Skillnad mellan versioner av "3.2 Övningar till Lokala maxima och minima"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.1 Växande och avtagande| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen| <<&nbsp;&nbsp; Tillbaka till Talet e]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.2 Lokala maxima och minima|Genomgång]]}}
+
{{Not selected tab|[[Exponentialfunktioner och logaritmer|Genomgång]]}}
−
{{Selected tab|[[3.2 Övningar till Lokala maxima och minima|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[Övningar till Exponentialfunktioner och logaritmer|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Terasspunkter|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
+
{{Not selected tab|[[Logaritmlagarna|Repetition: Logaritmlagarna]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<big>I alla övningar där det förekommer "Rita grafen ..." ska du använda grafräknaren.</big>
+
<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span></big></big></big>
−
 
+
−
 
+
−
<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-5</span></big></big></big>
+
  
  
 
== <b>Övning 1</b> ==
 
== <b>Övning 1</b> ==
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<table>
+
Vilka av de nedanstående ekvationerna är potensekvationer och vilka är exponentialekvationer?
−
<tr>
+
−
  <td>I [[2.1 Introduktion till derivata|<strong><span style="color:blue">Introduktion till derivata</span></strong>]] sysslade vi med följande aktivitet:
+
  
−
Yulia Koltunova tävlar i simhopp.  
+
Lös ekvationerna, om det går exakt, annars med 4 decimalers noggrannhet.
  
−
Hennes hopp från 10-meterstorn beskrivs av funktionen:
+
Använd dina kunskaper från potensräkning för att lösa exponentialekvationerna utan räknare. Förklara din lösningsmetod.
  
−
::::<math> y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math>
+
a) &nbsp; <math> x^8 = 11\, </math>
  
−
där <math> \; \; y\, </math> är Yulias höjd över vattnet (i meter) och
 
  
−
<math> \qquad\! x\, </math> är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).
+
b) &nbsp; <math> 2^x = 32\, </math>
  
−
a) &nbsp; Efter hur många sekunder har Yulia nått sin högsta höjd?
 
−
 
−
:&nbsp;Använd [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">regeln med andraderivatan</span></strong>]] för att visa att
 
  
−
:&nbsp;du hittat maximipunkten.
+
c) &nbsp; <math> (8\,x^3)^{1/3} = 1 </math>
  
−
b) &nbsp; Beräkna Yulias maximala höjd.
 
−
</td>
 
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 1.jpg]]
 
−
</td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
−
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|3.2 Svar 1a|Lösning 1a|3.2 Lösning 1a|Svar 1b|3.2 Svar 1b|Lösning 1b|3.2 Lösning 1b}}</div>
 
  
 +
d) &nbsp; <math> 4^x + 4^{x+1} = 80\, </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.6 Svar 1a|Lösning 1a|1.6 Lösning 1a|Svar 1b|1.6 Svar 1b|Lösning 1b|1.6 Lösning 1b|Svar 1c|1.6 Svar 1c|Lösning 1c|1.6 Lösning 1c|Svar 1d|1.6 Svar 1d|Lösning 1d|1.6 Lösning 1d}}
 +
</div>
  
−
== <b>Övning 2</b> ==
 
−
<div class="ovnE">
 
−
a) &nbsp; Följande teckentabell innehåller information om funktionen <math>\, y = f(x)</math>:
 
  
−
 
+
== <b>Övning 1</b> ==
−
                <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:70px;">
+
−
  <tr>
+
−
    <td><math>x</math></td>
+
−
    <td> </td>
+
−
    <td><math>-1</math></td>
+
−
    <td> </td>
+
−
    <td><math>0</math></td>
+
−
    <td> </td>
+
−
  </tr>
+
−
  <tr>
+
−
    <td><math> f\,'(x) </math></td>
+
−
    <td><math> - </math></td>
+
−
    <td><math>0</math></td>
+
−
    <td><math> + </math></td>
+
−
    <td><math>0</math></td>
+
−
    <td><math> - </math></td>
+
−
  </tr>
+
−
  <tr>
+
−
    <td><math> f(x) </math></td>
+
−
    <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
+
−
    <td>                  ?                            </td>
+
−
    <td> <strong><big><big>&#8599;</big></big></strong> </td>
+
−
    <td>                  ?                            </td>
+
−
    <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
+
−
  </tr>
+
−
</table>
+
−
 
