2.7 Övningar till Numerisk derivering
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Diagnosprov kap 2 Derivatan | Lösningar till diagnosprov kap 2 |
G-övningar: 1-4
Övning 1
Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:
\( x\, \) \( f(x)\, \) \( 0,5\, \) \( 1,79744\, \) \( 0,6\, \) \( 2,04424\, \) \( 0,7\, \) \( 2,32751\, \)
Beräkna \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:
a) framåtdifferenskvoten
b) bakåtdifferenskvoten
c) centrala differenskvoten
Ange svaren avrundade till 4 decimaler.
Hämtar...Alternativt:
- Svar 1a | Lösning 1a | Svar 1b | Lösning 1b | Svar 1c | Lösning 1c
Övning 2
Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.
Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) med framåtdifferenskvoten och steglängden
a) \( h = 0,1\, \)
b) \( h = 0,01\, \)
c) \( h = 0,001\, \)
Alternativt:
- Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c
Övning 3
I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.
Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).
Ett närmevärdes fel definieras som:
- Felet \( \, = \, \) exakta värdet \( \, - \, \) närmevärdet
a) Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).
Approximera \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och
b) bakåtdifferenskvoten samt ange felet,
c) centrala differenskvoten samt ange felet.
d) Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot approximerar \( f\,'(1,8) \) bäst?
Alternativt:
- Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b | Svar 3c | Lösning 3c | Svar 3d
Övning 4
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 enligt följande tabell:
År Folkmängd i tusental \( 1900\, \) \( 5\,130 \) \( 1910\, \) \( 5\,406 \) \( 1920\, \) \( 5\,832 \) \( 1930\, \) \( 6\,298 \) \( 1940\, \) \( 6\,645 \) \( 1950\, \) \( 7\,016 \) \( 1960\, \) \( 7\,495 \) \( 1970\, \) \( 8\,126 \) \( 1980\, \) \( 8\,217 \) \( 1990\, \) \( 8\,654 \) \( 2000\, \) \( 8\,983 \)
Tabellen ovan definierar en funktion
- \[ y \, = \, f(x) \]
där
- \[ x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \]
- \[ y =\, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;tusental} \]
Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år
a) \( 1900\, \)
b) \( 1950\, \)
c) \( 2000\, \)
Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot och steglängd.
Tolka resultatet.
d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under de senaste 100 åren dvs i tidsintervallet 1900-2000 (hela tabellen).
Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen \( f(x)\, \)?
Alternativt:
- Svar 4a | Lösning 4a | Svar 4b | Lösning 4b | Svar 4c | Lösning 4c | Svar 4d | Lösning 4d
VG-övningar: 5-6
Övning 5
Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen
- \[ y \, = \, f(x) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-x}} \]
där
- \[ x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \]
- \[ y \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} \]
a) Kan \( f(x)\, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
b) Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.
Alternativt:
- Svar 5a | Lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b
Övning 6
Följande utdrag ur Skatteverkets skattetabell för 2011 (Kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:
\( x\, \) \( y\, \) \( 22\,801-23\,000 \) \( 5\,510 \) \( 23\,001-23\,200 \) \( 5\,572 \) \( 23\,201-23\,400 \) \( 5\,638 \) \( 23\,401-23\,600 \) \( 5\,700 \) \( 23\,601-23\,800 \) \( 5\,763 \) \( 23\,801-24\,000 \) \( 5\,826 \) \( 24\,001-24\,200 \) \( 5\,889 \) \( 24\,201-24\,400 \) \( 5\,952 \) \( 24\,401-24\,600 \) \( 6\,017 \) \( 24\,601-24\,800 \) \( 6\,080 \)
där
- \[ x \, = \, \] Månadslönen i kr
- \[ y \, = \, \] Skatten i kr
Åsas får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från \( 23\,150 \) kr till \( 24\,700 \).
a) Bestäm \( \Delta x\, \) för Åsa.
b) Bestäm \( \Delta y\, \) för Åsa.
c) Beräkna \( \Delta y \over \Delta x \) för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön.
Detta belopp kallas marginalskatt. Ange Åsas marginalskatt i procent. Avrunda till heltal.
Alternativt:
- Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b | Svar 6c | Lösning 6c
MVG-övningar: 7-8
Övning 7
Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen
- \[ y \, = \, x^2 \]
i intervallet
- \[ a \,\leq\, x \,\leq\, a+h \]
Förenkla uttrycket i \( a\, \) och \( h\, \) så långt som möjligt.
Alternativt:
Övning 8
Följande polynomfunktion är given:
- \[ y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 \]
a) Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan \( x\, \) och \( x + h\, \). Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
b) Låt i uttrycket från a) gå \( h\, \) mot 0 så att du får ett uttryck endast i \( x\, \).
c) Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för \( x = 2\, \). Tolka ditt resultat.
d) Ställ upp ekvationen till tangenten till kurvan \( y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 \) i punkten \( x = 2\, \).
Alternativt:
- Svar 8a | Lösning 8a | Svar 8b | Lösning 8b | Svar 8c | Lösning 8c | Svar 8d | Lösning 8d
Facit till övningar i Numerisk Derivering
1a
\( 2,8327\, \)
1b
\( 2,4680\, \)
1c
\( 2,6504\, \)
2a
\( 0,540\,672 \)
2b
\( 0,554\,018 \)
2c
\( 0,555\,401 \)
3a
\( 0,001\,538\)
3b
\( f\,'(1,8) \approx 0,557\,105 \)
Felet \( \, = \, 0,001\,549\)
3c
\( f\,'(1,8) \approx 0,555\,561 \)
Felet \( = - 0,000\,005\)
3d
Det är den centrala differenskvoten som approximerar \( f\,'(1,8) \) bäst.
4a
\( 0,04\, \)
4b
\( 0,04\, \)
Felet \( \, = \, 0,001\,549\)
4c
\( 0,04\, \)
4d
Slutsats: Den tabellerade funktionen är linjär.
5a
Nej.
Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
