Skillnad mellan versioner av "2.6 Övningar till Derivatan av exponentialfunktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Övning 6)
m
 
(75 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[2.6 Övningar till Derivatan av exponentialfunktioner|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[2.6 Övningar till Derivatan av exponentialfunktioner|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Nästa avsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>
+
<big><big><big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-4</span> <math> \qquad\qquad\qquad\quad </math> <small> Anta alltid<span style="color:black">:</span> <math> \; \quad y \; = \; f(x)\, </math> </small> </big></big></big>
  
  
−
== Övning 1 ==
+
== <b>Övning 1</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
 
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
  
−
a) <math> {\color{White} x} y = e\,^x + 8 </math>
+
a) &nbsp; <math> y = e\,^x + 8 </math>
  
−
b) <math> {\color{White} x} y = e\,^{2\,x} </math>
+
b) &nbsp; <math> y = e\,^{2\,x} </math>
  
−
c) <math> {\color{White} x} y = 3\, e\,^x </math>
+
c) &nbsp; <math> y = 3\, e\,^x </math>
  
−
d) <math> {\color{White} x} y = 4\, e\,^{5\,x} </math>
+
d) &nbsp; <math> y = 4\, e\,^{5\,x} </math>
  
−
e) <math> {\color{White} x} y = 16\cdot e\,^{-3\,x} </math>
+
e) &nbsp; <math> y = 16\cdot e\,^{-3\,x} </math>
  
−
f) <math> {\color{White} x} y = - x + e\,^{-0,5\,x} </math>
+
f) &nbsp; <math> y = - x + e\,^{-0,5\,x} </math>
  
−
g) <math> {\color{White} x} y = 1 + e\,^{-2\,x} + 2\,e\,^{4\,x} </math>
+
g) &nbsp; <math> y = 1 + e\,^{-2\,x} + 2\,e\,^{4\,x} </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.5 Svar 1a|Svar 1b|2.5 Svar 1b|Svar 1c|2.5 Svar 1c|Svar 1d|2.5 Svar 1d|Svar 1e|2.5 Svar 1e|Svar 1f|2.5 Svar 1f|Svar 1g|2.5 Svar 1g}}</div>  
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.5 Svar 1a|Svar 1b|2.5 Svar 1b|Svar 1c|2.5 Svar 1c|Svar 1d|2.5 Svar 1d|Svar 1e|2.5 Svar 1e|Svar 1f|2.5 Svar 1f|Svar 1g|2.5 Svar 1g}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.5 Svar 1a|Svar 1a]] | [[2.5 Svar 1b|Svar 1b]] | [[2.5 Svar 1c|Svar 1c]] | [[2.5 Svar 1d|Svar 1d]] | [[2.5 Svar 1e|Svar 1e]] | [[2.5 Svar 1f|Svar 1f]] | [[2.5 Svar 1g|Svar 1g]] | [[2.5 Lösning 1g|Lösning 1g]]</small></small> -->
 
  
−
== Övning 2 ==
+
== <b>Övning 2</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Derivera:  
 
Derivera:  
  
−
a) <math> {\color{White} x} y = 10\,^x </math>
+
a) &nbsp; <math> y = 10\,^x </math>
  
−
b) <math> {\color{White} x} y = 2\,^x - 6 </math>
+
b) &nbsp; <math> y = 2\,^x - 6 </math>
  
−
c) <math> {\color{White} x} y = 4\cdot 5\,^x </math>
+
c) &nbsp; <math> y = 4\cdot 5\,^x </math>
  
−
d) <math> {\color{White} x} y = -7\cdot 10\,^{-x} </math>
+
d) &nbsp; <math> y = -7\cdot 10\,^{-x} </math>
  
−
e) <math> {\color{White} x} y = 9\cdot 3\,^{-4\,x} </math>
+
e) &nbsp; <math> y = 9\cdot 3\,^{-4\,x} </math>
  
