1.6 Övningar till Absolutbelopp
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Diagnosprov 1 kap 1 | Diagnosprov 2 kap 1 |
E-övningar: 1-5
Övning 1
Beräkna följande uttryckens värden:
a) \( | -25\,| + | -5\,| \)
b) \( | \, 17 - 20 \, | \)
c) \( | -4\,| - |\,2\,| \)
d) \( | \,0\,| - | -0,01\,| \)
e) \( 2 \cdot | -3\,| + | - 1\,|^2 \)
Hämtar...Övning 2
Beräkna värdet av uttrycket \( | \, 2\,x^2 - 5\,x - 3 \,| \) för
a) \( x = 1\, \)
b) \( x = - 1\, \)
c) \( x = 2\, \)
d) \( x = - 2\, \)
Räkna först manuellt.
Kontollera sedan dina resultat med räknaren. Där får du absolutbeloppsfunktionen abs ( ) genom att trycka på den gröna knappkombinationen 2nd - CATALOG (över \( 0 \, \)) och sedan med ENTER välja abs ( ).
Övning 3
Rita grafen till följande funktioner i intervallet \( -2 \leq x \leq 5 \) i separata koordinatsystem:
a) \( y = 2\,x^2 - 5\,x - 3 \)
b) \( y = | \, 2\,x^2 - 5\,x - 3 \,| \)
För att i i räknaren, knappen Y= mata in funktionsuttrycket i b), tryck på den gröna knappkombinationen 2nd - CATALOG (över \( 0 \, \)), välj sedan abs ( ) och tryck ENTER.
c) Jämför graferna. Vad gör absolutbelopp med grafen. Förklara varför.
Övning 4
Lös ekvationen \( {\color{White} x} \, | \, x - 1 \, | \, = \, 4 \) .
a) Rita först i samma koordinatsystem graferna till följande funktioner för att få en orientering om vad som förväntas i den algebraiska lösningen:
- \[ \begin{align} y_1 & = | \, x - 1 \, | \\ y_2 & = 4 \end{align}\]
b) Lös ekvationen algebraiskt med hjälp av den allmänna definitionen för absolutbelopp.
Övning 5
Lös ekvationen \( {\color{White} x} \, | \, x + 1 \, | + 2\,x\, = \, 3 \) .
a) Rita först i samma koordinatsystem graferna till följande funktioner för att få en orientering om vad som förväntas i den algebraiska lösningen:
- \[\begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\ y_2 & = -2\,x + 3 \end{align}\]
b) Lös ekvationen algebraiskt med hjälp av den allmänna definitionen för absolutbelopp.
C-övningar: 6-8
Övning 6
a) Lös olikheten \( | \, x - 1 \, | \, < \, 5 \) med hjälp av den allmänna definitionen för absolutbelopp.
Ange lösningsmängden som ett intervall på \( \, x\)-axeln.
b) Rita lämpliga grafer för att få en orientering om lösningsmängden till olikheten i a).
c) Skriv om lösningsintervallet från a) till en olikhet med hjälp av absolutbelopp.
Övning 7
Tolka
\[ | \, x + 5 \, | \, < \, 2 \]
med hjälp av avståndsformeln på tallinjen.
Ange lösningen som ett intervall på \( \, x\)-axeln.
Övning 8
Beskriv intervallet
\[ -8 \leq x \leq 15 \, \]
med hjälp av absolutbelopp. Ange lösningen som ett intervall på \( \, x\)-axeln.
A-övningar: 9-11
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {x^2 - 9 \over x-3}\;,\qquad x\quad\text{reell} \]
a) Rita funktionens graf. Kan man av grafen dra slutsatsen att \( f(x)\, \) är kontinuerlig för alla \( \,x\)? Om inte, ange för vilka \( x\, \) funktionen är diskontinuerlig. Motivera ditt svar.
b) Faktorisera polynomet i funktionsuttryckets täljare. Förkorta sedan.
c) Är resultatet i b) ett uttryck till en ny funktion eller är det bara en annan form till funktionen \( f(x)\, \)? Motivera ditt svar.
Övning 10
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {3\,x^2 + 12\,x + 12 \over x^2 - 4}\;,\qquad x\quad\text{reell} \]
a) Ange funktionens diskontinuiteter. Vilka är hävbara och vilka är icke-hävbara diskontinuiteter?
b) Definiera funktionen \(\,f(x)\):s kontinuerliga fortsättning \( g(x)\, \), dvs en funktion som inte längre har \(\, f(x)\):s hävbara diskontinuitet, men är annars identisk med \( f(x)\, \).
c) Rita graferna till \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Vilka slutsatser kan man dra av grafernas förlopp?
Övning 11
Fibonaccis funktion
- \[ F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \]
är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena. Därför har den också två startvärden.
Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för beräkning av stora fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och ser ut så här:
- \[ F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n - {1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
Bevisa denna explicita formel dvs visa att den uppfyller Fibonaccis rekursionsformel ovan.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
