3.2 Övningar till Lokala maxima och minima
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
E-övningar: 1-5
Övning 1
| I Introduktion till derivata sysslade vi med följande aktivitet:
Yulia Koltunova tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn beskrivs av funktionen:
där \( {\color{White} x} \; y\, \) är Yulias höjd över vattnet (i meter) och \( {\color{White} {xxxx}} x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder). a) Efter hur många sekunder har Yulia nått sin högsta höjd?
b) Beräkna Yulias maximala höjd. |
|
Hämtar...Övning 2
a) Följande teckentabell innehåller information om funktionen \(\, y = f(x)\):
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \( - \) | \(0\) | \( + \) | \(0\) | \( - \) |
| \( f(x) \) | ↘ | ? | ↗ | ? | ↘ |
- Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).
b) Lös övning 1a, men använd här en teckentabell för att visa att du hittat maximipunkten.
Övning 3
En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen:
- \[ h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t \]
där \( {\color{White} x} \; h\, = \, \) kulans höjd över marken i meter
\( {\color{White} {xxxx}} t\, = \, \) tiden efter kastet i sekunder
a) När når kulan sin högsta höjd?
- Bevisa med en av reglerna (andraderivatan eller teckentabell) att du hittat maximipunkten.
b) Hur högt når kulan?
Övning 4
Följande funktion är definierad genom:
Använd grafen till höger för att lösa uppgifterna a)-d): a) Hur många extrempunkter har \( \,f(x) \, \)? b) För vilka \( \,x \) är funktionens derivata \( \, = \, 0 \) ? Motivera! c) Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions minimum. Vilken regel är detta ett exempel på? d) Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum. Vilken regel är detta ett exempel på? |
|
Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt:
e) Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x)\, \).
f) Beräkna derivatan \( \, f\,'(x)\):s nollställen.
g) Använd en algebraisk metod för att skilja mellan maximi- och minimipunkten.
- Ange maximi- och minimipunktens koordinater.
Övning 5
Följande funktion är given:
- \[ f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \]
a) Ställ upp derivatan \( \, f\,'(x) \, \) och beräkna dess nollställen.
b) Avgör med någon av metoderna vi lärt oss, vilka av derivatans nollställen är funktionen \( \, f(x)\):s maxima resp. minima.
Ange alla maximi- och minimipunkter.
c) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem.
- Vilket samband kan man konstatera mellan funktionens graf och derivatans graf?
C-övningar: 6-8
Övning 6
Följande är grafen till derivatan \( {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} \) av en funktion \( \, y = f(x) \, \):
Besvara följande frågor om funktionen \( \, y = f(x) \, \) genom att använda information från derivatans graf (ovan):
a) Läs av från grafen och ange derivatans nollställe. Vad kan man säga om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställe?
b) Vilket teckenbyte har derivatan kring sitt nollställe? Vad följer av detta om funktionen?
c) Rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).
Övning 7
Följande är grafen till derivatan \( {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} \) av en funktion \( \, y = f(x) \, \):
Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen ovan:
a) Vilka slutsatser kan man dra om funktionen \( \, y = f(x) \, \) i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser.
b) Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och rita en enkel skiss över funktionen \( \, y = f(x)\).
Övning 8
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} \]
a) Beräkna koordinaterna till funktionens maximi- resp. minimipunkter exakt.
b) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och derivatan \( \, y\,' = f\,'(x) \, \) i två olika koordinatsystem. Markera funktionens maximi- resp. minimipunkter och derivatans nollställen.
A-övningar: 9-11
Övning 9
a) Bestäm konstanterna \( \, a, \, b \, \) och \( \, c \, \) så att funktionen
- \[ y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x \]
får ett maximum i punkten \( \, (-1, 7) \, \) och dessutom ett minimum för \( \, x = 2 \, \).
Ange funktionen \( \, y = f(x) \, \).
b) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.
Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.
Övning 10
En tomt har formen av en rätvinklig triangel:
En rektangulär boyta i den ska väljas så att boytan blir maximal.
a) Bestäm konstanterna \( \, a, \, b \, \) och \( \, c \, \) så att funktionen
- \[ y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x \]
får ett maximum i punkten \( \, (-1, 7) \, \) och dessutom ett minimum för \( \, x = 2 \, \).
Ange funktionen \( \, y = f(x) \, \).
b) Rita graferna till funktionen \( \, y = f(x) \, \) och dess derivata i två olika koordinatsystem.
Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.
Övning 11
I Exempel 1 Vinternatt studerade vi temperaturen som under en vinternatt varierade enligt följande funktion:
- \[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]
där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm tiden\;i\;timmar\;efter\;midnatt} \)
- \[ y \, = \, {\rm temperaturen\;i\;grader\;Celsius} \]
a) Bestäm med hjälp av medelvärdessatsen klockslaget \( \, c \, \) då nattens temperatur ändras i samma takt som temperaturändringens medelvärde mellan kl 1 och kl 6. Ange detta medelvärde. Tolka dina resultat.
b) Visualisera dina resultat genom att rita graferna till \( \, y = f(x) \, \), tangenten till denna kurva i punkten \( \, x = c \, \) och sekanten genom punkterna \( \, (1, f(1)) \, \) och \( \, (6, f(6)) \, \) i samma koordinatsystem. Ange även ekvationerna till tangenten och sekanten.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
