2.6 Övningar till Derivatan av exponentialfunktioner
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
E-övningar: 1-4
Övning 1
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
a) \( {\color{White} x} y = e\,^x + 8 \)
b) \( {\color{White} x} y = e\,^{2\,x} \)
c) \( {\color{White} x} y = 3\, e\,^x \)
d) \( {\color{White} x} y = 4\, e\,^{5\,x} \)
e) \( {\color{White} x} y = 16\cdot e\,^{-3\,x} \)
f) \( {\color{White} x} y = - x + e\,^{-0,5\,x} \)
g) \( {\color{White} x} y = 1 + e\,^{-2\,x} + 2\,e\,^{4\,x} \)
Hämtar...Övning 2
Derivera:
a) \( {\color{White} x} y = 10\,^x \)
b) \( {\color{White} x} y = 2\,^x - 6 \)
c) \( {\color{White} x} y = 4\cdot 5\,^x \)
d) \( {\color{White} x} y = -7\cdot 10\,^{-x} \)
e) \( {\color{White} x} y = 9\cdot 3\,^{-4\,x} \)
f) \( {\color{White} x} y = 5\,x \, - \, 2\,^{-3\,x} \, + \, 4 \, e\,^{0,5\,x} \)
Övning 3
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = e\,^x \) i punkten \( (0, 1)\, \).
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
Övning 4
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = 2\,^x \) i punkten (med x-koordinaten) \( x = 0\, \).
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
C-övningar: 5-6
Övning 5
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
a) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {e\,^x + \, e\,^{-x} \over 2} \)
b) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {3\,^x + \, 3\,^{-x} \over 3} \)
Övning 6
Om exponentialfunktionen
- \[ f(x) = C \cdot e\,^{k\,x} \]
vet man att \( \,f(0) = 50 \) och att \( f\,′\,(0) = 5 \).
Bestäm konstanterna \( \,C \), \( \,k \) och specificera \( \,f(x) \).
A-övningar: 7-8
Övning 7
Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen:
- \[ B\,(t) \; = \; C \cdot e\,^{k\,t} \]
där \( B\,(t) \) är antalet bakterier efter \( \, t \, \) timmar och \( \,C \) och \( \,k \) vissa konstanter.
I början mättes \( 150\, \) bakterier i mjölken. Efter \( 8\, \) timmar förökar sig bakterierna med \( 350\, \) i timmen.
Bestäm konstanterna \( \,C \), \( \,k \), specificera modellen och använd den för att besvara frågan:
Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit \( 2\,000 \) då mjölken anses blivit sur?
Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer, se Digital beräkning av nollställen, speciellt EQUATION SOLVER.
Övning 8
En affärsman hittades mördad kl 20. Då mättes upp hans kroppstemperatur till 31 grader Celsius. Vid obduktionen konstaterade specialister i rättsmedicin vid kl 22 att kroppstemperaturen minskade med 5 grader i timmen. Rumstemperaturen vid undersökningen var 20 grader Celsius.
Man vet att en kropps temperatur \( T\, \) sjunker exponentiellt med tiden enligt modellen:
- \[ T\,(t) \,=\, (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \]
\(\begin{array}{lrcl} {\rm där} \;\; & T_0 & = & {\rm starttemperaturen\;vid\;\,} t = 0 \\ & T_r & = & {\rm rumstemperaturen} \\ & t & = & {\rm tiden\;i\;minuter} \\ & k & = & {\rm kroppens\; materialkonstant} \end{array}\)
När skedde mordet?
Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer, se Digital beräkning av nollställen, speciellt EQUATION SOLVER.