+
−
 
+
−
:&nbsp;Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).
+
−
 
+
−
b) &nbsp; Ta funktionen från övning 1<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::::::<math> f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math>
+
−
 
+
−
:Hitta <math> \, f(x)</math>:s maximipunkt genom att använda en [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<strong><span style="color:blue">teckenstudie</span></strong>]].
+
−
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|3.2 Svar 2a|Lösning 2b|3.2 Lösning 2b}}</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
== <b>Övning 3</b> ==
+
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
En kula skjuts rakt upp i luften och följer en bana som beskrivs av funktionen<span style="color:black">:</span>
+
Skriv först ned hur man läser följande uttryck. Ange sedan uttryckens värde utan att använda räknare:
−
 
+
−
::::<math> h(t) = - 4\,t^2 + 80\,t </math>
+
−
 
+
−
där <math> \; \; h\, = \, </math> kulans höjd över marken i meter
+
−
 
+
−
<math> \qquad t\, = \, </math> tiden efter kastet i sekunder
+
−
 
+
−
a) &nbsp; När når kulan sin högsta höjd?
+
 
   
 
   
−
:Bevisa med en av reglerna ([[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">andraderivatan</span></strong>]] eller [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<strong><span style="color:blue">teckenstudie</span></strong>]]) att du hittat maximipunkten.
+
a) &nbsp; <math> \log_{10} 100\,000 </math>
  
−
b) &nbsp; Hur högt når kulan?
 
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 3a|3.2 Svar 3a|Lösning 3a|3.2 Lösning 3a|Svar 3b|3.2 Svar 3b|Lösning 3b|3.2 Lösning 3b}}</div>
+
b) &nbsp; <math> \lg 10\,000 </math>
  
  
−
== <b>Övning 4</b> ==
+
c) &nbsp; <math> \log_2 8\, </math>
−
<div class="ovnE">
+
−
<table>
+
−
<tr>
+
−
  <td>Följande funktion är definierad genom<span style="color:black">:</span>
+
  
−
:::<math> y = f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 </math>
 
  
−
Använd grafen till höger för att lösa uppgifterna a)-d):
+
d) &nbsp; <math> \log_3 9\, </math>
  
−
a) &nbsp; Hur många extrempunkter har <math> \,f(x) \, </math>?
 
  
−
b) &nbsp; För vilka <math> \,x </math> är funktionens derivata <math> \, = \, 0 </math> ? Motivera!
+
e) &nbsp; <math> \log_5 125\, </math>
  
−
c) &nbsp; Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions minimum.
 
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vilken regel är detta ett exempel på?
+
f) <math> \log_2 {1 \over 4} </math>
  
−
d) &nbsp; Beskriv derivatans teckenbyte kring funktions maximum.
+
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.6 Svar 2a|Lösning 2a|1.6 Lösning 2a|Svar 2b|1.6 Svar 2b|Lösning 2b|1.6 Lösning 2b|Svar 2c|1.6 Svar 2c|Lösning 2c|1.6 Lösning 2c|Svar 2d|1.6 Svar 2d|Lösning 2d|1.6 Lösning 2d|Svar 2e|1.6 Svar 2e|Lösning 2e|1.6 Lösning 2e|Svar 2f|1.6 Svar 2f|Lösning 2f|1.6 Lösning 2f}}
 +
</div>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vilken regel är detta ett exempel på?
 
−
</td>
 
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 4.jpg]]
 
  
−
</td>
+
== Övning 3 ==
−
</tr>
+
<div class="ovning">
−
</table>
+
Beräkna uttrycken nedan utan att använda räknare:
  
−
Lös uppgifterna e)-g) algebraiskt:
+
a) &nbsp; <math> \log_4 2 + \log_9 3\, </math>
  
−
e) &nbsp; Ställ upp derivatan <math> \, f\,'(x)\, </math>.
 
  
−
f) &nbsp; Beräkna derivatan <math> \, f\,'(x)</math>:s nollställen.
+
b) &nbsp; <math> \log_8 2 - \log_{27} 3\, </math>
−
 
+
−
g) &nbsp; Använd en algebraisk metod för att skilja mellan maximi- och minimipunkten.
+
−
 
+
−
:Ange maximi- och minimipunktens koordinater.
+
−
 
+
−
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|3.2 Svar 4a|Svar 4b|3.2 Svar 4b|Svar 4c|3.2 Svar 4c|Svar 4d|3.2 Svar 4d|Svar 4e|3.2 Svar 4e|Svar 4f|3.2 Svar 4f|Lösning 4f|3.2 Lösning 4f|Svar 4g|3.2 Svar 4g|Lösning 4g|3.2 Lösning 4g}}</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
== <b>Övning 5</b> ==
+
−
<div class="ovnE">
+
−
Följande funktion är given:
+
  
−
::<math> f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 </math>
 
  
−
a) &nbsp; Ställ upp derivatan <math> \, f\,'(x) \, </math> och beräkna dess nollställen.
+
c) &nbsp; <math> \log_6 \sqrt{6} \cdot \log_5 \sqrt{5}\, </math>  
  
−
b) &nbsp; Avgör med någon av metoderna vi lärt oss, vilka av derivatans nollställen är funktionen <math> \, f(x)</math>:s maxima resp. minima.
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.6 Svar 3a|Lösning 3a|1.6 Lösning 3a|Svar 3b|1.6 Svar 3b|Lösning 3b|1.6 Lösning 3b|Svar 3c|1.6 Svar 3c|Lösning 3c|1.6 Lösning 3c}}
 +
<!-- Alternativt:
 +
:<small><small>[[1.6 Svar 3a|Svar 3a]] | [[1.6 Lösning 3a|Lösning 3a]] | [[1.6 Svar 3b|Svar 3b]] | [[1.6 Lösning 3b|Lösning 3b]] | [[1.6 Svar 3c|Svar 3c]] | [[1.6 Lösning 3c|Lösning 3c]]</small></small>
 +
-->
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ange alla maximi- och minimipunkter.
+
== Övning 4 ==
 +
<div class="ovning">
 +
Svara först utan att använda räknare. Bekräfta sedan ditt resultat men räknaren i de fall det går (10-logaritmerna). <math> \,\log </math>-knappen på räknaren står för 10-logaritmen.
  
−
c) &nbsp; Rita graferna till funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> och derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> i två olika koordinatsystem.
+
Vad blir:
  
−
:Vilket samband kan man konstatera mellan funktionens graf och derivatans graf?
+
a) &nbsp; <math> 10^{\lg 32}\, </math>
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|3.2 Svar 5a|Lösning 5a|3.2 Lösning 5a|Svar 5b|3.2 Svar 5b|Lösning 5b|3.2 Lösning 5b|Lösning 5c|3.2 Lösning 5c}}</div>
 
  
 +
b) &nbsp; <math> 3^{\log_3 5}\, </math>
  
  
 +
c) &nbsp; <math> \lg(10^6)\, </math>
  
−
<big><big><big><span style="color:#86B404">C-övningar: 6-8</span></big></big></big>
 
  
 +
d) &nbsp; <math> \log_3(3^8)\, </math>
  
−
== <b>Övning 6</b> ==
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.6 Svar 4a|Lösning 4a|1.6 Lösning 4a|Svar 4b|1.6 Svar 4b|Lösning 4b|1.6 Lösning 4b|Svar 4c|1.6 Svar 4c|Lösning 4c|1.6 Lösning 4c|Svar 4d|1.6 Svar 4d|Lösning 4d|1.6 Lösning 4d}}
−
<div class="ovnC">
+
<!-- Alternativt:
−
<table>
+
:<small><small>[[1.6 Svar 4a|Svar 4a]] | [[1.6 Lösning 4a|Lösning 4a]] | [[1.6 Svar 4b|Svar 4b]] | [[1.6 Lösning 4b|Lösning 4b]] | [[1.6 Svar 4c|Svar 4c]] | [[1.6 Lösning 4c|Lösning 4c]] | [[1.6 Svar 4d|Svar 4d]] | [[1.6 Lösning 4d|Lösning 4d]]</small></small>
−
<tr>
+
-->
−
  <td>Grafen visar derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> av en
+
  
−
funktion <math> \, y = f(x) </math>.
+
== C-övningar: 5-6 ==
  
 +
== Övning 5 ==
 +
<div class="ovning">
 +
Lös följande ekvationer genom att skriva om baserna till 10-potenser och använda potenslagarna. Beräkna 10-logaritmerna med räknaren. Svara med 6 decimaler.
  
