Skillnad mellan versioner av "2.4 Övningar till Derivatans definition"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 5)
m
 
(65 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition: Från sekanten till tangenten|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[2.4 Övningar till Derivatans definition|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[2.4 Övningar till Derivatans definition|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
__NOTOC__
 
−
== E-övningar: 1-4 ==
 
  
−
== Övning 1 ==
+
<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>
−
<div class="ovning">
+
 
 +
 
 +
== <b>Övning 1</b> ==
 +
<div class="ovnE">
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
−
:<math> y = f(x) = 6\,x </math>
+
::<math> y = f(x) = 6\,x </math>
  
−
a) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> 1 \leq x \,\leq\, 5 </math>.
+
a) &nbsp; Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> 1 \leq x \,\leq\, 5 </math>.
  
−
b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> 2 \leq x \,\leq\, 4 </math>.
+
b) &nbsp; Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> 2 \leq x \,\leq\, 4 </math>.
  
−
c) Ställ upp ett uttryck för <math> f(3+h)\, </math> genom att sätta in <math> 3+h\, </math> för <math> x\,</math> i funktionen <math> f(x) = 6\,x </math>.
+
c) &nbsp; Ställ upp ett uttryck för <math> f(3+h)\, </math> genom att sätta in <math> 3+h\, </math> för <math> x\,</math> i funktionen <math> f(x) = 6\,x </math>.
  
−
d) Beräkna med hjälp av derivatans definition <math> f\,'(3) </math> dvs funktionens exakta derivata i punkten <math> x = 3\, </math>.
+
d) &nbsp; Beräkna med hjälp av derivatans definition <math> f\,'(3) </math> dvs funktionens exakta derivata i punkten <math> x = 3\, </math>.
  
−
e) Jämför resultaten i a), b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.
+
e) &nbsp; Jämför resultaten i a), b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.3 Svar 2a|Lösning 1a|2.3 Lösning 2a|Svar 1b|2.3 Svar 2b|Lösning 1b|2.3 Lösning 2b|Svar 1c|2.3 Svar 2c|Lösning 1c|2.3 Lösning 2c|Svar 1d|2.3 Svar 2d|Lösning 1d|2.3 Lösning 2d|Svar 1e|2.3 Svar 2e}}</div>
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.3 Svar 2a|Lösning 1a|2.3 Lösning 2a|Svar 1b|2.3 Svar 2b|Lösning 1b|2.3 Lösning 2b|Svar 1c|2.3 Svar 2c|Lösning 1c|2.3 Lösning 2c|Svar 1d|2.3 Svar 2d|Lösning 1d|2.3 Lösning 2d|Svar 1e|2.3 Svar 2e}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.3 Svar 2a|Svar 1a]] | [[2.3 Lösning 2a|Lösning 1a]] | [[2.3 Svar 2b|Svar 1b]] | [[2.3 Lösning 2b|Lösning 1b]] | [[2.3 Svar 2c|Svar 1c]] | [[2.3 Lösning 2c|Lösning 1c]] | [[2.3 Svar 2d|Svar 1d]] | [[2.3 Lösning 2d|Lösning 1d]] | [[2.3 Svar 2e|Svar 1e]]</small></small> -->
 
  
−
== Övning 2 ==
+
== <b>Övning 2</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen
 
Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen
  
 
::::::<math> y = f(x) = 5\;x^2 </math>
 
::::::<math> y = f(x) = 5\;x^2 </math>
  
−
där <math> {\color{White} x} \quad \!\!  x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} </math>
+
där <math> \quad \, x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} </math>
  
 
:::<math> y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} </math>
 
:::<math> y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} </math>
  
−
a) Ställ upp ett uttryck för <math> f(1+h)\, </math> genom att sätta in <math> 1+h\, </math> för <math> x\,</math> i funktionen <math> f(x) = 5\,x^2 </math>.
+
a) &nbsp; Ställ upp ett uttryck för <math> f(1+h)\, </math> genom att sätta in <math> 1+h\, </math> för <math> x\,</math> i funktionen <math> f(x) = 5\,x^2 </math>.
  
