2.7 Övningar till Numerisk derivering
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Diagnosprov kap 2 Derivata | Lösningar till diagnosprov kap 2 |
E-övningar: 1-4
Övning 1
Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:
\( x\, \) \( f(x)\, \) \( 0,5\, \) \( 1,79744\, \) \( 0,6\, \) \( 2,04424\, \) \( 0,7\, \) \( 2,32751\, \)
Beräkna \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:
c) den centrala differenskvoten
Ange svaren avrundade till 4 decimaler.
Hämtar...
Övning 2
Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.
Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) med
framåtdifferenskvoten och steglängden
a) \( h = 0,1\, \)
b) \( h = 0,01\, \)
c) \( h = 0,001\, \)
Övning 3
I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.
Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).
Använd definitionen till närmevärdets fel i exemplet på bakåtdifferenskvoten för att genomföra följande uppgifter:
a) Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).
- Beräkna ett närmevärde till \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och
b) bakåtdifferenskvoten samt ange felet,
c) centrala differenskvoten samt ange felet.
d) Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot beräknar närmevärdet till \( f\,'(1,8) \) bäst?
Övning 4
Sveriges befolkning växte mellan åren \( 1900 \) och \( 2000 \) enligt följande tabell:
År Folkmängd i tusental \( 1900\, \) \( 5\,130 \) \( 1910\, \) \( 5\,406 \) \( 1920\, \) \( 5\,832 \) \( 1930\, \) \( 6\,298 \) \( 1940\, \) \( 6\,645 \) \( 1950\, \) \( 7\,016 \) \( 1960\, \) \( 7\,495 \) \( 1970\, \) \( 8\,126 \) \( 1980\, \) \( 8\,217 \) \( 1990\, \) \( 8\,654 \) \( 2000\, \) \( 8\,983 \)
Tabellen ovan definierar en funktion \( y \, = \, f(x) \; \) där:
- \[ x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \]
- \[ y =\, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;tusental} \]
Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år
a) \( 1900\, \)
b) \( 1950\, \)
c) \( 2000\, \)
Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet.
d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga
tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren \( 1900-2000 \) (hela tabellen).
Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen \( f(x)\, \)?
C-övningar: 5-6
Övning 5
Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen
- \[ N(t) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-t}} \]
där
- \[ t \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \]
- \[ N \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} \]
a) Kan \( N(t)\, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
b) Ange bakteriernas tillväxthastighet efter \( \, 7 \, \) minuter.
Övning 6
Fibonaccis funktion är given i följande tabell:
Antal månader \( \, n \, \) Antal kaninpar \( \, F(n) \, \) \( 1 \) \( 1\, \) \( 2 \) \( 1\, \) \( 3 \) \( 2\, \) \( 4 \) \( 3\, \) \( 5 \) \( 5\, \) \( 6 \) \( 8\, \) \( 7 \) \( 13\, \) \( 8 \) \( 21\, \) \( 9 \) \( 34\, \) \( 10 \) \( 55\, \) \( 11 \) \( 89\, \) \( 12 \) \( 144\, \)
Välj lämplig numerisk deriveringsformel för att så noggrant som möjligt beräkna:
a) \( \, F\,'(8) \, \)
b) \( \, F\,'(12) \, \)
Motivera ditt val av deriveringsformel.
A-övningar: 7
Övning 7
Fibonaccis funktion är definierad genom följande explicit formel:
- \[ F(n) \, = \, {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
a) Kan \( \, F(n) \, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
- Om svaret är ja, ange \( \, F\,'(n) \). Om svaret är nej, förklara varför?
b) Beräkna \( \, F\,'(12) \, \) så noggrant som möjligt.
c) Jämför resultatet från b) med svaret i övning 6 b) där också \( \, F\,'(12) \, \) beräknades.
- Förklara den stora skillnaden. Vilket resultat kan man lita mer på och varför?
Copyright © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