−
f) <math> {\color{White} x} y = 5\,x \, - \, 2\,^{-3\,x} \, + \, 4 \, e\,^{0,5\,x} </math>
+
f) &nbsp; <math> y = 5\,x \, - \, 2\,^{-3\,x} \, + \, 4 \, e\,^{0,5\,x} </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.5 Svar 3a|Lösning 2a|2.5 Lösning 3a|Svar 2b|2.5 Svar 3b|Lösning 2b|2.5 Lösning 3b|Svar 2c|2.5 Svar 3c|Lösning 2c|2.5 Lösning 3c|Svar 2d|2.5 Svar 3d|Lösning 2d|2.5 Lösning 3d|Svar 2e|2.5 Svar 3e|Lösning 2e|2.5 Lösning 3e|Svar 2f|2.5 Svar 3f|Lösning 2f|2.5 Lösning 3f}}</div>  
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.5 Svar 3a|Lösning 2a|2.5 Lösning 3a|Svar 2b|2.5 Svar 3b|Lösning 2b|2.5 Lösning 3b|Svar 2c|2.5 Svar 3c|Lösning 2c|2.5 Lösning 3c|Svar 2d|2.5 Svar 3d|Lösning 2d|2.5 Lösning 3d|Svar 2e|2.5 Svar 3e|Lösning 2e|2.5 Lösning 3e|Svar 2f|2.5 Svar 3f|Lösning 2f|2.5 Lösning 3f}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.5 Svar 3a|Svar 2a]] | [[2.5 Lösning 3a|Lösning 2a]] | [[2.5 Svar 3b|Svar 2b]] | [[2.5 Lösning 3b|Lösning 2b]] | [[2.5 Svar 3c|Svar 2c]] | [[2.5 Lösning 3c|Lösning 2c]] | [[2.5 Svar 3d|Svar 2d]] | [[2.5 Lösning 3d|Lösning 2d]] | [[2.5 Svar 3e|Svar 2e]] | [[2.5 Lösning 3e|Lösning 2e]] | [[2.5 Svar 3f|Svar 2f]] | [[2.5 Lösning 3f|Lösning 2f]]</small></small> -->
 
  
−
== Övning 3 ==
+
== <b>Övning 3</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
 
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan <math> f(x) = e\,^x </math> i punkten <math> (0, 1)\, </math>.
 
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan <math> f(x) = e\,^x </math> i punkten <math> (0, 1)\, </math>.
  
 
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
 
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 3|2.5 Svar 2|Lösning 3|2.5 Lösning 2}}</div>
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 3|2.5 Svar 2|Lösning 3|2.5 Lösning 2}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.5 Svar 2|Svar 3]] | [[2.5 Lösning 2|Lösning 3]]</small></small> -->
 
  
−
== Övning 4 ==
+
== <b>Övning 4</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnE">
−
<div class="ovning">
+
 
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan <math> f(x) = 2\,^x </math> i punkten (med x-koordinaten) <math> x = 0\, </math>.
 
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan <math> f(x) = 2\,^x </math> i punkten (med x-koordinaten) <math> x = 0\, </math>.
  
 
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
 
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 4|2.5 Svar 4|Lösning 4|2.5 Lösning 4}}</div>
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 4|2.5 Svar 4|Lösning 4|2.5 Lösning 4}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.5 Svar 4|Svar 4]] | [[2.5 Lösning 4|Lösning 4]]</small></small>  -->
 
  
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
 
  
 +
<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
  
−
== Övning 5 ==
+
 
−
<div class="ovning">
+
== <b>Övning 5</b> ==
 +
<div class="ovnC">
 
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
 
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
  
  
−
a) <math> \displaystyle {\color{White} x} y = {e\,^x + \, e\,^{-x} \over 2} </math>
+
a) &nbsp; <math> \displaystyle y = {e\,^x + \, e\,^{-x} \over 2} </math>
  
  
−
b) <math> \displaystyle {\color{White} x} y = {3\,^x + \, 3\,^{-x} \over 3} </math>
+
b) &nbsp; <math> \displaystyle y = {3\,^x + \, 3\,^{-x} \over 3} </math>
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.5 Svar 5a|Lösning 5a|2.5 Lösning 5a|Svar 5b|2.5 Svar 5b|Lösning 5b|2.5 Lösning 5b}}</div>  
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.5 Svar 5a|Lösning 5a|2.5 Lösning 5a|Svar 5b|2.5 Svar 5b|Lösning 5b|2.5 Lösning 5b}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.5 Svar 5a|Svar 5a]] | [[2.5 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[2.5 Svar 5b|Svar 5b]] | [[2.5 Lösning 5b|Lösning 5b]] </small></small> -->
 
  
−
== Övning 6 ==
+
== <b>Övning 6</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnC">
 
Om exponentialfunktionen
 
Om exponentialfunktionen
  
 
::<math> f(x) = C \cdot e\,^{k\,x} </math>
 
::<math> f(x) = C \cdot e\,^{k\,x} </math>
  
−
vet man att <math> f(0) = 50 </math> och att <math> f\,′\,(0) = 5 </math>. Bestäm konstanterna <math> C </math> och <math> k </math>.
+
vet man att <math> \,f(0) = 50 </math> och att <math> f\,′\,(0) = 5 </math>.
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 6|2.5 Svar 6|Lösning 6|2.5 Lösning 6}}
+
Bestäm konstanterna <math> \,C </math>, <math> \,k </math> och specificera <math> \,f(x) </math>.
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 6|2.5 Svar 6|Lösning 6|2.5 Lösning 6}}</div>
 
<!-- Ma 1000, sid 63, övn. 324, facit sid 74 -->
 
<!-- Ma 1000, sid 63, övn. 324, facit sid 74 -->
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
 
  
−
== Övning 7 ==
 
−
<div class="ovning">
 
−
Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan
 
  
−
::<math> y = x^2 + 5 x - 1\, </math>
 
  
−
i punkten <math> x = -1\, </math> .
+
<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 7|2.5 Svar 7|Lösning 7|2.5 Lösning 7}}
 
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.5 Svar 7|Svar 7]] | [[2.5 Lösning 7|Lösning 7]]</small></small> -->
 
  
−
== Övning 8 ==
+
== <b>Övning 7</b> ==
−
<div class="ovning">
+
<div class="ovnA">
−
I en bakteriekultur växer antalet bakterier y enligt följande modell
+
Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen:
  
−
::<math> y = 2\,x^4 + 2\,500 </math>  
+
:::::<math> B\,(t) \; = \; C \cdot e\,^{k\,t} </math>
  
−
där x är tiden i timmar.
+
där <math> B\,(t) </math> är antalet bakterier efter <math> \, t \, </math> timmar och <math> \,C </math> och <math> \,k </math> vissa konstanter.  
  
−
Efter hur många timmar kommer bakteriernas tillväxthastighet att vara <math> 1\,000 </math> bakterier per timme?
+
I början mättes <math> 150\, </math> bakterier i mjölken. Efter <math> 8\, </math> timmar förökar sig bakterierna med <math> 350\, </math> i timmen.
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 8|2.5 Svar 8|Lösning 8|2.5 Lösning 8}}
+
Bestäm konstanterna <math> \,C </math>, <math> \,k </math>, specificera modellen och använd den för att besvara frågan:
−
<!-- Alternativt:
+
 
−
:<small><small>[[2.5 Svar 8|Svar 8]] | [[2.5 Lösning 8|Lösning 8]]</small></small> -->
+
Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit <math> 2\,000 </math> då mjölken anses blivit sur?
 +
 
 +
Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se  [[Grafritning_och_ekvationslösning_med_räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<strong><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></strong>]].
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 7|2.5 Svar 7|Lösning 7|2.5 Lösning 7}}</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b>Övning 8</b> ==
 +
<div class="ovnA">
 +
En affärsman hittades mördad på sitt kontor. Vid obduktionen kl 20 mätte specialister i rättsmedicin hans kroppstemperatur till 31 grader Celsius. Kl 21 konstaterade de att kroppstemperaturen minskade med 4,2 grader i timmen. Rumstemperaturen på kontoret och vid obduktionen var 18 grader Celsius.
 +
 
 +
Man vet att en kropps temperatur <math> T\, </math> sjunker exponentiellt med tiden enligt modellen:  
 +
 
 +
:::<math> T\,(t) \,=\, (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r </math>  
 +
 
 +
<math>\begin{array}{lrcl} {\rm där} \;\; & t  & = & {\rm Tiden\;i\;minuter\;efter\;kl\;20}                        \\
 +
                                        & T  & = & {\rm Kroppstemperaturen\;i\;grader\;Celsius\;vid\;tiden\;\,} t \\
 +
                                        & T_0 & = & {\rm Kroppstemperaturen\;vid\;\,} t = 0                        \\
 +
                                        & T_r & = & {\rm Rumstemperaturen}                                        \\                                       
 +
                                        & k  & = & {\rm Kroppens\; materialkonstant}
 +
      \end{array}</math>
 +
 
 +
När skedde mordet?
 +
 
 +
Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Digital_ber.C3.A4kning_av_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Digital beräkning av nollställen</span></strong>]], speciellt [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Ekvationsl.C3.B6sning|<strong><span style="color:blue">Ekvationslösning</span></strong>]].
 +
{{#NAVCONTENT:Svar 8|2.5 Svar 8|Lösning 8|2.5 Lösning 8}}</div>
  
  
Rad 187: Rad 194:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 19 juli 2019 kl. 19.07

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


E-övningar: 1-4 \( \qquad\qquad\qquad\quad \) Anta alltid: \( \; \quad y \; = \; f(x)\, \)


Övning 1

Ställ upp derivatan av följande funktioner:

a)   \( y = e\,^x + 8 \)

b)   \( y = e\,^{2\,x} \)

c)   \( y = 3\, e\,^x \)

d)   \( y = 4\, e\,^{5\,x} \)

e)   \( y = 16\cdot e\,^{-3\,x} \)

f)   \( y = - x + e\,^{-0,5\,x} \)

g)   \( y = 1 + e\,^{-2\,x} + 2\,e\,^{4\,x} \)