  
−
Besvara följande frågor om funktionen <math> \, y = f(x) \, </math>
+
a) &nbsp; <math> 2^x \, = \, 35 </math>
  
−
genom att använda information från derivatans graf:
 
  
−
a) &nbsp; Läs av från grafen och ange derivatans nollställe.
+
b) &nbsp; <math> 4^x \, = \, 17 </math>
  
−
Vad kan man säga om funktionen <math> \, y = f(x) \, </math>
 
  
−
i derivatans nollställe?
+
c) &nbsp; <math> 8^x \, = \, 448 </math>
  
−
</td>
 
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 3_2_6.jpg]]
 
  
−
</td>
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 5a|1.6 Svar 5a|Lösning 5a|1.6 Lösning 5a|Svar 5b|1.6 Svar 5b|Lösning 5b|1.6 Lösning 5b|Svar 5c|1.6 Svar 5c|Lösning 5c|1.6 Lösning 5c}}
−
</tr>
+
<!-- Alternativt:
−
</table>
+
:<small><small>[[1.6 Svar 5a|Svar 5a]] | [[1.6 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[1.6 Svar 5b|Svar 5b]] | [[1.6 Lösning 5b|Lösning 5b]] | [[1.6 Svar 5c|Svar 5c]] | [[1.6 Lösning 5c|Lösning 5c]]</small></small>
−
b) &nbsp; Vilket teckenbyte har derivatan kring sitt nollställe? Vad följer av detta om funktionen?
+
-->
  
−
c) &nbsp; Rita en enkel skiss över funktionen <math> \, y = f(x)</math>.
+
== Övning 6 ==
 +
<div class="ovning">
 +
Ett startkapital på <math> 12\,000 </math> kr sätts in på ett bankkonto med <math> 6,5\,\%</math> årsränta. Inga uttag görs.
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|3.2 Svar 6a|Svar 6b|3.2 Svar 6b|Lösning 6c|3.2 Lösning 6c}}</div>
+
a) &nbsp; Ställ upp en modell (funktion) för pengarnas växande under flera år som tar hänsyn till ränta på ränta. Vilken typ av funktion blir det?
  
 +
b) &nbsp; Använd modellen i a) &nbsp; för att ställa upp en ekvation för att få reda på hur länge det tar tills startkapitalet fördubblats. Vilken typ av ekvation blir det?
  
−
== <b>Övning 7</b> ==
+
Lös ekvationen och ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
−
<div class="ovnC">
+
−
<table>
+
−
<tr>
+
−
  <td>Grafen visar derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> av en
+
  
−
funktion <math> \, y = f(x) </math>.
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.6 Svar 6a|Lösning 6a|1.6 Lösning 6a|Svar 6b|1.6 Svar 6b|Lösning 6b|1.6 Lösning 6b}}
 +
<!-- Alternativt:
 +
:<small><small>[[1.6 Svar 6a|Svar 6a]] | [[1.6 Lösning 6a|Lösning 6a]] | [[1.6 Svar 6b|Svar 6b]] | [[1.6 Lösning 6b|Lösning 6b]]</small></small>
 +
-->
  
 +
== A-övningar: 7-8 ==
  
 +
== Övning 7 ==
 +
<div class="ovning">
  
−
Lös följande uppgifter genom att endast använda grafen:
+
I början av ett år sattes in <math> 40\,000 </math> kr på ett bankkonto med en årsränta på <math> 8\,\% </math>.
  
−
a) &nbsp; Vilka slutsatser kan man dra om funktionen <math> \, y = f(x) \, </math>
+
Efter två år sattes in ytterligare ett belopp som var <math> 3\over 5 </math> av det först insatta.
  
−
i derivatans nollställen? Motivera dina slutsatser.
+
Hur lång tid (räknat från den första insättningen) kommer det att ta tills saldot blir <math> 100\,000 </math> kr?
  
−
b) &nbsp; Sammanfatta dina resultat från a) i en teckentabell och  
+
Inga uttag görs från kontot under hela tidsperioden. Ange svaret i antal år och hela månader.
  