−
b) Beräkna med hjälp av derivatans definition <math> f\,'(1) </math>. Tolka resultatet.
+
b) &nbsp; Beräkna med hjälp av derivatans definition <math> f\,'(1) </math>. Tolka resultatet.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.3 Svar 3a|Lösning 2a|2.3 Lösning 3a|Svar 2b|2.3 Svar 3b|Lösning 2b|2.3 Lösning 3b}}</div>
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.3 Svar 3a|Lösning 2a|2.3 Lösning 3a|Svar 2b|2.3 Svar 3b|Lösning 2b|2.3 Lösning 3b}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.3 Svar 3a|Svar 2a]] | [[2.3 Lösning 3a|Lösning 2a]] | [[2.3 Svar 3b|Svar 2b]] | [[2.3 Lösning 3b|Lösning 2b]] </small></small> -->
 
  
−
== Övning 3 ==
+
== <b>Övning 3</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen
 
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen
  
 
:::::::<math> y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 </math>
 
:::::::<math> y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 </math>
  
−
där <math> {\color{White} x} \quad \!\!  x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900\;(början)} </math>
+
där <math> \quad \, x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900\;(början)} </math>
  
 
:::<math> y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} </math>
 
:::<math> y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} </math>
  
−
a) Med hur många människor per år växte Sveriges befolkning år 1910 (slutet)?
+
a) &nbsp; Med hur många människor per år växte Sveriges befolkning år 1910 (slutet)?
  
−
b) Svara utan att räkna: Med hur många människor per år växer Sveriges befolkning idag om modellen ovan fortfarande gällde?
+
b) &nbsp; Med hur många människor per år växer Sveriges befolkning i slutet av 2014 om modellen ovan fortfarande gällde?
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.3 Svar 4a|Lösning 3a|2.3 Lösning 4a|Svar 3b|2.3 Svar 4b|Lösning 3b|2.3 Lösning 4b}}</div>
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.3 Svar 4a|Lösning 3a|2.3 Lösning 4a|Svar 3b|2.3 Svar 4b|Lösning 3b|2.3 Lösning 3b}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.3 Svar 4a|Svar 3a]] | [[2.3 Lösning 4a|Lösning 3a]] | [[2.3 Svar 4b|Svar 3b]] | [[2.3 Lösning 4b|Lösning 3b]]</small></small> -->
 
  
−
== Övning 4 ==
+
== <b>Övning 4</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Följande funktion är given:
 
Följande funktion är given:
  
−
:<math> y = f(x) = 4\, </math>
+
:::<math> y = f(x) = 4\, </math>
  
 
Dvs funktionens värde för <u>alla</u> <math> x\, </math> är <math> 4\, </math>.
 
Dvs funktionens värde för <u>alla</u> <math> x\, </math> är <math> 4\, </math>.
  
−
a) Rita grafen till funktionen.
+
a) &nbsp; Rita grafen till funktionen.
  
−
b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> 0 \leq x \,\leq\, 2 </math>.
+
b) &nbsp; Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> 0 \leq x \,\leq\, 2 </math>.
  
−
c) Vad blir <math> f(1+h)\, </math> ?
+
c) &nbsp; Vad blir <math> f(1+h)\, </math> ?
  
−
d) Beräkna med hjälp av derivatans definition <math> f\,'(1) </math> dvs funktionens exakta derivata i punkten <math> x = 1\, </math>.
+
d) &nbsp; Beräkna med hjälp av derivatans definition <math> f\,'(1) </math> dvs funktionens exakta derivata i punkten <math> x = 1\, </math>.
  
−
e) Jämför resultaten i b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.
+
e) &nbsp; Jämför resultaten i b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.3 Svar 1a|Svar 4b|2.3 Svar 1b|Lösning 4b|2.3 Lösning 1b|Svar 4c|2.3 Svar 1c|Lösning 4c|2.3 Lösning 1c|Svar 4d|2.3 Svar 1d|Lösning 4d|2.3 Lösning 1d|Svar 4e|2.3 Svar 1e}}</div>
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.3 Svar 1a|Svar 4b|2.3 Svar 1b|Lösning 4b|2.3 Lösning 1b|Svar 4c|2.3 Svar 1c|Lösning 4c|2.3 Lösning 1c|Svar 4d|2.3 Svar 1d|Lösning 4d|2.3 Lösning 1d|Svar 4e|2.3 Svar 1e}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.3 Svar 1a|Svar 4a]] | [[2.3 Svar 1b|Svar 4b]] | [[2.3 Lösning 1b|Lösning 4b]] | [[2.3 Svar 1c|Svar 4c]] | [[2.3 Lösning 1c|Lösning 4c]] | [[2.3 Svar 1d|Svar 4d]] | [[2.3 Lösning 1d|Lösning 4d]] | [[2.3 Svar 1e|Svar 4e]]</small></small> -->
 
  
−
== C-övningar: 5-6 ==
 
  
−
== Övning 5 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
I [[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet#Exempel_2|förra avsnitt, Exempel 2]] i Teori-delen betraktade vi följande problem:
 
  
−
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
+
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
  
−
:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
 
−
där <math> {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
 
  
−
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
+
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 +
Bestäm med derivatans definition derivatan till funktionen
  
−
a) Beräkna oljans utströmningshastighet vid tiden <math> x = 25\, </math>.
+
::<math> y \, = \, f(x) = \, x^2 \quad {\rm i\;punkten} \quad x \, = \, a </math>  
  
−
b) Efter hur många minuter läcker oljan med <math> 300\, </math> liter per minut?
+
Förenkla uttrycket i <math> a\, </math> så långt som möjligt.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 5|2.3 Svar 7|Lösning 5|2.3 Lösning 7}}</div>
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.3 Svar 5a|Lösning 5a|2.3 Lösning 5a|Svar 5b|2.3 Svar 5b|Lösning 5b|2.3 Lösning 5b}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.3 Svar 5a|Svar 5a]] | [[2.3 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[2.3 Svar 5b|Svar 5b]] | [[2.3 Lösning 5b|Lösning 5b]]</small></small> -->
 
  
−
== Övning 6 ==
+
== <b>Övning 6</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnC">
−
a) Beräkna med derivatans definition derivatan till parabeln
+
a) &nbsp; Beräkna med hjälp av derivatans definition derivatan till parabeln
  
−
::<math> y \, = \, x^2 </math>  
+
::<math> y \, = \, f(x) = \, x^2 \quad {\rm i\;punkten} \quad x \, = \, -3 </math>  
  
−
i punkten
+
b) &nbsp; Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i samma punkt.
  
−
::<math> x \, = \, -3 </math>  
+
c) &nbsp; Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.3 Svar 6a|Lösning 6a|2.3 Lösning 6a|Svar 6b|2.3 Svar 6b|Lösning 6b|2.3 Lösning 6b|Lösning 6c|2.3 Lösning 6c}}</div>
  
−
b) Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i samma punkt.
 
  
−
c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.
 
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.3 Svar 6a|Lösning 6a|2.3 Lösning 6a|Svar 6b|2.3 Svar 6b|Lösning 6b|2.3 Lösning 6b|Svar 6c|2.3 Svar 6c|Lösning 6c|2.3 Lösning 6c}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.3 Svar 6a|Svar 6a]] | [[2.3 Lösning 6a|Lösning 6a]] | [[2.3 Svar 6b|Svar 6b]] | [[2.3 Lösning 6b|Lösning 6b]] | [[2.3 Svar 6c|Svar 6c]] | [[2.3 Lösning 6c|Lösning 6c]]</small></small> -->
 
  
−
== A-övningar: 7-8 ==
+
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
  
−
== Övning 7 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Bestäm med derivatans definition derivatan till funktionen
 
  
−
::<math> y \, = \, x^2 </math>
+
== <b>Övning 7</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
I [[2.4_Derivatans_definition#Exempel_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel Oljetank</span></strong>]] betraktade vi följande problem:
  
−
i punkten
+
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
  
−
::<math> x = a\, </math>.
+
:::<math> y \, = \, f(x) = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
 +
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
  
