Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = 6\,x \]

a) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 1 \leq x \,\leq\, 5 \).

b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 4 \).

c) Ställ upp ett uttryck för \( f(3+h)\, \) genom att sätta in \( 3+h\, \) för \( x\,\) i funktionen \( f(x) = 6\,x \).

d) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(3) \) dvs funktionens exakta derivata i punkten \( x = 3\, \).

e) Jämför resultaten i a), b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.

Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen

\[ y = f(x) = 5\;x^2 \]

där

\[ x =\, \] Tiden i sekunder

\[ y =\, \] Sträckan som äpplet faller i meter

a) Ställ upp ett uttryck för \( f(1+h)\, \) genom att sätta in \( 1+h\, \) för \( x\,\) i funktionen \( f(x) = 5\,x^2 \).

b) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(1) \). Tolka resultatet.

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen

\[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]

där

\[ x =\, \] Tiden i antal år efter 1900 (början)

\[ y =\, \] Sveriges befolkning i miljoner

a) Med hur många människor per år växte Sveriges befolkning år 1910 (slutet)?

b) Svara utan att räkna: Med hur många människor per år växer Sveriges befolkning idag om modellen ovan fortfarande gällde?

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = 4\, \]

Dvs funktionens värde för alla \( x\, \) är \( 4\, \).

a) Rita grafen till funktionen.

b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 0 \leq x \,\leq\, 2 \).

c) Vad blir \( f(1+h)\, \) ?

d) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(1) \) dvs funktionens exakta derivata i punkten \( x = 1\, \).

e) Jämför resultaten i b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.

I förra avsnitt, Exempel 2 i Teori-delen betraktade vi följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där

\[ x \, = \, \] Tiden i minuter

\[ y \, = \, \] Oljans volym i liter

a) Beräkna oljans utströmningshastighet vid tiden \( x = 25\, \).

b) Efter hur många minuter läcker oljan med \( 300\, \) liter per minut?

a) Beräkna med derivatans definition derivatan till parabeln

\[ y \, = \, x^2 \]

i punkten

\[ x \, = \, -3 \]

b) Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i samma punkt.

c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.

Bestäm med derivatans definition derivatan till funktionen

\[ y \, = \, x^2 \]

i punkten

\[ x = a\, \].

Förenkla uttrycket i \( a\, \) så långt som möjligt.

Följande funktion är given:

\[ y = 3\,x^2 - 2\,x - 4 \]

a) Rita funktionens graf.

b) Beräkna med derivatans definition funktionens derivata i punkten \( x = 1\, \).

c) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( y\, \) i samma punkt.

d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem.