Skillnad mellan versioner av "2.3 Övningar till Gränsvärde"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (12 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 75: | Rad 75: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | <Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 4-7</span></Big></Big></Big> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | == <b>Övning 4</b> == | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | == <b>Övning | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
a) Beräkna <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, {x^2\,-\,9 \over 7\,x\,-\,21} </math> | a) Beräkna <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, {x^2\,-\,9 \over 7\,x\,-\,21} </math> | ||
| Rad 132: | Rad 92: | ||
d) Bestäm <math> \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x\,+\,1 \over x^2\,+\,1} </math> | d) Bestäm <math> \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x\,+\,1 \over x^2\,+\,1} </math> | ||
| − | {{#NAVCONTENT:Svar | + | {{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.3b Svar 6a|Lösning 4a|2.3a Lösning 6a|Svar 4b|2.3b Svar 6b|Lösning 4b|2.3a Lösning 6b|Svar 4c|2.3b Svar 6c|Lösning 4c|2.3a Lösning 6c|Svar 4d|2.3b Svar 6d|Lösning 4d|2.3a Lösning 6d}}</div> |
<!-- == Övning 7 == --> | <!-- == Övning 7 == --> | ||
<!-- <div class="ovning"> --> | <!-- <div class="ovning"> --> | ||
| Rad 142: | Rad 102: | ||
| − | == <b>Övning | + | == <b>Övning 5</b> == |
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
Följande funktion är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad y = f(x) = x^3 </math> | Följande funktion är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad y = f(x) = x^3 </math> | ||
| Rad 155: | Rad 115: | ||
: Betrakta under gränsprocessen <math> \, x </math> som en konstant. | : Betrakta under gränsprocessen <math> \, x </math> som en konstant. | ||
| − | {{#NAVCONTENT:Svar | + | {{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.3a Svar 8a|Lösning 5a|2.3a Lösning 8a|Svar 5b|2.3a Svar 8b|Lösning 5b|2.3a Lösning 7b|Svar 5c|2.3a Svar 7c|Lösning 5c|2.3a Lösning 7c|Svar 5d|2.3a Svar 7d|Lösning 5d|2.3a Lösning 7d}}</div> |
| − | == <b>Övning | + | == <b>Övning 6</b> == |
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
Ange ett exempel på en funktion <math> f(x) </math> som | Ange ett exempel på en funktion <math> f(x) </math> som | ||
| Rad 166: | Rad 126: | ||
Verifiera din lösning genom att göra en kontroll. | Verifiera din lösning genom att göra en kontroll. | ||
| − | {{#NAVCONTENT:Svar | + | {{#NAVCONTENT:Svar 6|2.3a Svar 9|Lösning 6|2.3a Lösning 8}}</div> |
| + | == <b>Övning 7</b> == | ||
| + | <div class="ovnC"> | ||
| + | Betrakta funktionen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle \; y = f(x) = {12 \over x - 3} </math> | ||
| + | |||
| + | a) Rita grafen till <math> \displaystyle f(x) </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Existerar gränsvärdet <math> \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, f(x) \; </math>? | ||
| + | |||
| + | : Om ja beräkna det. Om nej, motivera det. | ||
| + | |||
| + | c) Ange <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{+}} f(x) \; </math> och <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{-}} f(x) </math> och motivera. | ||
| + | |||
| + | <math> \quad\;\; x \to 3^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 3 </math> från höger och | ||
| + | |||
| + | <math> \quad\;\; x \to 3^- </math> att närma sig <math> \, x = 3 </math> från vänster. | ||
| + | |||
| + | d) Existerar gränsvärdet <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, f(x) \; </math>? | ||
| + | |||
| + | : Om ja beräkna det. Om nej, motivera det. | ||