−
Förenkla uttrycket i <math> a\, </math> så långt som möjligt.
+
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 7|2.3 Svar 7|Lösning 7|2.3 Lösning 7}}
+
a) &nbsp; Beräkna med hjälp av derivatans definition oljans utströmningshastighet vid tiden <math> x = 25\, </math>.
−
<!-- Alternativt:
+
−
:<small><small>[[2.3 Svar 7|Svar 7]] | [[2.3 Lösning 7|Lösning 7]]</small></small> -->
+
  
−
== Övning 8 ==
+
b) &nbsp; Efter hur många minuter läcker oljan med <math> 300\, </math> liter per minut?
−
<div class="ovning">
+
−
Följande funktion är given:
+
  
−
::<math> y = 3\,x^2 - 2\,x - 4 </math>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Använd utströmningsfunktionens derivata som funktion från [[2.4_Derivatans_definition#Exempel_Oljetank_.28utvidgat.29|<strong><span style="color:blue">Exempel Oljetank (utvidgat)</span></strong>]].
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|2.3 Svar 5a|Lösning 7a|2.3 Lösning 5a|Svar 7b|2.3 Svar 5b|Lösning 7b|2.3 Lösning 5b}}</div>
  
−
a) Rita funktionens graf.
 
  
−
b) Beräkna med derivatans definition funktionens derivata i punkten <math> x = 1\, </math>.
+
== <b>Övning 8</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
Följande funktion är given:
  
−
c) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan <math> y\, </math> i samma punkt.
+
::<math> y \, = \, f(x) = \, 3\,x^2 - 2\,x - 4 </math>
  
−
d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem.
+
a) &nbsp; Beräkna med derivatans definition funktionens derivata i punkten <math> x = 1\, </math>. Tolka resultatet geometriskt.
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 8a|2.3 Svar 8a|Svar 8b|2.3 Svar 8b|Lösning 8b|2.3 Lösning 8b|Svar 8c|2.3 Svar 8c|Lösning 8c|2.3 Lösning 8c|Svar 8d|2.3 Svar 8d|Lösning 8d|2.3 Lösning 8d}}
+
b) &nbsp; Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan <math> y = f(x)\, </math> i samma punkt.
−
<!-- Alternativt:
+
−
:<small><small>[[2.3 Svar 8a|Svar 8a]] | [[2.3 Svar 8b|Svar 8b]] | [[2.3 Lösning 8b|Lösning 8b]] | [[2.3 Svar 8c|Svar 8c]] | [[2.3 Lösning 8c|Lösning 8c]] | [[2.3 Svar 8d|Svar 8d]] | [[2.3 Lösning 8d|Lösning 8d]]</small></small> -->
+
  
 +
c) &nbsp; Rita funktionens och tangentens graf i samma koordinatsystem.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|2.3 Svar 8a|Lösning 8a|2.3 Lösning 8a|Svar 8b|2.3 Svar 8b|Lösning 8b|2.3 Lösning 8b|Lösning 8c|2.3 Lösning 8c}}</div>
  
  
 +
<!--
 
= Facit =
 
= Facit =
  
Rad 239: Rad 224:
 
== 8b ==
 
== 8b ==
 
<math> 4\, </math>
 
<math> 4\, </math>
 +
-->
 +
 +
  
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 13 maj 2019 kl. 11.09

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


E-övningar: 1-4


Övning 1

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = 6\,x \]

a)   Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 1 \leq x \,\leq\, 5 \).

b)   Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 4 \).

c)   Ställ upp ett uttryck för \( f(3+h)\, \) genom att sätta in \( 3+h\, \) för \( x\,\) i funktionen \( f(x) = 6\,x \).

d)   Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(3) \) dvs funktionens exakta derivata i punkten \( x = 3\, \).

e)   Jämför resultaten i a), b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.

