1.4 Övningar till Talet e och den naturliga logaritmen

<-- Förra avsnitt

Repetition: Exp. fkt. & logaritmer

Genomgång

Övningar

Nästa avsnitt -->

E-övningar: 1-4

Övning 1

Beräkna följande uttryck på det enklast möjliga sättet och ange deras värde med 5 decimaler.

a) \( {\color{White} x} e\,^2 \cdot e\,^{0,5} \)

b) \( {\color{White} x} {e\,^3 \over e\,^4} \)

c) \( {\color{White} x} \left(e\,^{\ln\,6}\right)^2 \)

d) \( {\color{White} x} -5\cdot\ln(e^{-2}) \)

e) \( {\color{White} x} e\,^{1 \over 3} - (e\,^2)^{1\over 3} \)

Svar 1a

Lösning 1a

Svar 1b

Lösning 1b

Svar 1c

Lösning 1c

Svar 1d

Lösning 1d

Svar 1e

Lösning 1e

Övning 2

Beräkna följande funktioners värde för \( x = 2\, \). Ange svaret med 4 decimaler.

a) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( e\,^{-2\,x} \)

b) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( 3\,e\,^{0,1\,x} \)

c) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( {1 \over 2}\,e\,^{1,5\,x} \)

d) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( -4\,e\,^{x \over 3} \)

e) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( {e\,^x\,+\,e\,^{-\,x} \over 2} \)

f) \( {\color{White} x} f(x) = \) \( {e\,^x\,-\,e\,^{-\,x} \over 2} \)

Svar 2a

Svar 2b

Svar 2c

Svar 2d

Svar 2e

Svar 2f

Övning 3

Skriv följande likheter i logaritmform genom att logaritmera båda leden och använda inversegenskapen av \( e\,^x \, \) och \( \ln(x) \, \):

a) \( {\color{White} x} e\,^0 = 1\, \)

b) \( {\color{White} x} e\,^x = 100\, \)

c) \( {\color{White} x} e\,^7 = x\, \)

Svar 3a

Lösning 3a

Svar 3b

Lösning 3b

Svar 3c

Lösning 3c

Övning 4

Lös följande ekvationerna. Ange svaret med 6 decimaler:

a) \( {\color{White} x} e\,^x = 10\, \)

b) \( {\color{White} x} \ln\,x = 2 \)

c) \( {\color{White} x} 4\,e\,^{3\,x} = 145\, \)

d) \( {\color{White} x} \ln\,2\,x = \ln\,10 - \ln\,5 \)

Svar 4a

Lösning 4a

Svar 4b

Lösning 4b

Svar 4c

Lösning 4c

Svar 4d

Lösning 4d

C-övningar: 5-6

Övning 5

a) Lös följande ekvation exakt:

\[ \ln\,x \; = \; 1 + \ln\,(x-1) \]

b) Lös följande ekvation med 4 decimalers noggrannhet:

\[ e\,^{x+1} \; = \; 4 \cdot e\,^{2\,x} \]

c) Lös följande ekvation exakt:

\[ \ln\,(x+1) + \ln\,(x-1) = \ln 3 - \ln 4 \]

Svar 5a

Lösning 5a

Svar 5b

Lösning 5b

Svar 5c

Lösning 5c

Övning 6

Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen

\[ B \; = \; 50\cdot e\,^t \]

där B är antalet bakterier vid tiden \( \, t \) och \( \, t \) är tiden i timmar.

Använd denna modell för att besvara följande frågor:

a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?

b) Hur många bakterier finns det i mjölken efter 8 timmar?

c) Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit 2000 då mjölken anses blivit sur?

Svar 6a

Lösning 6a

Svar 6b

Lösning 6b

Svar 6c

Lösning 6c

A-övningar: 7-8

Övning 7

Temperaturen \( T \) i en glassmet sjunker enligt modellen

\[ T \; = \; 50\, e\,^{-0,034 \,t} - 35 \]

där \( t \) är tiden i minuter efter att smeten ställs i frysen.

a) Vilken temperatur hade smeten när den ställdes i frysen?

b) Hur lång tid tar det tills smeten frusit och blivit glass. Ange svaret i minuter och sekunder.

Svar 7a

Lösning 7a

Svar 7b

Lösning 7b

Övning 8

Värdet av en företagsbil minskar enligt följande modell:

\[ y \; = \; 225\,000\;e\,^{-k\,x} \]

där \( y \) är värdet i kr efter \( x \) år och \( k \) en konstant som kan bestämmas med hjälp av följande information:

Efter 5 år är bilen 100 000 kr värd.

a) Bestäm \( k \) med 6 decimalers noggrannhet för att kunna besvara frågan:

b) Hur länge tar det tills bilens värde har sjunkit under \( 10 \% \) av nyvärdet då den anses kunna avskrivas.

Ange svaret i hela år och hela månader.

Svar 8a

Lösning 8a

Svar 8b

Lösning 8b