Skillnad mellan versioner av "3.2 Övningar till Lokala maxima och minima"

Följande teckentabell innehåller information om funktionen \(\, y = f(x)\):

a)   Fyll i tabellen på de platser där det står ett frågetecken (?).

b)   Ange med hjälp av olikheter eller intervall alla \( \,x \) för vilka funktionen är växande resp. avtagande.

Följande funktion \( \,y = f(x) \) är definierad genom sin graf:

Använd grafen ovan för att besvara följande frågor:

a)   Är \( \,f(x) \) växande eller avtagande för \( \,x = 1 \) ?

b)   Är \( \,f(x) \) växande eller avtagande för \( \,x = 3 \) ?

c)   Är \( \,f(x) \) växande eller avtagande för \( \,x = 5 \) ?

d)   Ange alla \( \,x \) för vilka funktionen är växande.

e)   Ange alla \( \,x \) för vilka funktionen är avtagande.

f)   För vilka \( \,x \) är derivatan \( \, 0 \, \) ?

Betrakta funktionen \( {\color{White} x} y = f(x) = -5 \, x^2 + 10\,x {\color{White} x} \).

a)   Rita grafen till funktionen ovan, men:

Lös och redovisa följande uppgifter algebraiskt:

b)   Beräkna derivatans nollställe.

c)   Bestäm derivatans tecken för ett \( \,x \) till vänster om och ett \( \,x \) till höger om derivatans nollställe.

d)   Ange för vilka \( \,x \) funktionen \( \,f(x) \) är växande resp. avtagande genom att införa resultaten från b) och c) i en teckentabell.

e)   Ange kurvan \( \,y = f(x) \):s lutning i derivatans nollställe.

f)   Ange ekvationen för tangenten till kurvan \( \,y = f(x) \) i derivatans nollställe.

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = -3\,x^3 + 27\,x^2 - 45\,x \]

a)   Beräkna derivatans nollställen.

b)   Genomför ett teckenstudium och ange med hjälp av en teckentabell för vilka \( \,x \) funktionen \( \,f(x) \) är växande resp. avtagande.

c)   Rita grafen till funktionens derivata \( \, y' = f'(x) \).

     Ange och motivera endast med hjälp av derivatans graf för vilka \( \,x \) funktionen \( \,f(x) \) är växande resp. avtagande.

Följande är grafen till derivatan \( {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} \) av en funktion \( \, y = f(x) \, \):

Besvara följande frågor om funktionen \( \, f(x) \, \) genom att använda information från derivatans graf (ovan):

a)   För vilka \( \,x \) är funktionen \( \,f(x) \) växande resp. avtagande?

b)   Vad kan man säga om funktionen \( f(x) \, \) i derivatans nollställe?

c)   Vilken typ av funktion kan \( f(x) \) vara?

d)   Rita en ungefärlig skiss över funktionen \( \, y = f(x)\):s förlopp som inte behöver vara en exakt graf.

Följande funktion är given, där \( \, a \, \) är en konstant:

\[ f(x) \, = \, {x^4 \over 4} \, - \, a\,x^2 \]

a)   För vilka värden på \( \, a \, \) är \( \, f(x) \, \) avtagande för \( \, x = 3 \, \)?

Välj ett sådant \( \, a \, \) och använd det i fortsättningen.

b)   Ange \( \, f(x) \, \) med det valda \( \, a \, \) och rita grafen till \( \, y = f(x) \, \).

c)   Beräkna derivatan \( f\,'(x)\):s nollställen.

d)   Ange med hjälp av en teckentabell för vilka \( \,x \) funktionen \( \,f(x) \) är växande resp. avtagande.

Följande är grafen till derivatan \( {\color{White} x} y' = f'(x) {\color{White} x} \) av en funktion \( \, y = f(x) \, \):

Besvara följande frågor om funktionen \( \, f(x) \, \) genom att använda information från derivatans graf (ovan):

a)   Ange för vilka \( \,x \) funktionen \( \,f(x) \) är växande resp. avtagande?

b)   Vad händer med funktionen \( f(x) \, \) i de punkter där derivatan är \( \, 0 \, \)?

c)   Vilken typ av funktion kan \( f(x) \) vara?

d)   Skissa funktionen \( \, y = f(x)\) ungefär.

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, x^3 \]

a)   Formulera medelvärdessatsen för \( f(x)\, \) i intervallet \( 1 \leq x \leq 3 \). Ange derivatans medelvärde i intervallet \( \, 1 \leq x \leq 3 \, \).

b)   Bestäm värdet på \( \, c \, \) så att \( \, f'(c) = \) derivatans medelvärde. Ange svaret med 6 decimaler.

c)   Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan \( \, y = x^3 \, \) i punkten \( \, x = c \, \).

d)   Ställ upp ekvationen för sekanten genom punkterna \( \, (1, f(1)) \, \) och \( \, (3, f(3)) \, \).

e)   Rita graferna till \( \, y = x^3 \, \), tangenten och sekanten i samma koordinatsystem. Tolka resultatet.

I Exempel 2 Oljetank behandlades följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f(x) = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm oljans\;volym\;i\;liter} \]

Bestäm med hjälp av medelvärdessatsen den tidpunkt då oljetankens utströmningshastighet antar sitt medelvärde i tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 45 \). Ange detta medelvärde med hjälp av derivatan och jämför resultatet med Exempel 2 Oljetank b).

I Exempel 1 Vinternatt studerade vi temperaturen som under en vinternatt varierade enligt följande funktion:

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]

där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm tiden\;i\;timmar\;efter\;midnatt} \)

\[ y \, = \, {\rm temperaturen\;i\;grader\;Celsius} \]

a)   Bestäm med hjälp av medelvärdessatsen klockslaget \( \, c \, \) då nattens temperatur ändras i samma takt som temperaturändringens medelvärde mellan kl 1 och kl 6. Ange detta medelvärde. Tolka dina resultat.

b)   Visualisera dina resultat genom att rita graferna till \( \, y = f(x) \, \), tangenten till denna kurva i punkten \( \, x = c \, \) och sekanten genom punkterna \( \, (1, f(1)) \, \) och \( \, (6, f(6)) \, \) i samma koordinatsystem. Ange även ekvationerna till tangenten och sekanten.