Svar 1a
2.5 Svar 1a
Svar 1b
2.5 Svar 1b
Svar 1c
2.5 Svar 1c
Svar 1d
2.5 Svar 1d
Svar 1e
2.5 Svar 1e
Svar 1f
2.5 Svar 1f
Svar 1g
2.5 Svar 1g


Övning 2

Derivera:

a)   \( y = 10\,^x \)

b)   \( y = 2\,^x - 6 \)

c)   \( y = 4\cdot 5\,^x \)

d)   \( y = -7\cdot 10\,^{-x} \)

e)   \( y = 9\cdot 3\,^{-4\,x} \)

f)   \( y = 5\,x \, - \, 2\,^{-3\,x} \, + \, 4 \, e\,^{0,5\,x} \)

Svar 2a
2.5 Svar 3a
Lösning 2a
2.5 Lösning 3a
Svar 2b
2.5 Svar 3b
Lösning 2b
2.5 Lösning 3b
Svar 2c
2.5 Svar 3c
Lösning 2c
2.5 Lösning 3c
Svar 2d
2.5 Svar 3d
Lösning 2d
2.5 Lösning 3d
Svar 2e
2.5 Svar 3e
Lösning 2e
2.5 Lösning 3e
Svar 2f
2.5 Svar 3f
Lösning 2f
2.5 Lösning 3f


Övning 3

Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = e\,^x \) i punkten \( (0, 1)\, \).

För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.

Svar 3
2.5 Svar 2
Lösning 3
2.5 Lösning 2


Övning 4

Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = 2\,^x \) i punkten (med x-koordinaten) \( x = 0\, \).

För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.

Svar 4
2.5 Svar 4
Lösning 4
2.5 Lösning 4



C-övningar: 5-6


Övning 5

Ställ upp derivatan av följande funktioner:


a)   \( \displaystyle y = {e\,^x + \, e\,^{-x} \over 2} \)


b)   \( \displaystyle y = {3\,^x + \, 3\,^{-x} \over 3} \)

Svar 5a
2.5 Svar 5a
Lösning 5a
2.5 Lösning 5a
Svar 5b
2.5 Svar 5b
Lösning 5b
2.5 Lösning 5b


Övning 6

Om exponentialfunktionen

\[ f(x) = C \cdot e\,^{k\,x} \]

vet man att \( \,f(0) = 50 \) och att \( f\,′\,(0) = 5 \).

Bestäm konstanterna \( \,C \), \( \,k \) och specificera \( \,f(x) \).

Svar 6
2.5 Svar 6
Lösning 6
2.5 Lösning 6



A-övningar: 7-8


Övning 7

Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen:

\[ B\,(t) \; = \; C \cdot e\,^{k\,t} \]

där \( B\,(t) \) är antalet bakterier efter \( \, t \, \) timmar och \( \,C \) och \( \,k \) vissa konstanter.

I början mättes \( 150\, \) bakterier i mjölken. Efter \( 8\, \) timmar förökar sig bakterierna med \( 350\, \) i timmen.

Bestäm konstanterna \( \,C \), \( \,k \), specificera modellen och använd den för att besvara frågan:

Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit \( 2\,000 \) då mjölken anses blivit sur?

Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se Ekvationslösning med miniräknare.

Svar 7
2.5 Svar 7
Lösning 7
2.5 Lösning 7


Övning 8

En affärsman hittades mördad på sitt kontor. Vid obduktionen kl 20 mätte specialister i rättsmedicin hans kroppstemperatur till 31 grader Celsius. Kl 21 konstaterade de att kroppstemperaturen minskade med 4,2 grader i timmen. Rumstemperaturen på kontoret och vid obduktionen var 18 grader Celsius.

Man vet att en kropps temperatur \( T\, \) sjunker exponentiellt med tiden enligt modellen:

\[ T\,(t) \,=\, (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \]

\(\begin{array}{lrcl} {\rm där} \;\; & t & = & {\rm Tiden\;i\;minuter\;efter\;kl\;20} \\ & T & = & {\rm Kroppstemperaturen\;i\;grader\;Celsius\;vid\;tiden\;\,} t \\ & T_0 & = & {\rm Kroppstemperaturen\;vid\;\,} t = 0 \\ & T_r & = & {\rm Rumstemperaturen} \\ & k & = & {\rm Kroppens\; materialkonstant} \end{array}\)

När skedde mordet?

Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se Digital beräkning av nollställen, speciellt Ekvationslösning.

Svar 8
2.5 Svar 8
Lösning 8
2.5 Lösning 8





Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=2.6_Övningar_till_Derivatan_av_exponentialfunktioner&oldid=36682"