Skillnad mellan versioner av "2.3 Övningar till Gränsvärde"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
| − | <Big><Big><Big><span style="color:# | + | <Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-5</span></Big></Big></Big> |
| Rad 17: | Rad 17: | ||
Bestäm | Bestäm | ||
| − | a) <math> \displaystyle | + | a) <math> \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {(x - 8)} </math> |
| − | b) <math> \displaystyle | + | b) <math> \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {(2\,x)} </math> |
| − | c) <math> \displaystyle | + | c) <math> \displaystyle \lim_{x \to 7}\,\, {5 \over x} </math> |
| − | d) <math> \displaystyle | + | d) <math> \displaystyle \lim_{x \to -3}\, {(4\,x - 10)} </math> |
| − | e) <math> \displaystyle | + | e) <math> \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {(x^2 - 4\,x + 12)} </math> |
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.3a Svar 1a|Lösning 1a|2.3a Lösning 1a|Svar 1b|2.3a Svar 1b|Lösning 1b|2.3a Lösning 1b|Svar 1c|2.3a Svar 1c|Lösning 1c|2.3a Lösning 1c|Svar 1d|2.3a Svar 1d|Lösning 1d|2.3a Lösning 1d|Svar 1e|2.3a Svar 1e|Lösning 1e|2.3a Lösning 1e}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.3a Svar 1a|Lösning 1a|2.3a Lösning 1a|Svar 1b|2.3a Svar 1b|Lösning 1b|2.3a Lösning 1b|Svar 1c|2.3a Svar 1c|Lösning 1c|2.3a Lösning 1c|Svar 1d|2.3a Svar 1d|Lösning 1d|2.3a Lösning 1d|Svar 1e|2.3a Svar 1e|Lösning 1e|2.3a Lösning 1e}}</div> | ||
| Rad 37: | Rad 37: | ||
Beräkna | Beräkna | ||
| − | a) <math> \displaystyle | + | a) <math> \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x\,+\,3 \over x\,+\,2} </math> |
| − | b) <math> \displaystyle | + | b) <math> \displaystyle \lim_{x \to 2}\,\, {2\,(x^2 + 1) \over x} </math> |
| − | c) <math> \displaystyle | + | c) <math> \displaystyle \lim_{x \to 0}\,\, {x^2 - 9\,x \over x} </math> |
| − | d) <math> \displaystyle | + | d) <math> \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {-7 \over x} </math> |
| − | e) <math> \displaystyle | + | e) <math> \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {3\,x\,+\,4 \over x} </math> |
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.3a Svar 2a|Lösning 2a|2.3a Lösning 2a|Svar 2b|2.3a Svar 2b|Lösning 2b|2.3a Lösning 2b|Svar 2c|2.3a Svar 2c|Lösning 2c|2.3a Lösning 2c|Svar 2d|2.3a Svar 2d|Lösning 2d|2.3a Lösning 2d|Svar 2e|2.3a Svar 2e|Lösning 2e|2.3a Lösning 2e}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.3a Svar 2a|Lösning 2a|2.3a Lösning 2a|Svar 2b|2.3a Svar 2b|Lösning 2b|2.3a Lösning 2b|Svar 2c|2.3a Svar 2c|Lösning 2c|2.3a Lösning 2c|Svar 2d|2.3a Svar 2d|Lösning 2d|2.3a Lösning 2d|Svar 2e|2.3a Svar 2e|Lösning 2e|2.3a Lösning 2e}}</div> | ||
| Rad 75: | Rad 75: | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| − | Betrakta funktionen <math> \displaystyle | + | Betrakta funktionen <math> \displaystyle \; y = f(x) = {12 \over x - 3} </math>. |
a) Rita grafen till <math> \displaystyle f(x) </math>. | a) Rita grafen till <math> \displaystyle f(x) </math>. | ||
| − | b) Existerar gränsvärdet <math> \displaystyle | + | b) Existerar gränsvärdet <math> \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, f(x) \; </math>? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det. |
| − | c) Ange <math> \displaystyle | + | c) Ange <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{+}} f(x) \; </math> och <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{-}} f(x) </math>. Motivera. |
| − | d) Existerar gränsvärdet <math> \displaystyle | + | d) Existerar gränsvärdet <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, f(x) \; </math>? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det. |
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning 4a|2.3a Lösning 4a|Svar 4b|2.3a Svar 4b|Lösning 4b|2.3a Lösning 4b|Svar 4c|2.3a Svar 4d|Lösning 4c|2.3a Lösning 4d|Svar 4d|2.3a Svar 4c|Lösning 4d|2.3a Lösning 4c}} | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning 4a|2.3a Lösning 4a|Svar 4b|2.3a Svar 4b|Lösning 4b|2.3a Lösning 4b|Svar 4c|2.3a Svar 4d|Lösning 4c|2.3a Lösning 4d|Svar 4d|2.3a Svar 4c|Lösning 4d|2.3a Lösning 4c}} | ||