−
rita en enkel skiss över funktionen <math> \, y = f(x)</math>.  
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.6 Svar 7|Lösning 7|1.6 Lösning 7}}
 +
<!-- Alternativt:
 +
:<small><small>[[1.6 Svar 7|Svar 7]] | [[1.6 Lösning 7|Lösning 7]]</small></small>
 +
-->
  
−
</td>
+
== Övning 8 ==
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ovn 3_2_7.jpg]]
+
<div class="ovning">
 +
En termos fylls med hett kaffe. Temperaturen avtar exponentiellt med tiden från 94,3 ºC i början till 76 ºC efter 4 timmar.
  
−
</td>
+
a) &nbsp; Ställ upp en matematisk modell för kaffets avsvalnande. Ta hjälp från [[1.5 Övningar till Potenslagarna|1.5 övning 8 (Potenslagarna)]].
−
</tr>
+
−
</table>
+
−
{{#NAVCONTENT:Svar 7a|3.2 Svar 7a|Lösning 7a|3.2 Lösning 7a|Lösning 7b|3.2 Lösning 7b}}</div>
+
  
 +
b) &nbsp; Använd modellen från a) &nbsp; för att besvara frågan:
  
−
== <b>Övning 8</b> ==
+
Hur lång tid <u>exakt</u> tar det tills kaffets temperatur understiger 55 º C då det inte längre anses drickbart? Ange svaret i antal timmar och avrundat antal minuter.
−
<div class="ovnC">
+
−
Följande funktion är given:
+
  
−
::<math> y = f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} </math>
+
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|1.6 Svar 8a|Svar 8b|1.6 Svar 8b}}
 +
:<small><small>[[Media: Termos_1_6_övn_8.pdf|Fullständig lösning 8]]
 +
<!-- Alternativt:
 +
:[[1.6 Svar 8a|Svar 8a]]|[[1.6 Svar 8b|Svar 8b]]|[[Media: Termos_1_6_övn_8.pdf|Fullständig lösning 8]]</small></small>
 +
-->
  
−
a) &nbsp; Beräkna koordinaterna till funktionens maximi- resp. minimipunkter exakt.
+
= Facit =
  
−
b) &nbsp; Rita graferna till funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> och derivatan <math> \, y\,' = f\,'(x) \, </math> i två olika koordinatsystem.
+
== 1a) &nbsp; ==
 +
Potensekvation.
  
−
Markera funktionens maximi- resp. minimipunkter och derivatans nollställen.
+
<math> x = 1,3495\, </math>
−
{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.2 Svar 8|Lösning 8a|3.2 Lösning 8|Lösning 8b|3.2 Lösning 8b}}</div>
+
  
 +
== 1b) &nbsp; ==
 +
Exponentialekvation.
  
 +
<math> x = 5\, </math>
  
 +
== 1c) &nbsp; ==
 +
Potensekvation.
  
−
<big><big><big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 9-11</span></big></big></big>
+
<math> x = {1 \over 2} </math>
  
 +
== 1d) &nbsp; ==
 +
Exponentialekvation.
  
−
== <b>Övning 9</b> ==
+
<math> x = 2\, </math>
−
<div class="ovnA">
+
−
a) &nbsp; Bestäm konstanterna <math> \, a, \, b \, </math> och <math> \, c \, </math> så att funktionen
+
  
−
::::<math> y = f(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x </math>
+
== 2a) &nbsp; ==
 +
Logaritmen av 100 000 till basen 10. Eller: 10-logaritmen av 100 000.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; får ett maximum i punkten <math> \, (-1, 7) \, </math> och dessutom ett minimum för <math> \, x = 2 \, </math>.
+
<math> 5\, </math>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ange funktionen <math> \, y = f(x) \, </math>.
+
== 2b) &nbsp; ==
 +
10-logaritmen av 10 000.
  
−
b) &nbsp; Rita graferna till funktionen <math> \, y = f(x) \, </math> och dess derivata i två olika koordinatsystem.
+
<math> 4\, </math>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Kontrollera om graferna visar de angivna extrema.
+
== 2c) &nbsp; ==
−
{{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.2 Svar 9a|Lösning 9a|3.2 Lösning 9a|Lösning 9b|3.2 Lösning 9b}}</div>
+
Logaritmen av 8 till basen 2.  
  
