2.5 Övningar till Deriveringsregler
| Teori | Övningar |
G-övningar: 1-4
Övning 1
Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:
Anta alltid \( y = f(x) \).
a) \( y = -8\, \)
b) \( y = 12\,x - 7 \)
c) \( y = 4\,x^2 - 25\,x + 32 \)
d) \( y = x \)
e) \( y = x + 6 \)
Hämtar...Alternativt:
- Svar 1a | Svar 1b | Lösning 1b | Svar 1c | Lösning 1c | Svar 1d | Lösning 1d | Svar 1e
Övning 2
Följande funktion är given:
\[ y = f(x) = 6\,x \]
a) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 1 \leq x \,\leq\, 5 \).
b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 4 \).
c) Vad är \( f(3+h)\, \) dvs funktionens värde för \( x = 3+h\, \)?
d) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(3) \) dvs funktionens exakta derivata i punkten \( x = 3\, \).
e) Jämför resultaten i a), b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera dit svar.
Alternativt:
- Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c | Svar 2d | Lösning 2d | Svar 2e
Övning 3
Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen
- \[ y = f(x) = 5\;x^2 \]
där
- \[ x =\, \] Tiden i sekunder
- \[ y =\, \] Sträckan som äpplet faller i meter
a) Vad är \( f(1+h)\, \)?
b) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(1) \). Tolka resultatet.
Alternativt:
- Svar 3a | Lösning 3a | Svar 3b | Lösning 3b
Övning 4
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen
- \[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]
där
- \[ x =\, \] Tiden i antal år efter 1900 (början)
- \[ y =\, \] Sveriges befolkning i miljoner
a) Med hur många människor per år växte Sveriges befolkning år 1910 (slutet)?
b) Svara utan att räkna: Med hur många människor per år växer Sveriges befolkning idag om modellen ovan fortfarande gällde?
Alternativt:
- Svar 4a | Lösning 4a | Svar 4b | Lösning 4b
VG-övningar: 5-6
Övning 5
I förra avsnitt, Exempel 2 i Teori-delen betraktade vi följande problem:
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
- \[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]
där
- \[ x \, = \, \] Tiden i minuter
- \[ y \, = \, \] Oljans volym i liter
a) Beräkna oljans utströmningshastighet vid tiden \( x = 25\, \).
b) Efter hur många minuter läcker oljan med \( 300\, \) liter per minut?
Alternativt:
- Svar 5a | Lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b
Övning 6
a) Beräkna med derivatans definition derivatan till parabeln
- \[ y \, = \, x^2 \]
i punkten med
- \[ x \, = \, -3 \]
b) Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i samma punkt.
c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.
Alternativt:
- Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b | Svar 6c | Lösning 6c
MVG-övningar: 7-8
Övning 7
Bestäm med derivatans definition derivatan till funktionen
- \[ y \, = \, x^2 \]
i punkten
- \[ x = a\, \].
Förenkla uttrycket i \( a\, \) så långt som möjligt.
Alternativt:
Övning 8
Följande funktion är given:
- \[ y = 3\,x^2 - 2\,x - 4 \]
a) Rita funktionens graf.
b) Beräkna med derivatans definition funktionens derivata i punkten \( x = 1\, \).
c) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( y\, \) i samma punkt.
d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem.
Alternativt:
- Svar 8a | Lösning 8a | Svar 8b | Lösning 8b | Svar 8c | Lösning 8c | Svar 8d | Lösning 8d
Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
