Skillnad mellan versioner av "2.4 Övningar till Derivatans definition"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 63: | Rad 63: | ||
| − | == | + | <div class="ovnE"> |
| − | < | + | == <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> == |
Följande funktion är given: | Följande funktion är given: | ||
| Rad 71: | Rad 71: | ||
Dvs funktionens värde för <u>alla</u> <math> x\, </math> är <math> 4\, </math>. | Dvs funktionens värde för <u>alla</u> <math> x\, </math> är <math> 4\, </math>. | ||
| − | a) Rita grafen till funktionen. | + | a) Rita grafen till funktionen. |
| − | b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> 0 \leq x \,\leq\, 2 </math>. | + | b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> 0 \leq x \,\leq\, 2 </math>. |
| − | c) Vad blir <math> f(1+h)\, </math> ? | + | c) Vad blir <math> f(1+h)\, </math> ? |
| − | d) Beräkna med hjälp av derivatans definition <math> f\,'(1) </math> dvs funktionens exakta derivata i punkten <math> x = 1\, </math>. | + | d) Beräkna med hjälp av derivatans definition <math> f\,'(1) </math> dvs funktionens exakta derivata i punkten <math> x = 1\, </math>. |
| − | e) Jämför resultaten i b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar. | + | e) Jämför resultaten i b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar. |
| − | + | {{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.3 Svar 1a|Svar 4b|2.3 Svar 1b|Lösning 4b|2.3 Lösning 1b|Svar 4c|2.3 Svar 1c|Lösning 4c|2.3 Lösning 1c|Svar 4d|2.3 Svar 1d|Lösning 4d|2.3 Lösning 1d|Svar 4e|2.3 Svar 1e}}</div> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Versionen från 11 november 2015 kl. 10.55
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt --> |
E-övningar: 1-4
Övning 1
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = 6\,x \]
a) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 1 \leq x \,\leq\, 5 \).
b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 4 \).
c) Ställ upp ett uttryck för \( f(3+h)\, \) genom att sätta in \( 3+h\, \) för \( x\,\) i funktionen \( f(x) = 6\,x \).
d) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(3) \) dvs funktionens exakta derivata i punkten \( x = 3\, \).
e) Jämför resultaten i a), b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.
Hämtar...
Övning 2
Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen
- \[ y = f(x) = 5\;x^2 \]
där \( \quad \, x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} \)
- \[ y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} \]
a) Ställ upp ett uttryck för \( f(1+h)\, \) genom att sätta in \( 1+h\, \) för \( x\,\) i funktionen \( f(x) = 5\,x^2 \).
b) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(1) \). Tolka resultatet.
Övning 3
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen
- \[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]
där \( \quad \, x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900\;(början)} \)
- \[ y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} \]
a) Med hur många människor per år växte Sveriges befolkning år 1910 (slutet)?
b) Med hur många människor per år växer Sveriges befolkning i slutet av 2014 om modellen ovan fortfarande gällde?
Övning 4
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = 4\, \]
Dvs funktionens värde för alla \( x\, \) är \( 4\, \).
a) Rita grafen till funktionen.
b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 0 \leq x \,\leq\, 2 \).
c) Vad blir \( f(1+h)\, \) ?
d) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(1) \) dvs funktionens exakta derivata i punkten \( x = 1\, \).
e) Jämför resultaten i b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.
C-övningar: 5-6
Övning 5
I Exempel Oljetank betraktade vi följande problem:
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
- \[ y \, = \, f(x) = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]
där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
- \[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]
a) Beräkna med hjälp av derivatans definition oljans utströmningshastighet vid tiden \( x = 25\, \).
b) Efter hur många minuter läcker oljan med \( 300\, \) liter per minut?
Använd utströmningsfunktionens derivata som funktion från Exempel Oljetank (utvidgat).
Övning 6
a) Beräkna med hjälp av derivatans definition derivatan till parabeln
- \[ y \, = \, f(x) = \, x^2 \quad {\rm i\;punkten} \quad x \, = \, -3 \]
b) Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i samma punkt.
c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.
A-övningar: 7-8
Övning 7
Bestäm med derivatans definition derivatan till funktionen
- \[ y \, = \, f(x) = \, x^2 \quad {\rm i\;punkten} \quad x \, = \, a \]
Förenkla uttrycket i \( a\, \) så långt som möjligt.
Övning 8
Följande funktion är given:
- \[ y \, = \, f(x) = \, 3\,x^2 - 2\,x - 4 \]
a) Beräkna med derivatans definition funktionens derivata i punkten \( x = 1\, \). Tolka resultatet geometriskt.
b) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( y = f(x)\, \) i samma punkt.
c) Rita funktionens och tangentens graf i samma koordinatsystem.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