Svar 1a
2.3 Svar 2a
Lösning 1a
2.3 Lösning 2a
Svar 1b
2.3 Svar 2b
Lösning 1b
2.3 Lösning 2b
Svar 1c
2.3 Svar 2c
Lösning 1c
2.3 Lösning 2c
Svar 1d
2.3 Svar 2d
Lösning 1d
2.3 Lösning 2d
Svar 1e
2.3 Svar 2e


Övning 2

Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen

\[ y = f(x) = 5\;x^2 \]

där \( \quad \, x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} \)

\[ y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} \]

a)   Ställ upp ett uttryck för \( f(1+h)\, \) genom att sätta in \( 1+h\, \) för \( x\,\) i funktionen \( f(x) = 5\,x^2 \).

b)   Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(1) \). Tolka resultatet.

Svar 2a
2.3 Svar 3a
Lösning 2a
2.3 Lösning 3a
Svar 2b
2.3 Svar 3b
Lösning 2b
2.3 Lösning 3b


Övning 3

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen

\[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]

där \( \quad \, x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900\;(början)} \)

\[ y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} \]

a)   Med hur många människor per år växte Sveriges befolkning år 1910 (slutet)?

b)   Med hur många människor per år växer Sveriges befolkning i slutet av 2014 om modellen ovan fortfarande gällde?

Svar 3a
2.3 Svar 4a
Lösning 3a
2.3 Lösning 4a
Svar 3b
2.3 Svar 4b
Lösning 3b
2.3 Lösning 4b


Övning 4

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = 4\, \]

Dvs funktionens värde för alla \( x\, \) är \( 4\, \).

a)   Rita grafen till funktionen.

b)   Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 0 \leq x \,\leq\, 2 \).

c)   Vad blir \( f(1+h)\, \) ?

d)   Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(1) \) dvs funktionens exakta derivata i punkten \( x = 1\, \).

e)   Jämför resultaten i b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.

Svar 4a
2.3 Svar 1a
Svar 4b
2.3 Svar 1b
Lösning 4b
2.3 Lösning 1b
Svar 4c
2.3 Svar 1c
Lösning 4c
2.3 Lösning 1c
Svar 4d
2.3 Svar 1d
Lösning 4d
2.3 Lösning 1d
Svar 4e
2.3 Svar 1e



C-övningar: 5-6


Övning 5

Bestäm med derivatans definition derivatan till funktionen

\[ y \, = \, f(x) = \, x^2 \quad {\rm i\;punkten} \quad x \, = \, a \]

Förenkla uttrycket i \( a\, \) så långt som möjligt.

Svar 5
2.3 Svar 7
Lösning 5
2.3 Lösning 7


Övning 6

a)   Beräkna med hjälp av derivatans definition derivatan till parabeln

\[ y \, = \, f(x) = \, x^2 \quad {\rm i\;punkten} \quad x \, = \, -3 \]

b)   Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i samma punkt.

c)   Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.

Svar 6a
2.3 Svar 6a
Lösning 6a
2.3 Lösning 6a
Svar 6b
2.3 Svar 6b
Lösning 6b
2.3 Lösning 6b
Lösning 6c
2.3 Lösning 6c



A-övningar: 7-8


Övning 7

I Exempel Oljetank betraktade vi följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f(x) = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a)   Beräkna med hjälp av derivatans definition oljans utströmningshastighet vid tiden \( x = 25\, \).

b)   Efter hur många minuter läcker oljan med \( 300\, \) liter per minut?

       Använd utströmningsfunktionens derivata som funktion från Exempel Oljetank (utvidgat).

Svar 7a
2.3 Svar 5a
Lösning 7a
2.3 Lösning 5a
Svar 7b
2.3 Svar 5b
Lösning 7b
2.3 Lösning 5b


Övning 8

Följande funktion är given:

\[ y \, = \, f(x) = \, 3\,x^2 - 2\,x - 4 \]

a)   Beräkna med derivatans definition funktionens derivata i punkten \( x = 1\, \). Tolka resultatet geometriskt.

b)   Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( y = f(x)\, \) i samma punkt.

c)   Rita funktionens och tangentens graf i samma koordinatsystem.

Svar 8a
2.3 Svar 8a
Lösning 8a
2.3 Lösning 8a
Svar 8b
2.3 Svar 8b
Lösning 8b
2.3 Lösning 8b
Lösning 8c
2.3 Lösning 8c




Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.4_Övningar_till_Derivatans_definition&oldid=36616"