 +
<math> 3\, </math>
  
−
== <b>Övning 10</b> ==
+
== 2d) &nbsp; ==
−
<div class="ovnA">
+
Logaritmen av 9 till basen 3.
−
En tomt har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i meter:
+
  
−
:::[[Image: Ovn 3_2_10_40.jpg]]
+
<math> 2\, </math>
−
På tomten ska en rektangulär boyta väljas så att boytans area <math> \, A(x) \, </math> blir maximal.
+
  
−
a) &nbsp; Ställ upp ett uttryck för arean <math> \, A(x) \, </math> som endast beror av <math> \, x \, </math>.
+
== 2e) &nbsp; ==
 +
Logaritmen av 125 till basen 5.  
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <b>Tips</b>: &nbsp; Kalla rektangelns andra sida för t.ex. <math> \, y \,</math>. Ställ upp ett samband mellan <math> \, y \,</math> och <math> \, x \, </math>.
+
<math> 3\, </math>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa.
+
== 2f) ==
 +
Logaritmen av 1/4 till basen 2.  
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på <math> x</math>- och den kortare på <math> y</math>-axeln
+
<math> -2\, </math>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; och hypotenusan blir del av en rät linje vars ekvation ger det önskade sambandet.
+
== 3a) &nbsp; ==
 +
<math> 1\, </math>
  
−
b) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att funktionen <math> \, A(x) \, </math> antar sitt maximum och beräkna den maximala boytan.
+
== 3b) &nbsp; ==
 +
<math> 0\, </math>
  
−
c) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita graferna till funktionen <math> A(x) </math> och dess derivata i två olika koordinatsystem.
+
== 3c) &nbsp; ==
 +
<math> {1 \over 4} </math>
  
−
{{#NAVCONTENT:Svar 10a|3.2 Svar 10a|Lösning 10a|3.2 Lösning 10a|Svar 10b|3.2 Svar 10b|Lösning 10b|3.2 Lösning 10b|Lösning 10c|3.2 Lösning 10c}}</div>
+
== 4a) &nbsp; ==
 +
<math> 32\, </math>
  
 +
== 4b) &nbsp; ==
 +
<math> 5\, </math>
  
−
== <b>Övning 11</b> ==
+
== 4c) &nbsp; ==
−
<div class="ovnA">
+
<math> 6\, </math>
−
För att inte varje gång behöva räkna om övn. 10 för olika mått på tomter betraktas rätvinkliga trianglar av följande form:
+
  
−
:::[[Image: Ovn 3_2_11_40.jpg]]
+
== 4d) &nbsp; ==
−
där <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> är kateternas konstanta längder, dvs <math> \, a > 0 \, </math> och <math> \, b > 0 \, </math>.
+
<math> 8\, </math>
  
−
a) &nbsp; Ställ upp ett uttryck för arean <math> \, A(x, a, b) </math>. <b>Tips</b>: se övn. 10.
+
== 5a) &nbsp; ==
 +
<math> x = 5,129283\, </math>
  
−
Behandla i fortsättningen arean som en funktion <math> \, A(x) \, </math> av endast variabeln <math> \, x \, </math>. Betrakta <math> \, a, b\, </math> som konstanter.
+
== 5b) &nbsp; ==
 +
<math> x = 2,043731\, </math>
  
−
b) &nbsp; Bestäm <math> \, x \, </math> så att funktionen <math> \, A(x) \, </math> antar sitt maximum. Pga de obestämda konstanterna kommer <math> \, x \, </math> att vara ett uttryck i <math> \, a \, </math> resp. <math> \, b \, </math>.
+
== 5c) &nbsp; ==
 +
<math>x = 2,935785\,</math>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ställ upp boytans maximala area som ett uttryck i <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>
+
== 6a) &nbsp; ==
 +
<math> y = 12\,000 \cdot (1,065)^x </math>
  
−
c) &nbsp; Kontrollera om du får samma resultat som i övn. 10 när du i uttrycken här sätter in värdena <math> \, a = 20 \, </math> och <math> \, b = 30 \, </math> från övn. 10.
+
Exponentialfunktion
−
{{#NAVCONTENT:Svar 11a|3.2 Svar 11a|Lösning 11a|3.2 Lösning 11a|Svar 11b|3.2 Svar 11b|Lösning 11b|3.2 Lösning 11b|Lösning 11c|3.2 Lösning 11c}}</div>
+
  
 +
== 6b) &nbsp; ==
 +
<math> 11\, </math> år (och 0 månader).
  
 +
== 7) ==
 +
<math> 6\, </math> år och <math> 6\, </math> månader.
  
 +
== 8a) &nbsp; ==
 +
<math> c = 94,3\, </math>
  
 +
<math> a = 0,94749\, </math>
  
 +
<math> y = 94,3 \cdot (0,94749)\,^x </math>
  
 +
== 8b) &nbsp; ==
 +
10 timmar
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Versionen från 16 januari 2017 kl. 15.12

        <<   Tillbaka till Talet e          Genomgång          Övningar          Repetition: Logaritmlagarna      


E-övningar: 1-4


Övning 1

Vilka av de nedanstående ekvationerna är potensekvationer och vilka är exponentialekvationer?

Lös ekvationerna, om det går exakt, annars med 4 decimalers noggrannhet.

Använd dina kunskaper från potensräkning för att lösa exponentialekvationerna utan räknare. Förklara din lösningsmetod.

a)   \( x^8 = 11\, \)


b)   \( 2^x = 32\, \)


c)   \( (8\,x^3)^{1/3} = 1 \)


d)   \( 4^x + 4^{x+1} = 80\, \)

Svar 1a
1.6 Svar 1a
Lösning 1a
1.6 Lösning 1a
Svar 1b
1.6 Svar 1b
Lösning 1b
1.6 Lösning 1b
Svar 1c
1.6 Svar 1c
Lösning 1c
1.6 Lösning 1c
Svar 1d
1.6 Svar 1d
Lösning 1d
1.6 Lösning 1d


Övning 1

Skriv först ned hur man läser följande uttryck. Ange sedan uttryckens värde utan att använda räknare:

a)   \( \log_{10} 100\,000 \)


b)   \( \lg 10\,000 \)


c)   \( \log_2 8\, \)


d)   \( \log_3 9\, \)


e)   \( \log_5 125\, \)


f) \( \log_2 {1 \over 4} \)

Svar 2a
1.6 Svar 2a
Lösning 2a
1.6 Lösning 2a
Svar 2b
1.6 Svar 2b
Lösning 2b
1.6 Lösning 2b
Svar 2c
1.6 Svar 2c
Lösning 2c
1.6 Lösning 2c
Svar 2d
1.6 Svar 2d
Lösning 2d
1.6 Lösning 2d
Svar 2e
1.6 Svar 2e
Lösning 2e
1.6 Lösning 2e
Svar 2f
1.6 Svar 2f
Lösning 2f
1.6 Lösning 2f


Övning 3

Beräkna uttrycken nedan utan att använda räknare:

a)   \( \log_4 2 + \log_9 3\, \)


b)   \( \log_8 2 - \log_{27} 3\, \)


c)   \( \log_6 \sqrt{6} \cdot \log_5 \sqrt{5}\, \)

Svar 3a
1.6 Svar 3a
Lösning 3a
1.6 Lösning 3a
Svar 3b
1.6 Svar 3b
Lösning 3b
1.6 Lösning 3b
Svar 3c
1.6 Svar 3c
Lösning 3c
1.6 Lösning 3c

Övning 4

Svara först utan att använda räknare. Bekräfta sedan ditt resultat men räknaren i de fall det går (10-logaritmerna). \( \,\log \)-knappen på räknaren står för 10-logaritmen.

Vad blir:

a)   \( 10^{\lg 32}\, \)


b)   \( 3^{\log_3 5}\, \)


c)   \( \lg(10^6)\, \)


d)   \( \log_3(3^8)\, \)

Svar 4a
1.6 Svar 4a
Lösning 4a
1.6 Lösning 4a
Svar 4b
1.6 Svar 4b
Lösning 4b
1.6 Lösning 4b
Svar 4c
1.6 Svar 4c
Lösning 4c
1.6 Lösning 4c
Svar 4d
1.6 Svar 4d
Lösning 4d
1.6 Lösning 4d

