Skillnad mellan versioner av "2.3 Övningar till Gränsvärde"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
| + | == <b>Övning 1</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Bestäm | Bestäm | ||
| Rad 33: | Rad 33: | ||
| + | == <b>Övning 2</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Beräkna | Beräkna | ||
| Rad 53: | Rad 53: | ||
| + | == <b>Övning 3</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
En termos fylls med hett kaffe i ett rum inomhus. Kaffets temperatur minskar enligt följande modell: | En termos fylls med hett kaffe i ett rum inomhus. Kaffets temperatur minskar enligt följande modell: | ||
| Rad 71: | Rad 71: | ||
| + | == <b>Övning 4</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Betrakta funktionen <math> \qquad \displaystyle \; y = f(x) = {12 \over x - 3} </math> | Betrakta funktionen <math> \qquad \displaystyle \; y = f(x) = {12 \over x - 3} </math> | ||
| Rad 87: | Rad 87: | ||
| + | == <b>Övning 5</b> == | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | |||
Betrakta funktionen <math> \qquad \displaystyle \; y = f(x) = {x^2\,-\,16 \over x\,-\,4} </math> | Betrakta funktionen <math> \qquad \displaystyle \; y = f(x) = {x^2\,-\,16 \over x\,-\,4} </math> | ||
| Rad 106: | Rad 106: | ||
| + | == <b>Övning 6</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
a) Beräkna <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, {x^2\,-\,9 \over 7\,x\,-\,21} </math> | a) Beräkna <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, {x^2\,-\,9 \over 7\,x\,-\,21} </math> | ||
| Rad 128: | Rad 128: | ||
| + | == <b>Övning 7</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 146: | Rad 146: | ||
| + | == <b>Övning 8</b> == | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | |||
Ange ett exempel på en funktion <math> f(x) </math> som inte är definierad för <math> x = -2 \, </math> och som har egenskapen: | Ange ett exempel på en funktion <math> f(x) </math> som inte är definierad för <math> x = -2 \, </math> och som har egenskapen: | ||
| Rad 161: | Rad 161: | ||
| + | == <b>Övning 9</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 175: | Rad 175: | ||
| + | == <b>Övning 10</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Beräkna gränsvärdet | Beräkna gränsvärdet | ||
| Rad 185: | Rad 185: | ||
| + | == <b>Övning 11</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | |||
Beräkna gränsvärdet | Beräkna gränsvärdet | ||
| Rad 203: | Rad 203: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved. |
Versionen från 1 december 2016 kl. 16.53
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
E-övningar: 1-5
Övning 1
Bestäm
a) \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {(x - 8)} \)
b) \( \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {(2\,x)} \)
c) \( \displaystyle \lim_{x \to 7}\,\, {5 \over x} \)
d) \( \displaystyle \lim_{x \to -3}\, {(4\,x - 10)} \)
e) \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {(x^2 - 4\,x + 12)} \)
Hämtar...
Övning 2
Beräkna
a) \( \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x\,+\,3 \over x\,+\,2} \)
b) \( \displaystyle \lim_{x \to 2}\,\, {2\,(x^2 + 1) \over x} \)
c) \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\,\, {x^2 - 9\,x \over x} \)
d) \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {-7 \over x} \)
e) \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {3\,x\,+\,4 \over x} \)
Övning 3
En termos fylls med hett kaffe i ett rum inomhus. Kaffets temperatur minskar enligt följande modell:
- \[ y = f(x) = 21\,+\,74\cdot 0,86\,^x \]
där \( \, y \) är temperaturen i grader Celsius och \( \, x \) är tiden i timmar efter att kaffet hälldes i termosen.
a) Ange kaffets temperatur när det hälldes i termosen.
b) Rita grafen till funktionen \( y_1 = 0,86\,^x \). Använd grafen för att bestämma \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(0,86\,^x\right) \) .
c) Använd resultatet från b) för att beräkna \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(21\,+\,74\cdot 0,86\,^x\right) \) .
d) Hur borde resultatet från c) tolkas?
Övning 4
Betrakta funktionen \( \qquad \displaystyle \; y = f(x) = {12 \over x - 3} \)
a) Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \).
b) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, f(x) \; \)? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
c) Ange \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{+}} f(x) \; \) och \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{-}} f(x) \) och motivera.
\( \quad\;\; x \to 3^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 3 \) från höger och \( x \to 3^- \) att närma sig \( \, x = 3 \) från vänster.
d) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, f(x) \; \)? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
Övning 5
Betrakta funktionen \( \qquad \displaystyle \; y = f(x) = {x^2\,-\,16 \over x\,-\,4} \)
a) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle \; \lim_{x \to 4}\,\, f(x) \; \)? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
b) Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \). Svara med hjälp av ditt svar från a) på följande frågor:
- Varför är grafen en rät linje fast \( f(x) \, \) inte är en linjär funktion?
- Vad händer med grafen i punkten \( x = 4\, \)?
C-övningar: 6-8
Övning 6
a) Beräkna \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, {x^2\,-\,9 \over 7\,x\,-\,21} \)
b) Bestäm \( \displaystyle \; \lim_{x \to 2}\,\, {x^2\,-\,5\,x\,+\,6 \over x\,-\,2} \)
c) Beräkna \( \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x^2\,-\,2\,x\,+\,3 \over 2\,x^2\,+\,5\,x\,-\,3} \)
d) Bestäm \( \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x\,+\,1 \over x^2\,+\,1} \)
Övning 7
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = x^3 \]
a) Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) \) och förenkla.
b) Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) - f(x) \) och förenkla.
c) Bilda uttrycket \( \displaystyle {f(x+h) - f(x) \over h} \) och förenkla.
d) Bestäm \( \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \) .
- Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.
Övning 8
Ange ett exempel på en funktion \( f(x) \) som inte är definierad för \( x = -2 \, \) och som har egenskapen:
- \[ \lim_{x \to -2}\,\,f(x) = 3 \]
Verifiera din lösning genom att göra en prövning.
A-övningar: 9-11
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {1 \over x} \]
Bestäm
- \[ \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \]
Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.
Övning 10
Beräkna gränsvärdet
- \[ \lim_{x \to 1}\,\,{x^3\,-\,1 \over x^2\,-\,6\,x\,+\,5} \]
Ledning: Faktorisera uttryckets täljare och nämnare och förkorta det.
Övning 11
Beräkna gränsvärdet
- \[ \lim_{x \to \infty}\,\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) \]
Ledning: Börja med att förlänga uttrycket i limes med konjugatet och fortsätt sedan att förenkla det.
Konjugatet till \( \; a + \sqrt{b} \; \) är \( \; a - \sqrt{b} \; \) och omvänt.
Copyright © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