| + | {{#NAVCONTENT:Lösning 7a|2.3a Lösning 4a|Svar 7b|2.3a Svar 4b|Lösning 7b|2.3a Lösning 4b|Svar 7c|2.3a Svar 4d|Lösning 7c|2.3a Lösning 4d|Svar 7d|2.3a Svar 4c|Lösning 7d|2.3a Lösning 4c}}</div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 8-11</span></Big></Big></Big> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == <b>Övning 8</b> == | ||
| + | <div class="ovnA"> | ||
| + | Betrakta funktionen<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \displaystyle \; y = f(x) = {x^2\,-\,16 \over x\,-\,4} </math> | ||
| + | |||
| + | a) Existerar gränsvärdet <math> \displaystyle \; \lim_{x \to 4}\,\, f(x) \; </math>? | ||
| + | |||
| + | : Om ja beräkna det. Om nej, motivera det. | ||
| + | |||
| + | b) Rita grafen till <math> \displaystyle f(x) </math>. | ||
| + | |||
| + | : Svara med hjälp av ditt svar från a) på följande frågor: | ||
| + | : Varför är grafen en rät linje fast <math> f(x) \, </math> inte är en linjär funktion? | ||
| − | < | + | : Vad händer med grafen i punkten <math> x = 4\, </math>? |
| + | {{#NAVCONTENT:Svar 8a|2.3b Svar 5a|Lösning 8a|2.3a Lösning 5a|Lösning 8b|2.3a Lösning 5b}}</div> | ||
| Rad 178: | Rad 178: | ||
Följande funktion är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle y = f(x) = {1 \over x} </math> | Följande funktion är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle y = f(x) = {1 \over x} </math> | ||
| − | Bestäm<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} </math> | + | Bestäm<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} </math> |
Betrakta under gränsprocessen <math> \, x </math> som en konstant. | Betrakta under gränsprocessen <math> \, x </math> som en konstant. | ||
| Rad 186: | Rad 186: | ||
== <b>Övning 10</b> == | == <b>Övning 10</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | Beräkna gränsvärdet<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 1}\,\,{x^3\,-\,1 \over x^2\,-\,6\,x\,+\,5} </math> | + | Beräkna gränsvärdet<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \displaystyle \lim_{x \to 1}\,\,{x^3\,-\,1 \over x^2\,-\,6\,x\,+\,5} </math> |
<b>Ledning:</b> Faktorisera uttryckets täljare och nämnare och förkorta det. | <b>Ledning:</b> Faktorisera uttryckets täljare och nämnare och förkorta det. | ||
| Rad 194: | Rad 194: | ||
== <b>Övning 11</b> == | == <b>Övning 11</b> == | ||
<div class="ovnA"> | <div class="ovnA"> | ||
| − | Beräkna gränsvärdet<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\lim_{x \to \infty}\,\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) </math> | + | Beräkna gränsvärdet<span style="color:black">:</span> <math> \displaystyle \qquad \lim_{x \to \infty}\,\,\left(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,\right) </math> |
<b>Ledning:</b> Börja med att förlänga uttrycket i limes med konjugatet och fortsätt sedan att förenkla det. | <b>Ledning:</b> Börja med att förlänga uttrycket i limes med konjugatet och fortsätt sedan att förenkla det. | ||
| − | < | + | <b><span style="color:red">Konjugatet</span></b> till <math> \; a + \sqrt{b} \; </math> är <math> \; a - \sqrt{b} \; </math> och omvänt. |
{{#NAVCONTENT:Svar 11|2.3a Svar 11a|Lösning 11|2.3a Lösning 11}}</div> | {{#NAVCONTENT:Svar 11|2.3a Svar 11a|Lösning 11|2.3a Lösning 11}}</div> | ||
| Rad 210: | Rad 210: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 7 november 2018 kl. 12.59
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
E-övningar: 1-5
Övning 1
Bestäm
a) \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {(x - 8)} \)
b) \( \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {(2\,x)} \)
c) \( \displaystyle \lim_{x \to 7}\,\, {5 \over x} \)
d) \( \displaystyle \lim_{x \to -3}\, {(4\,x - 10)} \)
e) \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {(x^2 - 4\,x + 12)} \)
Hämtar...