| Rad 90: | Rad 90: | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| − | Betrakta funktionen <math> \displaystyle | + | Betrakta funktionen <math> \displaystyle \; y = f(x) = {x^2\,-\,16 \over x\,-\,4} </math>. |
| − | a) Existerar gränsvärdet <math> \displaystyle | + | a) Existerar gränsvärdet <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 4}\,\, f(x) \; </math>? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det. |
b) Rita grafen till <math> \displaystyle f(x) </math>. Svara med hjälp av ditt svar från a) på följande frågor: | b) Rita grafen till <math> \displaystyle f(x) </math>. Svara med hjälp av ditt svar från a) på följande frågor: | ||
| Rad 109: | Rad 109: | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| − | a) Beräkna <math> \displaystyle | + | a) Beräkna <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, {x^2\,-\,9 \over 7\,x\,-\,21} </math> |
| − | b) Bestäm <math> \displaystyle | + | b) Bestäm <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 2}\,\, {x^2\,-\,5\,x\,+\,6 \over x\,-\,2} </math> |
| − | c) Beräkna <math> \displaystyle | + | c) Beräkna <math> \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x^2\,-\,2\,x\,+\,3 \over 2\,x^2\,+\,5\,x\,-\,3} </math> |
| − | d) Bestäm <math> \displaystyle | + | d) Bestäm <math> \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x\,+\,1 \over x^2\,+\,1} </math> |
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.3b Svar 6a|Lösning 6a|2.3a Lösning 6a|Svar 6b|2.3b Svar 6b|Lösning 6b|2.3a Lösning 6b|Svar 6c|2.3b Svar 6c|Lösning 6c|2.3a Lösning 6c|Svar 6d|2.3b Svar 6d|Lösning 6d|2.3a Lösning 6d}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.3b Svar 6a|Lösning 6a|2.3a Lösning 6a|Svar 6b|2.3b Svar 6b|Lösning 6b|2.3a Lösning 6b|Svar 6c|2.3b Svar 6c|Lösning 6c|2.3a Lösning 6c|Svar 6d|2.3b Svar 6d|Lösning 6d|2.3a Lösning 6d}} | ||
| Rad 124: | Rad 124: | ||
<!-- <div class="ovning"> --> | <!-- <div class="ovning"> --> | ||
<!-- Bestäm de följande gränsvärdena: --> | <!-- Bestäm de följande gränsvärdena: --> | ||
| − | <!-- a) <math> \displaystyle | + | <!-- a) <math> \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {5\,x\,+\,3 \over 2\,x\,-\,7} </math> --> |
| − | <!-- b) <math> \displaystyle | + | <!-- b) <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, {x^2 - 7\,x + 12 \over x - 3} </math> --> |
| − | <!-- c) <math> \displaystyle | + | <!-- c) <math> \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {2\,x^2\,+\,4\,x\,-\,3 \over 5\,x^2\,-\,6\,x\,+\,1} </math> --> |
<!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|2.3a Svar 7a|Lösning 7a|2.3a Lösning 7a|Svar 7b|2.3a Svar 7b|Lösning 7b|2.3a Lösning 7b|Svar 7c|2.3a Svar 7c|Lösning 7c|2.3a Lösning 7c}} --> | <!-- </div>{{#NAVCONTENT:Svar 7a|2.3a Svar 7a|Lösning 7a|2.3a Lösning 7a|Svar 7b|2.3a Svar 7b|Lösning 7b|2.3a Lösning 7b|Svar 7c|2.3a Svar 7c|Lösning 7c|2.3a Lösning 7c}} --> | ||
== Övning 7 == | == Övning 7 == | ||
| Rad 192: | Rad 192: | ||
<b>Ledning:</b> Börja med att förlänga uttrycket i limes med konjugatet och fortsätt sedan att förenkla det. | <b>Ledning:</b> Börja med att förlänga uttrycket i limes med konjugatet och fortsätt sedan att förenkla det. | ||
| − | <strong><span style="color:red">Konjugatet</span></strong> till <math> | + | <strong><span style="color:red">Konjugatet</span></strong> till <math> \; a + \sqrt{b} \; </math> är <math> \; a - \sqrt{b} \; </math> och omvänt. |
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 11|2.3a Svar 11a|Lösning 11|2.3a Lösning 11}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar 11|2.3a Svar 11a|Lösning 11|2.3a Lösning 11}} | ||
Versionen från 1 november 2015 kl. 13.24
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt --> |
E-övningar: 1-5
Övning 1
Bestäm
a) \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {(x - 8)} \)
b) \( \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {(2\,x)} \)
c) \( \displaystyle \lim_{x \to 7}\,\, {5 \over x} \)
d) \( \displaystyle \lim_{x \to -3}\, {(4\,x - 10)} \)
e) \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {(x^2 - 4\,x + 12)} \)
Hämtar...
Övning 2
Beräkna
a) \( \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x\,+\,3 \over x\,+\,2} \)
b) \( \displaystyle \lim_{x \to 2}\,\, {2\,(x^2 + 1) \over x} \)
c) \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\,\, {x^2 - 9\,x \over x} \)
d) \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {-7 \over x} \)
e) \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {3\,x\,+\,4 \over x} \)
Övning 3
En termos fylls med hett kaffe i ett rum inomhus. Kaffets temperatur minskar enligt följande modell:
- \[ y = f(x) = 21\,+\,74\cdot 0,86\,^x \]
där \( \, y \) är temperaturen i grader Celsius och \( \, x \) är tiden i timmar efter att kaffet hälldes i termosen.
a) Ange kaffets temperatur när det hälldes i termosen.
b) Rita grafen till funktionen \( y_1 = 0,86\,^x \). Använd grafen för att bestämma \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(0,86\,^x\right) \) .
c) Använd resultatet från b) för att beräkna \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(21\,+\,74\cdot 0,86\,^x\right) \) .
d) Hur borde resultatet från c) tolkas?
Övning 4
Betrakta funktionen \( \displaystyle \; y = f(x) = {12 \over x - 3} \).
a) Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \).
b) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, f(x) \; \)? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
c) Ange \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{+}} f(x) \; \) och \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{-}} f(x) \). Motivera.
d) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, f(x) \; \)? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
Övning 5
Betrakta funktionen \( \displaystyle \; y = f(x) = {x^2\,-\,16 \over x\,-\,4} \).
a) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle \; \lim_{x \to 4}\,\, f(x) \; \)? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
b) Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \). Svara med hjälp av ditt svar från a) på följande frågor:
- Varför är grafen en rät linje fast \( f(x) \, \) inte är en linjär funktion?
- Vad händer med grafen i punkten \( x = 4\, \)?
C-övningar: 6-8
Övning 6
a) Beräkna \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, {x^2\,-\,9 \over 7\,x\,-\,21} \)
b) Bestäm \( \displaystyle \; \lim_{x \to 2}\,\, {x^2\,-\,5\,x\,+\,6 \over x\,-\,2} \)
c) Beräkna \( \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x^2\,-\,2\,x\,+\,3 \over 2\,x^2\,+\,5\,x\,-\,3} \)
d) Bestäm \( \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x\,+\,1 \over x^2\,+\,1} \)
Övning 7
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = x^3 \]
a) Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) \) och förenkla.
b) Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) - f(x) \) och förenkla.
c) Bilda uttrycket \( \displaystyle {f(x+h) - f(x) \over h} \) och förenkla.
d) Bestäm \( \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \) .
- Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.
Övning 8
Ange ett exempel på en funktion \( f(x) \) som inte är definierad för \( x = -2 \, \) och som har egenskapen:
- \[ \lim_{x \to -2}\,\,f(x) = 3 \]
Verifiera din lösning genom att göra en prövning.
A-övningar: 9-11
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {1 \over x} \]
Bestäm
- \[ \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \]
Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.
Övning 10
Beräkna gränsvärdet
- \[ \lim_{x \to 1}\,\,{x^3\,-\,1 \over x^2\,-\,6\,x\,+\,5} \]
Ledning: Faktorisera uttryckets täljare och nämnare och förkorta det.
Övning 11
Beräkna gränsvärdet
- \[ \lim_{x \to \infty}\,\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) \]
Ledning: Börja med att förlänga uttrycket i limes med konjugatet och fortsätt sedan att förenkla det.
Konjugatet till \( \; a + \sqrt{b} \; \) är \( \; a - \sqrt{b} \; \) och omvänt.
Copyright © 2011-2015 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
