2 \, \).

      Ange funktionen \( \, y = f(x) \, \).

b)   Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.

      Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.

Svar 9a
3.2 Svar 9a
Lösning 9a
3.2 Lösning 9a
Lösning 9b
3.2 Lösning 9b


Övning 10

En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter:

Ovn 3 2 10 40.jpg

På tomten ska en rektangulär boyta väljas så att boytans area \( \, A(x) \, \) blir maximal.

a)   Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x) \, \) som endast beror av \( \, x \, \).

      Tips:   Kalla rektangelns andra sida för t.ex. \( \, y \,\). Ställ upp ett samband mellan \( \, y \,\) och \( \, x \, \).

                 Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa.

                 Inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på \( x\)- och den kortare på \( y\)-axeln

                 och hypotenusan blir del av en rät linje vars ekvation ger det önskade sambandet.

b)   Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum och beräkna den maximala boytan.

c)   Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till funktionen \( A(x) \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.

Svar 10a
3.2 Svar 10a
Lösning 10a
3.2 Lösning 10a
Svar 10b
3.2 Svar 10b
Lösning 10b
3.2 Lösning 10b
Lösning 10c
3.2 Lösning 10c


Övning 11

För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form:

Ovn 3 2 11 40.jpg

där \( \, a \, \) och \( \, b \, \) är kateternas konstanta längder, dvs \( \, a > 0 \, \) och \( \, b > 0 \, \).

a)   Ställ upp ett uttryck för arean \( \, A(x, a, b) \). Tips: se övn. 10.

Behandla i fortsättningen arean som en funktion \( \, A(x) \, \) av endast variabeln \( \, x \, \). Betrakta \( \, a, b\, \) som konstanter.

b)   Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum. Pga de obestämda konstanterna kommer \( \, x \, \) att vara ett uttryck i \( \, a \, \) resp. \( \, b \, \).

      Ställ upp boytans maximala area som ett uttryck i \( \, a \, \) och \( \, b \, \)

c)   Kontrollera om du får samma resultat som i övn. 10 när du i uttrycken här sätter in värdena \( \, a = 20 \, \) och \( \, b = 30 \, \) från övn. 10.

Svar 11a
3.2 Svar 11a
Lösning 11a
3.2 Lösning 11a
Svar 11b
3.2 Svar 11b
Lösning 11b
3.2 Lösning 11b
Lösning 11c
3.2 Lösning 11c





Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.2_Övningar_till_Lokala_maxima_och_minima&oldid=32311"