Övning 2
Beräkna
a) \( \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x\,+\,3 \over x\,+\,2} \)
b) \( \displaystyle \lim_{x \to 2}\,\, {2\,(x^2 + 1) \over x} \)
c) \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\,\, {x^2 - 9\,x \over x} \)
d) \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {-7 \over x} \)
e) \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {3\,x\,+\,4 \over x} \)
Övning 3
En termos fylls med hett kaffe i ett rum inomhus.
Kaffets temperatur minskar enligt modellen: \( \;\; y = f(x) = 21\,+\,74\cdot 0,86\,^x \;\; \)
där \( \;\, y \, \) är temperaturen i grader Celsius och
- \( x \) är tiden i timmar efter att kaffet hälldes i termosen.
a) Ange kaffets temperatur när det hälldes i termosen.
b) Rita grafen till funktionen \( \, y_1 = 0,86\,^x \, \).
- Använd grafen för att bestämma \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(0,86\,^x\right) \) .
c) Använd resultatet från b) för att beräkna \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(21\,+\,74\cdot 0,86\,^x\right) \) .
d) Hur borde resultatet från c) tolkas?
C-övningar: 4-7
Övning 4
a) Beräkna \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, {x^2\,-\,9 \over 7\,x\,-\,21} \)
b) Bestäm \( \displaystyle \; \lim_{x \to 2}\,\, {x^2\,-\,5\,x\,+\,6 \over x\,-\,2} \)
c) Beräkna \( \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x^2\,-\,2\,x\,+\,3 \over 2\,x^2\,+\,5\,x\,-\,3} \)
d) Bestäm \( \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, {x\,+\,1 \over x^2\,+\,1} \)
Övning 5
Följande funktion är given: \( \qquad\qquad y = f(x) = x^3 \)
a) Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) \) och förenkla.
b) Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) - f(x) \) och förenkla.
c) Bilda uttrycket \( \displaystyle {f(x+h) - f(x) \over h} \) och förenkla.
d) Bestäm \( \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \) .
- Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.
Övning 6
Ange ett exempel på en funktion \( f(x) \) som
- inte är definierad för \( x = -2 \, \) och som
- har egenskapen: \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to -2}\,\,f(x) = 3 \qquad \)
Verifiera din lösning genom att göra en kontroll.
Övning 7
Betrakta funktionen: \( \qquad \displaystyle \; y = f(x) = {12 \over x - 3} \)
a) Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \).
b) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle \; \lim_{x \to \infty}\,\, f(x) \; \)?
- Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
c) Ange \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{+}} f(x) \; \) och \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3^{-}} f(x) \) och motivera.
\( \quad\;\; x \to 3^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 3 \) från höger och
\( \quad\;\; x \to 3^- \) att närma sig \( \, x = 3 \) från vänster.
d) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle \; \lim_{x \to 3}\,\, f(x) \; \)?
- Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
A-övningar: 8-11
Övning 8
Betrakta funktionen: \( \qquad\qquad \displaystyle \; y = f(x) = {x^2\,-\,16 \over x\,-\,4} \)
a) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle \; \lim_{x \to 4}\,\, f(x) \; \)?
- Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
b) Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \).
- Svara med hjälp av ditt svar från a) på följande frågor:
- Varför är grafen en rät linje fast \( f(x) \, \) inte är en linjär funktion?
- Vad händer med grafen i punkten \( x = 4\, \)?
Övning 9
Följande funktion är given: \( \qquad \displaystyle y = f(x) = {1 \over x} \)
Bestäm: \( \qquad\quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \)
Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.
Övning 10
Beräkna gränsvärdet: \( \qquad\qquad \displaystyle \lim_{x \to 1}\,\,{x^3\,-\,1 \over x^2\,-\,6\,x\,+\,5} \)
Ledning: Faktorisera uttryckets täljare och nämnare och förkorta det.
Övning 11
Beräkna gränsvärdet: \( \displaystyle \qquad \lim_{x \to \infty}\,\,\left(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,\right) \)
Ledning: Börja med att förlänga uttrycket i limes med konjugatet och fortsätt sedan att förenkla det.
Konjugatet till \( \; a + \sqrt{b} \; \) är \( \; a - \sqrt{b} \; \) och omvänt.
Copyright © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