C-övningar: 5-6

Övning 5

Lös följande ekvationer genom att skriva om baserna till 10-potenser och använda potenslagarna. Beräkna 10-logaritmerna med räknaren. Svara med 6 decimaler.


a)   \( 2^x \, = \, 35 \)


b)   \( 4^x \, = \, 17 \)


c)   \( 8^x \, = \, 448 \)


Svar 5a
1.6 Svar 5a
Lösning 5a
1.6 Lösning 5a
Svar 5b
1.6 Svar 5b
Lösning 5b
1.6 Lösning 5b
Svar 5c
1.6 Svar 5c
Lösning 5c
1.6 Lösning 5c

Övning 6

Ett startkapital på \( 12\,000 \) kr sätts in på ett bankkonto med \( 6,5\,\%\) årsränta. Inga uttag görs.

a)   Ställ upp en modell (funktion) för pengarnas växande under flera år som tar hänsyn till ränta på ränta. Vilken typ av funktion blir det?

b)   Använd modellen i a)   för att ställa upp en ekvation för att få reda på hur länge det tar tills startkapitalet fördubblats. Vilken typ av ekvation blir det?

Lös ekvationen och ange svaret i antal år och avrundat antal månader.

Svar 6a
1.6 Svar 6a
Lösning 6a
1.6 Lösning 6a
Svar 6b
1.6 Svar 6b
Lösning 6b
1.6 Lösning 6b

A-övningar: 7-8

Övning 7

I början av ett år sattes in \( 40\,000 \) kr på ett bankkonto med en årsränta på \( 8\,\% \).

Efter två år sattes in ytterligare ett belopp som var \( 3\over 5 \) av det först insatta.

Hur lång tid (räknat från den första insättningen) kommer det att ta tills saldot blir \( 100\,000 \) kr?

Inga uttag görs från kontot under hela tidsperioden. Ange svaret i antal år och hela månader.

Svar 7
1.6 Svar 7
Lösning 7
1.6 Lösning 7

Övning 8

En termos fylls med hett kaffe. Temperaturen avtar exponentiellt med tiden från 94,3 ºC i början till 76 ºC efter 4 timmar.

a)   Ställ upp en matematisk modell för kaffets avsvalnande. Ta hjälp från 1.5 övning 8 (Potenslagarna).

b)   Använd modellen från a)   för att besvara frågan:

Hur lång tid exakt tar det tills kaffets temperatur understiger 55 º C då det inte längre anses drickbart? Ange svaret i antal timmar och avrundat antal minuter.

Svar 8a
1.6 Svar 8a
Svar 8b
1.6 Svar 8b
Fullständig lösning 8

Facit

1a)  

Potensekvation.

\( x = 1,3495\, \)

1b)  

Exponentialekvation.

\( x = 5\, \)

1c)  

Potensekvation.

\( x = {1 \over 2} \)

1d)  

Exponentialekvation.

\( x = 2\, \)

2a)  

Logaritmen av 100 000 till basen 10. Eller: 10-logaritmen av 100 000.

\( 5\, \)

2b)  

10-logaritmen av 10 000.

\( 4\, \)

2c)  

Logaritmen av 8 till basen 2.

\( 3\, \)

2d)  

Logaritmen av 9 till basen 3.

\( 2\, \)

2e)  

Logaritmen av 125 till basen 5.

\( 3\, \)

2f)

Logaritmen av 1/4 till basen 2.

\( -2\, \)

3a)  

\( 1\, \)

3b)  

\( 0\, \)

3c)  

\( {1 \over 4} \)

4a)  

\( 32\, \)

4b)  

\( 5\, \)

4c)  

\( 6\, \)

4d)  

\( 8\, \)

5a)  

\( x = 5,129283\, \)

5b)  

\( x = 2,043731\, \)

5c)  

\(x = 2,935785\,\)

6a)  

\( y = 12\,000 \cdot (1,065)^x \)

Exponentialfunktion

6b)  

\( 11\, \) år (och 0 månader).

7)

\( 6\, \) år och \( 6\, \) månader.

8a)  

\( c = 94,3\, \)

\( a = 0,94749\, \)

\( y = 94,3 \cdot (0,94749)\,^x \)

8b)  

10 timmar


Copyright © 2010-2016 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.2_Övningar_till_Lokala_maxima_och_minima&oldid=32308"