Skillnad mellan versioner av "1.6 Övningar till Absolutbelopp"

Beräkna följande uttryckens värden:

a) \( | -25\,| + | -5\,| \)

b) \( | \, 17 - 20 \, | \)

c) \( | -4\,| - |\,2\,| \)

d) \( | \,0\,| - | -0,01\,| \)

e) \( 2 \cdot | -3\,| + | - 1\,|^2 \)

Beräkna värdet av uttrycket \( | \, 2\,x^2 - 5\,x - 3 \,| \) för

a) \( x = 1\, \)

b) \( x = - 1\, \)

c) \( x = 2\, \)

d) \( x = - 2\, \)

Räkna först manuellt.

Kontollera sedan dina resultat med räknaren. Där får du absolutbeloppsfunktionen abs ( ) genom att trycka på den gröna knappkombinationen 2nd - CATALOG (över \( 0 \, \)) och sedan med ENTER välja abs ( ).

Rita grafen till följande funktioner i intervallet \( -2 \leq x \leq 5 \) i separata koordinatsystem:

a) \( y = 2\,x^2 - 5\,x - 3 \)

b) \( y = | \, 2\,x^2 - 5\,x - 3 \,| \)

För att i i räknaren, knappen Y= mata in funktionsuttrycket i b), tryck på den gröna knappkombinationen 2nd - CATALOG (över \( 0 \, \)), välj sedan abs ( ) och tryck ENTER.

c) Jämför graferna. Vad gör absolutbelopp med grafen. Förklara varför.

Lös ekvationen \( {\color{White} x} \, | \, x - 1 \, | \, = \, 4 \) .

a) Rita först i samma koordinatsystem graferna till följande funktioner för att få en orientering om vad som förväntas i den algebraiska lösningen:

\[ \begin{align} y_1 & = | \, x - 1 \, | \\ y_2 & = 4 \end{align}\]

b) Lös ekvationen algebraiskt med hjälp av den allmänna definitionen för absolutbelopp.

Lös ekvationen \( {\color{White} x} \, | \, x + 1 \, | + 2\,x\, = \, 3 \) .

a) Rita först i samma koordinatsystem graferna till följande funktioner för att få en orientering om vad som förväntas i den algebraiska lösningen:

\[\begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\ y_2 & = -2\,x + 3 \end{align}\]

b) Lös ekvationen algebraiskt med hjälp av den allmänna definitionen för absolutbelopp.

a) Lös olikheten \( | \, x - 1 \, | \, < \, 5 \) med hjälp av den allmänna definitionen för absolutbelopp.

Ange lösningsmängden som ett intervall på \( \, x\)-axeln.

b) Rita lämpliga grafer för att få en orientering om lösningsmängden till olikheten i a).

c) Skriv om lösningsintervallet från a) till en olikhet med hjälp av absolutbelopp.

Tolka

\[ | \, x + 5 \, | \, < \, 2 \]

med hjälp av avståndsformeln på tallinjen.

Ange lösningen som ett intervall på \( \, x\)-axeln.

Beskriv intervallet

\[ -8 \leq x \leq 15 \, \]

med hjälp av absolutbelopp. Ange lösningen som ett intervall på \( \, x\)-axeln.

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} \]

a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att \( f(x)\, \) är kontinuerlig för alla \( \,x\)? Om inte, ange för vilka \( x\, \) funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.

b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.

c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen \( f(x)\, \)? Motivera ditt svar.

Lös följande olikheter

a) \( | \, x + 2 \, | \, > \, | \, 2x - 4 \,| \)

b) \( | \, 2\,x - 6 | \, < \, | \,x + 1 \,| \)

Bevisa den s.k. triangelolikheten: