2.6 Övningar till Derivatan av exponentialfunktioner
| Teori | Övningar |
G-övningar: 1-6
Övning 1
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
a) \( y = e\,^x + 8 \)
b) \( y = e\,^{2\,x} \)
c) \( y = 3\cdot e\,^x \)
d) \( y = 4\cdot e\,^{5\,x} \)
e) \( y = 16\cdot e\,^{-3\,x} \)
f) \( y = - x + e\,^{-0,5\,x} \)
g) \( y = {e\,^x + e\,^{-x} \over 2} \)
Hämtar...Alternativt:
Övning 2
Ställ upp derivatan av följande funktioner. Avrunda konstanterna i svaren till 4 decimaler.
a) \( y = 10\,^x \)
b) \( y = 2\,^x - 6 \)
c) \( y = 4\cdot 5\,^x \)
d) \( y = -7\cdot 10\,^{-x} \)
e) \( y = 9\cdot 3\,^{-4\,x} \)
f) \( y = {3\,^x + 3\,^{-x} \over 3} \)
Alternativt:
- Svar 2a | Lösning 2a | Svar 2b | Lösning 2b | Svar 2c | Lösning 2c | Svar 2d | Lösning 2d | Svar 2e | Lösning 2e | Svar 2f | Lösning 2f
Övning 3
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = e\,^x \) i punkten \( (0, 1)\, \).
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
Alternativt:
Övning 4
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = 2\,^x \) i punkten (med x-koordinaten) \( x = 0\, \).
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
Alternativt:
Övning 5
I det introducerande avsnittet Vad är derivatan? sysslade vi med följande aktivitet:
Lisa tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen
- \[ y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10\, \]
där \( y\, \) är Lisas höjd över vattnet (i meter) och \( x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).
Hon slår i vattnet efter 1,45 sekunder.
a) Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av \( f(x)\, \).
b) Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken hastighet Lisa slår i vattnet?
Alternativt:
- Svar 5a | Lösning 5a | Svar 5b | Lösning 5b
Övning 6
Följande parabel är given:
- \[ y = x^2 + 5\,x - 8 \]
a) Vilken lutning har parabeln i punkten \( x = 1\, \)?
b) Ange ekvationen för tangenten till parabeln i denna punkt.
c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.
Alternativt:
- Svar 6a | Lösning 6a | Svar 6b | Lösning 6b
VG-övningar: 7-8
Övning 7
Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan
- \[ y = x^2 + 5 x - 1\, \]
i punkten \( x = -1\, \) .
Alternativt:
Övning 8
I en bakteriekultur växer antalet bakterier y enligt följande modell
- \[ y = 2\,x^4 + 2\,500 \]
där x är tiden i timmar.
Efter hur många timmar kommer bakteriernas tillväxthastighet att vara \( 1\,000 \) bakterier per timme?
Alternativt:
MVG-övningar: 9-10
Övning 9
För vilka värden på \( a\, \) och \( b\, \) går kurvan
- \[ y = a\,x^2 + b\,x \]
genom punkten \( (1, -1)\, \) och har där lutningen \( 4\, \) ?
Alternativt:
Övning 10
Kurvan
- \[ y = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \]
har en tangent som är parallell till den räta linjen \( y = x - 4\, \).
a) Rita kurvan.
b) Bestäm tangeringspunktens x- och y-koordinat.
c) Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan i tangeringspunkten.
d) Rita tangentens graf i samma koordinatsystem som kurvan.
Alternativt:
- Svar 10a | Svar 10b | Lösning 10b | Svar 10c | Lösning 10c | Svar 10d
Facit till övningar i deriveringsregler
1a
\( y\,' = 0 \)
1b
\( y\,' = 12 \)
1c
\[ y\,' = 8\,x - 25 \]
1d
\( y\,' = 1 \)
1e
\( y\,' = -1 \)
1f
\( y\,' = 1 \)
1g
\( y\,' = -1 \)
2a
\( y\,' = {1 \over 2} \)
2b
\( y\,' = x^4 + 1 \)
2c
\( y\,' = x - {3 \over 4} \)
2d
\( y\,' = {8 \over 5}\,(x - 1) \)
2e
\( y\,' = - {1 \over 2} \)
2f
\( y\,' = 18\,x - 30 \)
3a
\( y\,' = -{2 \over x^2} \)
3b
\( y\,' = {3 \over x^2} \)
3c
\( y\,' = -{1 \over \sqrt{x}} \)
3d
\( y\,' = 28\,x^3 + {25 \over x^2} \)
3e
\( y\,' = -\,{2 \over x^3} \)
3f
\( y\,' = -{1\over 2\,x\,\sqrt{x}} \)
4a
\( y\,' = 1 - {3 \over x^2} \)
4b
\( y\,' = {x\,\sqrt{x}\over 2} \)
4c
\( y\,' = \sqrt{x} + {2 \over x^3}\)
4d
\( 48,125\, \)
4e
\( 4\, \)
