1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen
| <-- Förra avsnitt | Repetition: Exp. fkt. & logaritmer | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
E-övningar: 1-4
Övning 1
Beräkna följande uttryck på det enklast möjliga sättet och ange deras värde med 5 decimaler.
a) \( {\color{White} x} e\,^2 \cdot e\,^{0,5} \)
b) \( {\color{White} x} {e\,^3 \over e\,^4} \)
c) \( {\color{White} x} \left(e\,^{\ln\,6}\right)^2 \)
d) \( {\color{White} x} -5\cdot\ln(e^{-2}) \)
e) \( {\color{White} x} e\,^{1 \over 3} - (e\,^2)^{1\over 3} \)
Hämtar...Övning 2
Beräkna följande funktioners värde för \( x = 2\, \). Ange svaret med 4 decimaler.
a) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( e\,^{-2\,x} \)
b) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( 3\,e\,^{0,1\,x} \)
c) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( {1 \over 2}\,e\,^{1,5\,x} \)
d) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( -4\,e\,^{x \over 3} \)
e) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( {e\,^x\,+\,e\,^{-\,x} \over 2} \)
f) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( {e\,^x\,-\,e\,^{-\,x} \over 2} \)
Övning 3
Skriv följande likheter i logaritmform genom att logaritmera båda leden och använda inversegenskapen av \( e\,^x \, \) och \( \ln(x) \, \):
a) \( {\color{White} x} e\,^0 = 1\, \)
b) \( {\color{White} x} e\,^x = 100\, \)
c) \( {\color{White} x} e\,^7 = x\, \)
Övning 4
Lös följande ekvationerna. Ange svaret med 6 decimaler:
a) \( {\color{White} x} e\,^x = 10\, \)
b) \( {\color{White} x} \ln\,x = 2 \)
c) \( {\color{White} x} 4\,e\,^{3\,x} = 145\, \)
d) \( {\color{White} x} \ln\,2\,x = \ln\,10 - \ln\,5 \)
C-övningar: 5-6
Övning 5
a) Lös följande ekvation exakt:
- \[ \ln\,x \; = \; 1 + \ln\,(x-1) \]
b) Lös följande ekvation med 4 decimalers noggrannhet:
- \[ e\,^{x+1} \; = \; 4 \cdot e\,^{2\,x} \]
c) Lös följande ekvation exakt:
- \[ \ln\,(x+1) + \ln\,(x-1) = \ln 3 - \ln 4 \]
Övning 6
Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen
- \[ B \; = \; 50\cdot e\,^t \]
där B är antalet bakterier vid tiden och t är tiden i timmar.
Använd denna modell för att besvara följande frågor:
a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?
b) Hur många bakterier finns det i mjölken efter 8 timmar?
c) Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit 2000 då mjölken anses blivit sur?
A-övningar: 7-8
Övning 7
Temperaturen \( T \) i en glassmet sjunker enligt modellen
- \[ T \; = \; 50\, e\,^{-0,034 \,t} - 35 \]
där \( t \) är tiden i minuter efter att smeten ställs i frysen.
a) Vilken temperatur hade smeten när den ställdes i frysen?
b) Hur lång tid tar det tills smeten frusit och blivit glass. Ange svaret i minuter och sekunder.
Övning 8
Värdet av en företagsbil minskar enligt följande modell:
- \[ y \; = \; 225\,000\;e\,^{-k\,x} \]
där \( y \) är värdet i kr efter \( x \) år och \( k \) en konstant som kan bestämmas med hjälp av följande information:
- Efter 5 år är bilen 100 000 kr värd.
a) Bestäm \( k \) med 6 decimalers noggrannhet för att kunna besvara frågan:
b) Hur länge tar det tills bilens värde har sjunkit till \( 10 \% \) av nyvärdet då den anses kunna avskrivas. Ange svaret i år och månader.
Facit
1a
\( 2,71828\, \)
1b
\( 0,36788\, \)
1c
\( 36\, \)
1d
\( 10\, \)
1e
\( -0.55212\, \)
2a
\( 0,0183\, \)
2b
\( 3,6642\, \)
2c
\( 10,0428\, \)
2d
\( -7,7909\, \)
2e
\( 3,7622\, \)
2f
\( 3,6269\, \)
3a
\( \ln\,1 = 0 \)
3b
\( x = \ln\,100 \)
3c
\( \ln\,x = 7 \)
4a
\( x = 2,302585\, \)
4b
\( x = 7,389056\, \)
4c
\( x = 1,196813\,\)
4d
\( x = 1\,\)
5a
\( x = {e \over e - 1} \)
5b
\( x = 1 - \ln\,4 \)
5c
\( x = {1 \over 2} \, \sqrt{7} \)
6a
\( 50\, \)
6b
\( 149\,047 \)
6c
\( 3\, \) timmar och \( 42\, \) minuter.
7a
\( 15\, \)
7b
\( 10\, \) timmar och \( 30\, \) minuter.
8a
\( k = 0,162\,186 \)
8b
\( 14\, \) år och \( 2\, \) månader.
Copyright © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
