Skillnad mellan versioner av "2.6 Övningar till Derivatan av exponentialfunktioner"

Ställ upp derivatan av följande funktioner:

a) \( y = e\,^x + 8 \)

b) \( y = e\,^{2\,x} \)

c) \( y = 3\cdot e\,^x \)

d) \( y = 4\cdot e\,^{5\,x} \)

e) \( y = 16\cdot e\,^{-3\,x} \)

f) \( y = - x + e\,^{-0,5\,x} \)

g) \( y = {e\,^x + e\,^{-x} \over 2 } \)

Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( y = e\,^x \) i punkten \( (0, 1)\, \).

Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( y = {2 \over x} \)

b) \( y = -{3 \over x} + \sqrt{5} \)

c) \( y = 6 - 2\,\sqrt{x} \)

d) \( y = 7\,x^4 - {25 \over x} \)

e) \( y = {1 \over x^2} \)

f) \( y = {1 \over \sqrt{x}} \)

Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( y = {x^2 + 3 \over x} \)

b) \( y = {x^2\,\sqrt{x}\over 5} \)

c) \( y = {2 \over 3}\,x\,\sqrt{x} - {1 \over x^2} \)

d) Beräkna \( f\,'(4)\, \) om \( f(x) = x^3 + {\sqrt{x} \over 2} \) med 3 decimaler.

e) Beräkna \( f\,'(1)\, \) om \( f(x) = {x^3 + x^2 + x - 1 \over x} \).

I det introducerande avsnittet Vad är derivatan? sysslade vi med följande aktivitet:

Lisa tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen

\[ y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10\, \]

där \( y\, \) är Lisas höjd över vattnet (i meter) och \( x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).

Hon slår i vattnet efter 1,45 sekunder.

a) Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av \( f(x)\, \).

b) Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken hastighet Lisa slår i vattnet?

Följande parabel är given:

\[ y = x^2 + 5\,x - 8 \]

a) Vilken lutning har parabeln i punkten \( x = 1\, \)?

b) Ange ekvationen för tangenten till parabeln i denna punkt.

c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.

Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan

\[ y = x^2 + 5 x - 1\, \]

i punkten \( x = -1\, \) .

I en bakteriekultur växer antalet bakterier y enligt följande modell

\[ y = 2\,x^4 + 2\,500 \]

där x är tiden i timmar.

Efter hur många timmar kommer bakteriernas tillväxthastighet att vara \( 1\,000 \) bakterier per timme?

För vilka värden på \( a\, \) och \( b\, \) går kurvan

\[ y = a\,x^2 + b\,x \]

genom punkten \( (1, -1)\, \) och har där lutningen \( 4\, \) ?

Kurvan

\[ y = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \]

har en tangent som är parallell till den räta linjen \( y = x - 4\, \).

a) Rita kurvan.

b) Bestäm tangeringspunktens x- och y-koordinat.

c) Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan i tangeringspunkten.

d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem som kurvan.